5.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质
模块一：基础知识 .........................................................................3
考点一：正弦函数的图象 ..............................................................3
考点二：正弦函数图象的画法 ........................................................3
考点三：余弦函数的图象 ..............................................................3
考点四：余弦函数图象的画法 ........................................................3
考点五：正弦函数、余弦函数的图象和性质 .......................................4
考点六：函数的周期性 .................................................................4
考点七：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 .................................5
考点八：正弦、余弦型函数的常用周期 .............................................5
模块二：题型分类 .........................................................................6
题型一：用“五点法”作三角函数的图象 ..........................................6
题型二：利用图象解三角不等式 .....................................................7
题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 ...........................7
题型四：三角函数的周期问题及简单应用 ..........................................8
题型五：三角函数的奇偶性及其应用 ...............................................9
题型六：函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 ..................9
题型七：求三角函数的单调区间 ....................................................10
题型八：利用单调性比较三角函数值的大小 .....................................11
题型九：已知三角函数的单调情况求参数问题 ..................................11
题型十：三角函数的对称性 .........................................................12
题型十一：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 ...........13
题型十二：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） ..........14
题型十三：分式型求值域或最大(小)值 ...........................................15
模块三：综合巩固 .......................................................................15
5.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：正弦函数的图象
正弦函数
sin
y
x
, x
R
的图象叫做正弦曲线.
考点二：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转
0x 弧度至点B ,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标
0
0
sin
y
x
.由此,以
0x 为横坐标,
0y 为纵坐标画点,即得到函数图象上的点
0
0
(
,sin
)
T x
x
.
②将函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象不断向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象上,以下五个点:
(0,0) ，(
,1)
2
，( ,0)
，3
(
, 1)
2
，(2 ,0)
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象形状就基本确定了.因此,在
精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
考点三：余弦函数的图象
余弦函数
cos
y
x
, x
R
的图象叫做余弦曲线.
考点四：余弦函数图象的画法
(1)要得到
cos
y
x
, x
R
的图象,只需把
sin
y
x
, x
R
的图象向左平移2
个单位长度即可,这是因为
cos
sin(
)
2
x
x
.
(2)用“五点法”:画余弦函数
cos
y
x
在
[0,2 ]
x
上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1) ，(
,0)
2
，
( , 1)
，3
(
,0)
2
，(2 ,1)
再用光滑的曲线连接起来.
考点五：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
( )
sin
f x
x
( )
cos
g x
x
图象
定义域
定义域
R
R
值域
[ 1,1]
[ 1,1]
周期性
2
T
2
T
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在每一个闭区间[2
,2
]
2
2
k
k
(k
Z
)上
都单调递增;在每一个闭区间
3
[2
,2
]
2
2
k
k
(k
Z
上都单调递减
在每一个闭区间[2
,2
]
k
k
(k
Z
)上都单调递增;在每一个闭区
间[2
,2
]
k
k
(k
Z
)上都单调递
减
最值
当
2
2
x
k
(k
Z
)时，
max
1
y
;
当
2
2
x
k
(k
Z
)时，
min
1
y
;
当
2
x
k
(k
Z
)时，
max
1
y
;
当
2
x
k
(k
Z
)时，
min
1
y
;
图象的对称
性
对称中心为(
,0)
k
(k
Z
),
对称轴为直线
2
x
k
(k
Z
)
对称中心为(
,0)
2
k
(k
Z
),
对称轴为直线x
k
(k
Z
)
考点六：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数
( )
f x 的定义域为D ,如果存在一个非零常数T ,使得对每一个x
D
,都有x
T
D
,且
(
)
( )
f x
T
f x
,那么函数
( )
f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
( )
f x 的最小正周期.
考点七：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
奇偶性
( )
sin
f x
x
奇函数
( )
cos
f x
x
偶函数
( )
sin(
)
f x
A
x
当
x
k
时，
( )
sin(
)
f x
A
x
为奇函数；
当
2
x
k
时，
( )
sin(
)
f x
A
x
为偶函数；
( )
cos(
)
f x
A
x
当
2
x
k
时，
( )
cos(
)
f x
A
x
为奇函数；
当
x
k
时，
( )
cos(
)
f x
A
x
为偶函数；
考点八：正弦、余弦型函数的常用周期
函数
最小正周期
( )
sin(
)
f x
A
x
b
或( )
cos(
)
g x
A
x
b
（b
R
）
2
|
|
T
( ) |
sin(
) |
f x
A
x
或( ) |
cos(
) |
g x
A
x
|
|
T
( ) |
sin(
)
|
f x
A
x
b
或( ) |
cos(
)
|
g x
A
x
b
（
0
b
）
2
|
|
T
( )
sin |
|
f x
x
无周期
( )
cos |
|
g x
x
2
T
模块二：题型分类
题型一：用“五点法”作三角函数的图象
1.用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
π
2sin 2
6
f x
x
在
0,π 上的大致图像.
2.（1）作出函数
2sin (0
2π)
y
x
x
的简图；
（2）作出函数
1 cos (0
2π)
y
x
x
的简图．
3.用五点法画出函数
1
2sin 2
3
π
y
x
一个周期的图象.
4.已知函数
π
2sin 2
4
f x
x
，xR ．在用“五点法”作函数
f x 的图象时，列表如下：
π
2
4
x
x
f x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数
y
f x
在区间
0,π 上的图象；
题型二：利用图象解三角不等式
1.不等式
2
sin
,
(0,2 )
2
x
x
的解集为（ ）
A．
,
6 2
B．
3
,
4
4
C．
4
2
3
,
D．
,
6 4
2.不等式
π
1
sin 2
3
2
x
的解集为
．
3.不等式
1
si n
,
2
x
[0,2 ]
x
Î
的解集是（ ）
A．7
11
,
6
6
（
）
B．4
5
,
3
3
C．5
7
,
6
6
（
）
D．2
5
,
3
3
（
）
4.在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x 的取值范围是（ ）
A．
π 3π
,
4
4
B．π π
5π 3π
,
,
4 2
4
2
C．π π
,
4 2
D．5π 7π
,
4
2
题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
1.函数
sin
10
x
f x
x
的零点个数为
．
2.函数
3sin
f x
x
x
的零点个数为
.
3.已知函数
π
( )
5cos(
)(
0)
6
f x
x
在
2 2
,
上恰有2 个零点，则的取值范围为
．
4.已知函数
π
( )
cos 2
0
3
f x
x
在区间(0,2π) 上有且仅有10 个零点，则ω 的取值范围是
.
5.方程
1
sin π
4
x
x
的解的个数是
．
6.已知函数
π
( )
4cos 2
3
6
f x
x
，则
( )
f x 在
π 5π
,
12
6
上的零点个数为
．
7.已知函数
π
sin
(
0)
6
f x
x
），若方程
2
[
]
1
f x
在
0,3π 上恰有5 个实数解，则实数的取
值范围为 ．
8.已知函数
2
sin π ,
0,2
( )
log (
2) ,
(2,
)
x x
f x
x
x
，若存在实数k 满足
f a
f b
( ,
,
f c
f d
k a b c d
,
互不
相等) ，则
a
b
c
d 的取值范围是
.
题型四：三角函数的周期问题及简单应用
1.下列函数，最小正周期为2π的是（ ）
A．
sin 2
x
y
B．
sin2
y
x
C．
sin 2
x
y
D．
sin2
y
x
2.（多选）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π 的函数是（ ）
A．
sin2
y
x
B．
sin
y
x
C．
3π
cos 2
2
y
x
D．
π
sin 2
2
y
x
3.求下列函数的最小正周期．
(1)
π
sin 3
3
y
x
；
(2)
π
cos 2
6
y
x
.
4.下列函数中，最小正周期为π 的函数是（ ）
A．
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
cos
y
x
D．
sin
y
x
题型五：三角函数的奇偶性及其应用
1.（多选）已知函数
sin
0
f x
x
为偶函数，则的取值可以为（ ）
A．π
2
B．π
C．
3π
2
D．2023π
2
2.已知函数
2
π
cos 2
3
f x
x
x
，
0,π
是奇函数，则的值为
．
3.已知函数
cos
f x
x
，则
2
是
f x 为奇函数的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4.若函数
π
sin
e
e
6
x
x
f x
x
m
为偶函数，则m 的最小正值为
.
5.使函数
3sin 2
cos 2
f x
x
x
为奇函数，则的一个值可以是（
）
A．π
3
B．π
6
C．
π
3
D．
π
6
题型六：函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题
1.写出一个同时满足下列三个条件的函数
f x 的解析式
.
①
1
1
f
x
f
x
；②
3
3
2
2
f
x
f
x
；③
f x 在
0,1 上单调递增.
2.已知
*
sin
,0
π
f x
x
N
是R 上的奇函数，且
f x 在区间
π
π
,
22 11
上是单调函数，则
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3.已知
π
cos
0,
2
f x
x
，且
y
f x
的最小正周期为2.若存在
0
m
，使得对于任意xR ，
都有
f x
m
mf
x
，则为（ ）
A．
π
4
B．π
4
C．
π
3
D．π
3
4.已知
sin
0,0
f x
x
是R 上的奇函数，若
f x 的图象关于直线
4
x
对称，且
f x
在区间
,
22 11
内是单调函数，则
6
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
5.某函数
( )
f x 满足以下三个条件：
①( )
( ) 1
g x
f x
是偶函数；②(2
)
( )
0
g
x
g x
；③
( )
f x 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数
( )
f x 的解析式
．
题型七：求三角函数的单调区间
1.用“五点法”作出函数
π
2sin
3
3
y
x
的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.
2.已知函数
π
2cos
3
4
f x
x
，
,
2 2
π π
x
，则
f x 的单调递增区间是（ ）
A．
π ,0
2
B．
π
π
,
4 12
C．
π
π
,
2
4
，
5π
,
12 12
π
D．
π
π
,
4 12
，5π π
,
12 2
3.函数
2sin 2
,
[
,0]
6
y
x
x
单调减区间为
4.已知函数
π
sin 2
3
f x
x
，则
f x 在
π
0, 2
上的单调递增区间为（ ）
A．
π
0, 2
B．
5π
0, 12
C．5π π
,
12 2
D．π π
,
3 2
题型八：利用单调性比较三角函数值的大小
1.比较下列各组数的大小.
(1)
15π
cos 8 与
14π
cos 9 ；
(2)cos 1 与sin 2.
2.不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）sin250与sin 260° ；
（2）
15π
cos 8 与
14π
cos 9 .
3.已知
6π
sin 7
a
，
4π
sin 7
b
，
2π
sin 7
c
，则（ ）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．b
c
a
4.下列各式中正确的是（ ）
A．
3π
π
sin
sin
5
5
B．cos2
cos3
C．
17π
23π
cos
cos
4
5
D．
π
π
sin
sin
18
10
5.令
π
sin
10
a
，
π
sin
18
b
，判断a 与b 的大小关系是（ ）
A．a
b
B．a
b
C．a
b
D．无法判断
6.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
sin
1
，
sin
1.1
；
(2)
11π
cos 7 ，
12π
cos 7 ．
题型九：已知三角函数的单调情况求参数问题
1.已知函数
π
( )
cos
(
0)
3
f x
x
在区间π 3
,
π
4 4
上单调递减，则实数的取值范围为
.
2.已知函数
π
sin
3
f x
x
在
π
x
时有最大值，且
f x 在区间
π
0,18
上单调递增，则的最大值是
（ ）
A．11
6
B．1
6
C．13
6
D．19
6
3.已知函数
π
( )
sin(
)
3
f x
x
，对于
R
x
，
π
f x
f
，且
f x 在区
π
0 18
，
上单调递增，则的最大
值是（ ）
A．11
6
B．1
6
C．13
6
D．19
6
4.已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
的周期为T ，且满足
2π
T
，若函数
f x 在区间
,
6 4
不单调，则
的取值范围是（ ）
A．3 ,1
4
B．
1 ,1
2
C．2 ,1
3
D．4 ,1
5
5.若函数
2cos
y
x
在区间
2π
0, 3
单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1
B．
1
2
C．2
D．1
3
6.（多选）已知
0
，函数
π
( )
2sin
6
f x
x
在π 5π
2
6
，
上单调递减，则实数的取值可以是（ ）
A．1
B．4
3
C．5
3
D．2
题型十：三角函数的对称性
1.设函数
π
cos
,(
0)
4
f x
x
的最小正周期为π
5 ，则它的一条对称轴方程为（
）
A．
π
8
x
B．
π
8
x
C．
π
12
x
D．
π
12
x
2.已知函数
π
π
( )
sin(
)
2
2
f x
x
在3π 7π
,
8
8
内单调递减，
3π
8
x
是函数
( )
f x 的一条对称轴，且
函数
π
8
y
f
x
为奇函数，则
7π
24
f
（ ）
A．
3
2
B．1
C．
1
2
D．
3
2
3.已知函数
π
3sin
0,
2
f x
x
的最小正周期为π ，其图象关于直线
π
3
x
对称，则
π
4
f
.
4.设函数
π
sin
3
f x
x
，若
f x 的图象关于点π ,0
6
对称，则的值可以是
．（写出一个满足
条件的值即可）
5.函数
π
5sin(
)
4
y
x
的一条对称轴为（ ）
A．
3π
4
x
B．
π
2
x
C．
π
3
x
D．
5π
4
x
6.知常数
R
，如果函数
cos 2
y
x
的图像关于点4π ,0
3
中心对称，那么的最小值为（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．π
2
题型十一：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
1.已知函数
π
2sin 2
6
f x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期；
(2)求函数
f x 的单调递增区间.
(3)求函数
f x 在
π
0, 2
上的最大值.
2.函数
2cos(2
),
[
,
]
6
6 4
y
x
x
的值域为
．
3.已知函数
π
2sin 4
6
x
x
f
．
(1)求
f x 的单调区间；
(2)求
f x 在
π
0, 3
上的值域．
4.已知函数
π
3cos 2
4
f x
x
.
(1)求函数
f x 的对称中心和单调递减区间；
(2)若
π 3π
,
4
4
x
，求函数
f x 的值域.
题型十二：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
1.函数
2
sin
3cos
2
y
x
x
的最大值为（ ）
A．5
B．21
4
C．1
D．1
2.求函数
2
cos
2 sin
3
y
x
a
x
，
R
a
的最大值．
3.已知函数
2
sin
sin
f
x
a
x
a
x
a
b
（,
a b
R
）的定义域为
5π π
,
6
2
，且函数
f x 的最大值为3，
最小值为1，求a，b 的值．
4.已知
π 2π
,
3
3
x
，求函数
2
3(1
cos
)
4cos
4
y
x
x
的值域．
题型十三：分式型求值域或最大(小)值
1.函数
cos
3
cos
1
x
y
x
的定义域是
，值域是
．
2.求函数
2
cos
2
cos
x
y
x
的值域．
3.函数
2
cos
( )
2
cos
x
f x
x
的值域为
.
模块三：综合巩固
1.函数
cos
0
y
x x
的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（ ）
A．π ,1
2
B．
π,1
C．
0,1
D．
2π,1
2．用“五点法”作
2cos2
y
x
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（
）
A．
π
3π
0,
,π,
,2π
2
2
B．
π π 3π
0,
,
,
,π
4 2
4
C．0,π,2π,3π,4π
D．
π π π 2π
0,
,
,
,
6 3 2
3
3.函数
cos
y
x
的一个单调减区间是（ ）
A．
π π
,
4 4
B．
π 3π
,
4
4
C．
3π
π, 2
D．
3π ,2π
2
4.函数
2
cos
3cos
2
y
x
x
的最小值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．6
5.函数
5π
sin(
2 )
2
y
x
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．以上都不对
6.用五点法分别画下列函数在[
, ]
上的图象:
(1)
sin
y
x
;
(2)
2
cos
y
x
.
7.不等式
1
cos
π,π
2
x
x
的解集为
.
8.已知关于x 的方程
π
2sin 2
0
6
x
m
在π ,π
2
上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是
．
9.已知函数
π
2sin 2
6
f x
x
，令
3
2
g x
f x
在区间
π
0, 2
上恰有2 个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，则
1
2
x
x
，
1
2
cos x
x
.
10.（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A．
cos
y
x
B．
cos
y
x
C．
sin
y
x
D．
sin
y
x
11.求下列函数的最小正周期．
(1)
1
π
cos 2
2
3
f x
x
；
(2)
( ) | sin
|
f x
x
．
12.（多选）若函数
π
3sin 2
6
f x
x
是偶函数，则的值不可能为（ ）
A．π
6
B．π
2
C．2π
3
D．5π
6
13.设函数
2
2
1
sin
1
x
x
f x
x
的最大值为a ，最小值为b ，则a
b
.
14.若函数
π
cos 2
0
6
f x
x
为奇函数，则的最小值为
.
15.已知函数
( )
2cos(
)
(
0)
f x
x
b
满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，且
π
(0)
7,
5
8
f
f
，则b （ ）
A．3
B．3 或7
C．5
D．7
16.（多选）已知定义域为R 的函数
f x 满足
1
1
0
f
x
f
x
，函数
sin
0
g x
f x
x
，若
函数
1
y
g x
为奇函数，则的值可以为（ ）
A．4
B．2
C．
D．3
2
17.y＝cos
π
2
3
x
的单调递减区间为
.
18.求函数
π
cos
2
4
y
x
的单调递增区间．
19.比较下列各组数的大小：
(1)
10π
sin 17 与
11π
sin 17 ；
(2)
5π
cos 3 与
14π
cos 9 ；
(3)sin(cos
)
与
π
cos(sin
) 0
2
．
20.已知函数
π
( )
sin
(
0)
6
f x
x
的图象关于直线
π
3
x
对称，且
( )
f x 在区间π 7π
,
3 12
内单调，则的最
大值为
．
21.已知函数
( )
2cos(
)
(
0)
f x
x
b
满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，且
π
(0)
7,
5
8
f
f
，则b （ ）
A．3
B．3 或7
C．5
D．7
22.已知函数
( )
2cos(3
)
f x
x
的图象关于点4π ,0
3
对称，那么的最小值为
．
23.函数y=2cos(2x+ 6
)，x[- 6
，4
]的值域是 （ ）
A．
1,2
B．[-1, 3]
C．
1
3
[-
,
]
2
2
D．
1
[-
,1]
2
24.已知函数
π
3
( )
sin 2
3
2
f x
x
.
(1)求
( )
f x 的最小正周期；
(2)当
7π
0, 12
x
时，求
( )
f x 的最小值和最大值.
25.函数
2
3cos
4cos
1
y
x
x
，(
)
xR 的值域为
．
26.函数
2
2
sin
cos
y
x
x
的最小值是
．
27.函数
sin cos
( )
1 sin
cos
x
x
f x
x
x 的值域为
．
