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2024年高考导数复习专题七
知识点一 利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数证明不等式,含参分类讨论求函数
的单调区间
典例1、已知：函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
随堂练习：已知函数 .
（1）讨论 的单调性；（2）求证：当 时， .典例2、已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性； （2）若 且 ，求证： ．
随堂练习：已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若 且 ，求证：
.典例3、已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ， .
随堂练习：已知函数
讨论函数 的单调性；
设 ，对任意 的恒成立，求整数 的最大值；
求证：当 时，知识点二 利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值（含参）
典例4、已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求 的最小值； （2）讨论方程 根的个
数.
随堂练习：已知 ， ．
（1）存在 满足： ， ，求 的值；（2）当 时，讨论 的零点个数．
典例5、已知函数 ， ．
（1）当a＝2时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论关于x的方程 的实根个数．
典例6、函数 ， .
（1）试讨论 的单调性； （2）若 恒成立，求实数 的集合 ；
（3）当 时，判断 图象与 图象的交点个数，并证明.2024年高考导数复习专题七答案
典例1、答案： （1） 单调递增；（2） .
解:（1）当 时， ， 所以 ，
令 ，则 ， 当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增； 所以 取得最小值 ，
所以 在 上成立， 所以 在 上递增；
（2）因为 在 上单调递增， 所以 ， 恒成立，
即 ， 恒成立， 令 ，则 ，
当 时，当 时， ， 递减； 当 时， ， 递增；所以 取得最小值 ， 所以
当 时，易知 ，不成立， 当a=0时， 成立，
综上： ， 所以实数 的取值范围 .
随堂练习：答案：（1）见解析；（2）证明见解析.
解：（1）函数 ，定义域为 ， 所以 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， 令 ，则 ，解得 ， 在 单调递增；
令 ，则 ，解得 ； 在 单调递减；
综上：当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
（2）要证当 时， ， 只须证： ，
而 ，因此，只要证： ， 设 ，
则 ， 当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减； 所以 ，即 ；
所以当 时， ．
典例2、答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.
解:（1）函数 的定义域为 ， ．若 ，则 ， 在 上单调递减．若 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
故在 上， 单调递减；在 上， 单调递增．
若 ，当 时， ； 当 时， ；当 时，
，
故在 上， 单调递减；在 上， 单调递增．
（2）若 且 ，则 ． 欲证 ，
只需证 ． 设函数 ，则 ．
当 时， ，函数 在 上单调递增，所以 ．
设函数 ，则 ．
设函数 ，则 ．
当 时， ， 故存在 ，使得 ，
从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减， 所以 ，且
，
故存在 ，使得 ， 即当 时， ，当 时，
，从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减．
因为 ， ， 所以当 时， ，所以
， ，
即 ， ．
一题多解：（2）另解一 若 且 ，则 ，
欲证 ， 只需证 ．
设函数 ，则 ． 当 时， ，函数 在 上
单调递增．
所以 ． 设函数 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，
所以 ， 即原不等式成立．
随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)证明见解析.
解:（1）函数 的定义域为
①若 时，则 ， 在 上单调递减；
②若 时，当 时， 当 时， ；当 时，
故在 上， 单调递减；在 上， 单调递增
（2）若 且 ，欲证 只需证 即证设函数 ， ，则
当 时， ；故函数 在 上单调递增 所以
设函数 ，则
设函数 ，则
当 时， 故存在 ，使得
从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减
当 时， 当 时， 故存在 ，
使得
即当 时， ，当 时，
从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减
因为 故当 时，
所以 即
典例3、答案：（1） 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）证明见解析.
解：（1）由题意知， ,
当 时， 对 恒成立，
所以当 时， ；当 时， ,
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．（2）证明：要证明当 时， ， ,
即证当 时，对任意 ， 恒成立，
令 ， 所以
，
因为 ， ，则 ，仅在 或 时取等号，所以函数 在
上单调递减，
所以 ， 即当 时， ， .
随堂练习:答案:（1）当 时，函数 在 上单调递增；当 时， 在
上单调递增，在 上单调递减；（2） ；（3）证明见解析.
解:（1）
① 若 ，则 ，函数在 上为增函数；
②若 ，由 可得 ；由 可得
因此在 上为增函数，在 上为减函数；
（2）若 ，则 ，不满足题意；若 ，则 在 上为增函数，在 上为减函数；
设 ，则 ，又 在 上单调递增 且 ，
故存在唯一 使得 当 时， ，当 时，
故 ，解得 ，又 ， 则综上 的最大值为
；
（3）由（2）可知， 时，
，
记 ，则 记 ，则
由 可得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增所以
故 ，故函数 在 上单调递增
即
典例4、答案：（1） （2）答案见解析
解：（1） 时， .
① 时， ， ，
所以 ，即 在 时单调递减；
② 时 ， .
所以 ，即 在 时单调递增；
当 时， 取得最小值为 所以 的最小值
是 .
（2）由题 ， ， 则 ，
即 .
所以 .由 ，得 .
当 时， ； 当 时，；
所以， 在 上递减；在 上递增.
又因为 ，所以 ，当且仅当 或 .
又 ，故 和 不可能同时成立.
所以方程根 的个数是两函数 和 的零
点个数之和，其中
当 时，函数 的零点个数转换为直线 与函数 图象的
交点个数，
，令 ，即 ，解得 .
当易知 时， , 单调递减， 当 时， ， 单调递
增；
在 处取得最小值为 ，
所以 时，直线 与函数 图象无交点，函数 无零点；
时，直线 与函数 图象有一个交点，函数 有1个零点；
时，直线 与函数 图象有2个交点函数， 有2个零点.
同理：函数 的零点个数转化为直线 与函数 图象交点个数，
设 ，则 所以函数 在 单调递增，
在 处的函数值为 ， 所以故 时， 在 上必有1个
零点.
综上所述， 时，方程有1个根； 时，方程有2个根； 时，方程
有3个根.随堂练习：答案：（1） 或4； （2）答案见解析.
解：（1） 时 ，原条件等价于 ， ∴
，
令 ，则 ，
∴ 为增函数，由 ，则 有唯一解 ，所以 ，
时， ，解得： ． 综上， 或4．
（2）ⅰ. 时 ，则 ， ，
而 ， ，即 为增函数，又 ，
当 时 ；当 时 ，故 ，
∴ 恒成立，故 时零点个数为0；
ⅱ. 时， ，由①知：仅当 时 ，此时零点个数为
1．
ⅲ. 时， ，则 ，
，
∴ 为增函数， ， ，
∴ 仅有一解，设为 ，则在 上 ，在 上
，
所以 最小值为 ，故 ．又 ， ，
故 、 上 各有一零点，即 有2个零点．
ⅳ. 时， 上 ，
，
∴ 无零点，则 上 ， ，
，
∴ 为增函数， ， ，
∴ 有唯一解，设为 ，则 ，
又 ， ，
故 、 上， 各有一个零点，即 有2个零点．
ⅴ. 时，由（1）知： 上 有唯一零点： ；
在 上 ，则 ， ，
所以 为增函数， ， ，故 使 ，
则 上 ， 递减； 上 ， 递增；
故 ，而 ，
又 ， ，故在 、 上 各有一个零点，
所以 共有3个零点．
综上： 时 零点个数为0； 时 零点个数为1； 时 零点个数
为2； 时 零点个数为3．典例5、答案：（1） （2）答案不唯一，具体见解析
解：（1）当a＝2时， ， ， 则切线的斜率为
，
又 ，所以曲线 在 处的切线方程是 ，即
．
（2） 即为 ，化简得 ，
令 ，则 ， 令 ，则
，
令 ，得 ． 当 时， ，即 在 上单调递
增；
当 时， ，即 在 上单调递减．
①当 时， ，即 ， 所以 在R上单调递
减．
又 ，所以 有唯一零点0；
②当 时， ， ，所以存在 ， ，
又 ，
令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ，所以存在 ， ，
x n m－ 0 ＋ －
单调递减 单调递增 单调递减
则 ，又 ，所以存在 ， ；
同理， ，又 ，所以存在 ， ，
由单调性可知，此时 有且仅有三个零点0， ， ．
综上，当 时， 有唯一零点，方程 有唯一的实根；
当 时， 有且仅有三个零点，方程 有3个实根．
典例 6、答案：（1）当 时， 在 上是减函数，在 上是增函
数，当 时， 在 上是减函数；（2） ；（3）2，证明见
解析.
详解:（1）定义域为： ， ， 由 得： ，
当 时， ， 在 上是减函数，在 上是增
函数，
当 时， ， 在 上是减函数，
当 时， ，在 上是减函数，
综上所述，当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，
当 时， 在 上是减函数.
（2）由（1）知， 当 时， ，
由 恒成立得， ， 设 ， ，
， 由 得： ， 在 上是增函数，在 上是减函数，
， ， 要使 恒成立，则 ，
当 时， 在 上是减函数，且 ， 当 ， ，不合
题意，
综上所述，实数 的集合 ；
（3）原问题可转化为方程 的实根个数问题，
当 时， 的图象与 的图象有且仅有2个交点，理由如下：
由 得， ， 令 ，
因为 ，所以 是 的一根， ，
，当 时， ， ，
所以 ， 在 上单调递减， ， 即 在 上无
实根；
，当 时， ， 所以 在 上单调递增，
又 ， ， 所以 在 上有唯一实数根 ，
，
且满足 ，
①当 时， ， 在 上单调递减， 此时 ， 在
上无实根；
②当 时， ， 在 上单调递增，
此时 ，
， 故 在 上有唯一实根；，当 时，由（1）知， 在 上单调递增，
所以 ，
故
即 在 上无实根；
综合 ， ， 得， 有且仅有两个实根，即 的图象与 的图象有且仅有
2个交点.
