2025高考总复习专项复习--一元函数的导数及其应用专题七（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习之一元函数的导数及其应用专题（完结）

2024年高考导数复习专题七 知识点一 利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数证明不等式,含参分类讨论求函数 的单调区间 典例1、已知：函数 . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 随堂练习：已知函数 . （1）讨论 的单调性；（2）求证：当 时， .典例2、已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若 且 ，求证： ． 随堂练习：已知函数 . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若 且 ，求证： .典例3、已知函数 . （1）当 时，讨论 的单调性； （2）证明：当 时， ， . 随堂练习：已知函数 讨论函数 的单调性； 设 ，对任意 的恒成立，求整数 的最大值； 求证：当 时，知识点二 利用导数研究方程的根,由导数求函数的最值（含参） 典例4、已知函数 ，其中 . （1）当 时，求 的最小值； （2）讨论方程 根的个 数. 随堂练习：已知 ， ． （1）存在 满足： ， ，求 的值；（2）当 时，讨论 的零点个数． 典例5、已知函数 ， ． （1）当a＝2时，求曲线 在 处的切线方程； （2）讨论关于x的方程 的实根个数． 典例6、函数 ， . （1）试讨论 的单调性； （2）若 恒成立，求实数 的集合 ； （3）当 时，判断 图象与 图象的交点个数，并证明.2024年高考导数复习专题七答案 典例1、答案： （1） 单调递增；（2） . 解:（1）当 时， ， 所以 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 递减； 当 时， ， 递增； 所以 取得最小值 ， 所以 在 上成立， 所以 在 上递增； （2）因为 在 上单调递增， 所以 ， 恒成立， 即 ， 恒成立， 令 ，则 ， 当 时，当 时， ， 递减； 当 时， ， 递增；所以 取得最小值 ， 所以 当 时，易知 ，不成立， 当a=0时， 成立， 综上： ， 所以实数 的取值范围 . 随堂练习：答案：（1）见解析；（2）证明见解析. 解：（1）函数 ，定义域为 ， 所以 ， 当 时， ， 在 单调递减； 当 时， 令 ，则 ，解得 ， 在 单调递增； 令 ，则 ，解得 ； 在 单调递减； 综上：当 时， 在 单调递减； 当 时， 在 单调递增，在 单调递减； （2）要证当 时， ， 只须证： ， 而 ，因此，只要证： ， 设 ， 则 ， 当 时， 单调递增； 当 时， 单调递减； 所以 ，即 ； 所以当 时， ． 典例2、答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析. 解:（1）函数 的定义域为 ， ．若 ，则 ， 在 上单调递减．若 ，当 时， ； 当 时， ；当 时， ， 故在 上， 单调递减；在 上， 单调递增． 若 ，当 时， ； 当 时， ；当 时， ， 故在 上， 单调递减；在 上， 单调递增． （2）若 且 ，则 ． 欲证 ， 只需证 ． 设函数 ，则 ． 当 时， ，函数 在 上单调递增，所以 ． 设函数 ，则 ． 设函数 ，则 ． 当 时， ， 故存在 ，使得 ， 从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减， 所以 ，且 ， 故存在 ，使得 ， 即当 时， ，当 时， ，从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减． 因为 ， ， 所以当 时， ，所以 ， ， 即 ， ． 一题多解：（2）另解一 若 且 ，则 ， 欲证 ， 只需证 ． 设函数 ，则 ． 当 时， ，函数 在 上 单调递增． 所以 ． 设函数 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 即原不等式成立． 随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)证明见解析. 解:（1）函数 的定义域为 ①若 时，则 ， 在 上单调递减； ②若 时，当 时， 当 时， ；当 时， 故在 上， 单调递减；在 上， 单调递增 （2）若 且 ，欲证 只需证 即证设函数 ， ，则 当 时， ；故函数 在 上单调递增 所以 设函数 ，则 设函数 ，则 当 时， 故存在 ，使得 从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减 当 时， 当 时， 故存在 ， 使得 即当 时， ，当 时， 从而函数 在 上单调递增；在 上单调递减 因为 故当 时， 所以 即 典例3、答案：（1） 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）证明见解析. 解：（1）由题意知， , 当 时， 对 恒成立， 所以当 时， ；当 时， , 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．（2）证明：要证明当 时， ， , 即证当 时，对任意 ， 恒成立， 令 ， 所以 ， 因为 ， ，则 ，仅在 或 时取等号，所以函数 在 上单调递减， 所以 ， 即当 时， ， . 随堂练习:答案:（1）当 时，函数 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；（2） ；（3）证明见解析. 解:（1） ① 若 ，则 ，函数在 上为增函数； ②若 ，由 可得 ；由 可得 因此在 上为增函数，在 上为减函数； （2）若 ，则 ，不满足题意；若 ，则 在 上为增函数，在 上为减函数； 设 ，则 ，又 在 上单调递增 且 ， 故存在唯一 使得 当 时， ，当 时， 故 ，解得 ，又 ， 则综上 的最大值为 ； （3）由（2）可知， 时， ， 记 ，则 记 ，则 由 可得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增所以 故 ，故函数 在 上单调递增 即 典例4、答案：（1） （2）答案见解析 解：（1） 时， . ① 时， ， ， 所以 ，即 在 时单调递减； ② 时 ， . 所以 ，即 在 时单调递增； 当 时， 取得最小值为 所以 的最小值 是 . （2）由题 ， ， 则 ， 即 . 所以 .由 ，得 . 当 时， ； 当 时，； 所以， 在 上递减；在 上递增. 又因为 ，所以 ，当且仅当 或 . 又 ，故 和 不可能同时成立. 所以方程根 的个数是两函数 和 的零 点个数之和，其中 当 时，函数 的零点个数转换为直线 与函数 图象的 交点个数， ，令 ，即 ，解得 . 当易知 时， , 单调递减， 当 时， ， 单调递 增； 在 处取得最小值为 ， 所以 时，直线 与函数 图象无交点，函数 无零点； 时，直线 与函数 图象有一个交点，函数 有1个零点； 时，直线 与函数 图象有2个交点函数， 有2个零点. 同理：函数 的零点个数转化为直线 与函数 图象交点个数， 设 ，则 所以函数 在 单调递增， 在 处的函数值为 ， 所以故 时， 在 上必有1个 零点. 综上所述， 时，方程有1个根； 时，方程有2个根； 时，方程 有3个根.随堂练习：答案：（1） 或4； （2）答案见解析. 解：（1） 时 ，原条件等价于 ， ∴ ， 令 ，则 ， ∴ 为增函数，由 ，则 有唯一解 ，所以 ， 时， ，解得： ． 综上， 或4． （2）ⅰ. 时 ，则 ， ， 而 ， ，即 为增函数，又 ， 当 时 ；当 时 ，故 ， ∴ 恒成立，故 时零点个数为0； ⅱ. 时， ，由①知：仅当 时 ，此时零点个数为 1． ⅲ. 时， ，则 ， ， ∴ 为增函数， ， ， ∴ 仅有一解，设为 ，则在 上 ，在 上 ， 所以 最小值为 ，故 ．又 ， ， 故 、 上 各有一零点，即 有2个零点． ⅳ. 时， 上 ， ， ∴ 无零点，则 上 ， ， ， ∴ 为增函数， ， ， ∴ 有唯一解，设为 ，则 ， 又 ， ， 故 、 上， 各有一个零点，即 有2个零点． ⅴ. 时，由（1）知： 上 有唯一零点： ； 在 上 ，则 ， ， 所以 为增函数， ， ，故 使 ， 则 上 ， 递减； 上 ， 递增； 故 ，而 ， 又 ， ，故在 、 上 各有一个零点， 所以 共有3个零点． 综上： 时 零点个数为0； 时 零点个数为1； 时 零点个数 为2； 时 零点个数为3．典例5、答案：（1） （2）答案不唯一，具体见解析 解：（1）当a＝2时， ， ， 则切线的斜率为 ， 又 ，所以曲线 在 处的切线方程是 ，即 ． （2） 即为 ，化简得 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ． 当 时， ，即 在 上单调递 增； 当 时， ，即 在 上单调递减． ①当 时， ，即 ， 所以 在R上单调递 减． 又 ，所以 有唯一零点0； ②当 时， ， ，所以存在 ， ， 又 ， 令 ， ， 所以 在 上单调递减， ， 即 ，所以存在 ， ， x n m－ 0 ＋ － 单调递减 单调递增 单调递减 则 ，又 ，所以存在 ， ； 同理， ，又 ，所以存在 ， ， 由单调性可知，此时 有且仅有三个零点0， ， ． 综上，当 时， 有唯一零点，方程 有唯一的实根； 当 时， 有且仅有三个零点，方程 有3个实根． 典例 6、答案：（1）当 时， 在 上是减函数，在 上是增函 数，当 时， 在 上是减函数；（2） ；（3）2，证明见 解析. 详解:（1）定义域为： ， ， 由 得： ， 当 时， ， 在 上是减函数，在 上是增 函数， 当 时， ， 在 上是减函数， 当 时， ，在 上是减函数， 综上所述，当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数， 当 时， 在 上是减函数. （2）由（1）知， 当 时， ， 由 恒成立得， ， 设 ， ， ， 由 得： ， 在 上是增函数，在 上是减函数， ， ， 要使 恒成立，则 ， 当 时， 在 上是减函数，且 ， 当 ， ，不合 题意， 综上所述，实数 的集合 ； （3）原问题可转化为方程 的实根个数问题， 当 时， 的图象与 的图象有且仅有2个交点，理由如下： 由 得， ， 令 ， 因为 ，所以 是 的一根， ， ，当 时， ， ， 所以 ， 在 上单调递减， ， 即 在 上无 实根； ，当 时， ， 所以 在 上单调递增， 又 ， ， 所以 在 上有唯一实数根 ， ， 且满足 ， ①当 时， ， 在 上单调递减， 此时 ， 在 上无实根； ②当 时， ， 在 上单调递增， 此时 ， ， 故 在 上有唯一实根；，当 时，由（1）知， 在 上单调递增， 所以 ， 故 即 在 上无实根； 综合 ， ， 得， 有且仅有两个实根，即 的图象与 的图象有且仅有 2个交点.