文档内容
培优点 4 切(割)线放缩
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，
也可以用切线不等式进行放缩．导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我
们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起
到事半功倍的效果．
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问
题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的
放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取
等号．
题型一 单切线放缩
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x＋1.当x>－1时，ln(x＋1)≤x.当x>0时，x>sin x；当
x<0时，x0时，讨论f(x)的单调性；
(2)证明：ex＋>f(x)．
(1)解 由题意可知x>0，
f′(x)＝－－2＝－，
对于一元二次方程2x2－x＋a＝0，Δ＝1－8a.
当a≥时，Δ≤0，f′(x)≤0恒成立，
f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
当00，
f(x)在上单调递增；
当x∈∪时，
f′(x)<0，f(x)在和上单调递减．
综上，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
当0f(x)，
即证ex>ln x＋2.
不妨设h(x)＝ex－(x＋1)，
则h′(x)＝ex－1，h′(0)＝0，当x<0时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
因此h(x)≥h(0)＝0，ex－(x＋1)≥0恒成立．
令m(x)＝ln x－x＋1，x>0，
则m′(x)＝－1＝，
当00，m(x)单调递增，
当x>1时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
故当x＝1时，m(x)取得最大值m(1)＝0，因此ln x－x＋1≤0恒成立，
则ex－(x＋1)＋[x－(ln x＋1)]
＝ex－(ln x＋2)>0恒成立(等号成立的条件不一致，故舍去)，
即ex>ln x＋2.从而不等式得证．
题型二 双切线放缩
例2 (2023·福州模拟)已知函数f(x)＝xln x－x.若f(x)＝b有两个实数根x ，x ，且x0，得x>1；
令f′(x)<0，得00，则be＋e，
2 1
函数f(x)图象上有两点A(1，－1)，B(e,0)，
设直线y＝b与直线OA：y＝－x，
AB：y＝(x－e)的交点的横坐标分别为x，x，
3 4
易证xx－x＝(e－1)b＋e－(－b)＝be＋e.
2 1 4 3
综上可得be＋e0)有两个零点x，x，且x－3时，m′(x)>0，
所以F′(x)在(－∞，－3)上单调递减，
在(－3，＋∞)上单调递增，当x→－∞时，F′(x)→－，又F′(－1)＝0，
所以当x<－1时，F′(x)<0，F(x)单调递减；
当x>－1时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
所以F(x)≥F(－1)＝0，所以f(x)≥h(x)恒成立，则f(x)≥h(x)，
1 1
设h(x)＝m的根为x，则x＝－1＋，
3 3
又h(x)单调递减，
且m＝h(x)＝f(x)≥h(x)，所以x≤x.
3 1 1 3 1
设曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝t(x)，则t(x)＝x，
令G(x)＝f(x)－t(x)＝(x＋1)(ex－1)－x，
则G′(x)＝(x＋2)ex－2，
依据F′(x)的单调性可知，G′(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，
当x→－∞时，G′(x)→－2，且G′(0)＝0，
所以G(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)＝0，
所以f(x)≥t(x)恒成立，所以f(x)≥t(x)，
2 2
设t(x)＝m的根为x，则x＝m，
4 4
又函数t(x)是增函数，
且m＝t(x)＝f(x)≥t(x)，所以x≥x，
4 2 2 4 2
所以x－x≤x－x＝m－
2 1 4 3
＝1＋＝1＋2m＋，
即证x－x≤1＋2m＋.
2 1
1．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明：ex－e2ln x＞0恒成立．
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝，
当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明 要证ex－e2ln x＞0，即证ex－2＞ln x，
令φ(x)＝ex－x－1，∴φ′(x)＝ex－1.令φ′(x)＝0，得x＝0，
∴当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，
∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x) ＝φ(0)＝0，
min
即ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号．
同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
由ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，
可得ex－2≥x－1(当且仅当x＝2时取等号)，
又x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号)，
∴ex－2≥x－1≥ln x且两等号不能同时成立，
故ex－2＞ln x．即原不等式成立．
2．(2024·遂宁模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)－，x∈R.
(1)若f(x)是减函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)有两个极值点x，x，其中x＋2.
1 2 1 2 2 1
(1)解 由题意知f′(x)＝a＋≤0在R上恒成立，所以－a≥恒成立，
令g(x)＝，x∈R，则－a≥g(x) ，
max
令g′(x)＝－＝0，得x＝－1，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝g(－1)＝e，
max
即－a≥e，a∈(－∞，－e]．
(2)证明 由f(x)有两个极值点x，x，
1 2
可知f′(x)＝0有两个不相等的实数根x，x，
1 2
由(1)可知，当x→＋∞时，g(x)→0，且g(－2)＝0，则g(x)的图象如图所示，
所以－e0，
所以g(x)>e(x＋2)．
设方程e(x＋2)＝－a的根为x，
3
即e(x＋2)＝g(x)>e(x＋2)，得x>x，
3 1 1 3 1且x＝－－2，
3
过点和(0,0)的直线方程为y＝－ex，
设m(x)＝g(x)＋ex＝＋ex，x∈，
因为m′(x)＝>0，
所以m(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
所以m(x)>m(－1)＝0，则g(x)>－ex，
设方程－ex＝－a的根为x，
4
即－ex＝g(x)>－ex，得xx－x＝－＝＋2.
2 1 4 3
