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1 三角函数 一、三角函数的图像 1.五点作图法：步骤：1.列表 2.描点 3.连线 2.三角函数的图像与性质 1°正弦函数y=sinx 2°余弦函数y=cosx 3.正弦型函数的图像变换 函数 sin( ) y A x k 的图象与函数 s i n y x 的图象之间可以通过变化 2 A k ，，，来相互转化．A ，影响图象的形状， k ，影响图象与x 轴交点的位 置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变 换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平 移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x 的 图 象 向左( >0)或向右( 0) 平移 个单位长度 得 sin( ) y x 的 图 象 ( ) 横坐标伸长(0< <1)或缩短( >1) 1 到原来的 纵坐标不变 得 sin( ) y x 的图象 ( ) A A A 纵坐标伸长( 1)或缩短(0< <1) 为原来的倍横坐标不变 得 sin( ) y A x 的图象 ( 0) ( 0) k k k 向上 或向下 平移 个单位长度 得 sin( ) y A x k 的图象． 先伸缩后平移 sin y x 的 图 象 ( 1 ) ( A A A 纵坐标伸长 或缩短 为原来的倍(横坐标不变) 得 sin y A x 的 图 象 ( 0 1 ) 1 ( ) 横坐标伸长 或缩短 到原来的 纵坐标不变 得 sin( ) y A x 的图象 ( 0 ) ( 0 向左 或向右 平移 个单位 得 sin ( ) y A x x 的图象 ( 0) ( 0) k k k 向上 或向下 平移 个单位长度 得 sin( ) y A x k 的图象． 4.易错点 易错点1 y 轴方向的伸缩变换与伸缩系数A 保持一致，但x 轴方向的伸缩 变换与伸缩系数ω 恰好相反． 易错点2 求正弦型函数的单调性时，没有注意A 的正负，导致增减区间搞反 了。 易错点3 在进行正弦型函数伸缩变换时，先平移再伸缩一般不会出现问题， 但是在先伸缩再平移时，向左（右）平移φ个单位，得到的是加（减） ωφ，而不是φ。 二、三角函数的性质 （1）正弦型函数的单调性 对于正弦型函数y=Asin(ωx+φ),（A>0,ω>0）的单调性求法： 直接建立关系式ωx+φ∈[− π 2+2kπ, π 2+2kπ] (k∈Z)解出x 的范围，所得区间 即为单调增区间； 3 同理由ωx+φ∈[ π 2+2kπ, 3π 2 +2kπ] (k∈Z)解出x 的范围，即为单调减区间． （2）正弦型函数y=Asin(ωx+φ)A>0 的最值： ①值域为[−A,A]． ②当ωx+φ= π 2 +2kπ (k∈Z)时，取得最大值A； 当ωx+φ=− π 2+2kπ (k∈Z)时，取得最小值−A． （3）周期性 y=Asin(ωx+φ)的周期仅与自变量的系数ω 有关，最小正周期 T= 2𝜋 | 𝜔 | ． （4）对称性 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的对称性： （1）对称轴：令ωx+φ= π 2+kπ(k∈Z) （2）对称中心：令ωx+φ=kπ (k∈Z) 2.已知三角函数图像求三角函数y=Asin(ωx+φ),（A>0,ω>0）解析式 由最大（最小）值求出A ，由周期求出，由特殊点的坐标代入求出（注 意，取零点时要注意是第一零点还是第二零点）。 相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期；相邻的两个最值点的间距为 半个周期；相邻的两个对称中心的间距为半个周期；最高点和与之相邻的对称中 心的间距为四分之一个周期。 平面向量 一、向量的分解系数 1.中点的向量表达式 如果C 是AB 的中点，则对空间内的任意一点O，都有𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 2（𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ） 2.三点共线的条件 方法一：如果A、B、C 是平面内不同的三个点，若有𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A、B、C 三 点共线。 4 方法二：𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 、𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 是同一平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向 量都𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 可以用这两个向量唯一线性表示：𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 。如果点C 在直线AB 上，则有x+y=1；反之如果x+y=1，则点C 在直线AB 上。 二、数量积 1.向量的数量积运算： 𝑎 ·𝑏⃗ =|𝑎 ||𝑏⃗ |cos< 𝑎 , 𝑏⃗ > =|𝑎 |cos< 𝑎 , 𝑏⃗ > |𝑏⃗ | =|𝑏⃗ |cos< 𝑎 , 𝑏⃗ > |𝑎 | |𝑎 |cos< 𝑎 , 𝑏⃗ >表示的是向量𝑎 在向量𝑏⃗ 方向上的投影。|𝑏⃗ |cos< 𝑎 , 𝑏⃗ >表示的向量 𝑏⃗ 在向量𝑎 方向上的投影。很多时候我们需要灵活运用这个式子。 向量的数量积满足交换律，数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即𝑎 ·（𝑏⃗ ·𝑐 ） ≠（𝑎 ·𝑏⃗ ）·𝑐 2.平面向量数量积的性质 设向量𝑎 ，𝑏⃗ 都是非零向量，向量𝑎 与向量𝑏⃗ 的夹角为θ，则： 1） 𝑎 ⊥𝑏⃗ 即𝑎 ·𝑏⃗ =0 2） 当𝑎 ，𝑏⃗ 方向相同时，𝑎 ·𝑏⃗ =|𝑎 ||𝑏⃗ |；当𝑎 ，𝑏⃗ 方向相反时，𝑎 ·𝑏⃗ =-|𝑎 ||𝑏⃗ |；特 别地，𝑎 ·𝑎 =|𝑎 |𝟐（用于计算向量的模） 3）cosθ= 𝑎⃗ ·𝑏⃗ |𝑎⃗ ||𝑏⃗ |(用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状) 4） |𝑎 ·𝑏⃗ |≤|𝑎 ||𝑏⃗ | 3.向量积的运算 1）定义法：已知两个向量的模长与夹角，直接运用公式，𝑎 ∙𝑏⃗ = |𝑎 ||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠< 𝑎 , 𝑏⃗ > 2）投影法：投影法与定义法基本一样，讲定义法中的公式拆分开来𝑎 ∙𝑏⃗ = |𝑎 |(|𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠< 𝑎 , 𝑏⃗ >) = |𝑏⃗ |(|𝑎 |𝑐𝑜𝑠< 𝑎 , 𝑏⃗ >),其中|𝑎 |𝑐𝑜𝑠< 𝑎 , 𝑏⃗ >和|𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠< 𝑎 , 𝑏⃗ >分别表示𝑎 在𝑏⃗ 上的投影 和𝑏⃗ 在𝑎 上的投影。如果投影与𝑏⃗ （𝑎 ）的方向一致，则投影为正，如果方向相反，则投影为 负。这种方法适用于不知道夹角时，但𝑎 与𝑏⃗ 有一定的几何关系。 如图， ， ， 是三个边长为 的等边三角形，且有一条边在 同一直线上，边 上有 个不同的点 ，则 ________． 【答案】36 5 【解析】解:由图可知， ，又 ， ， 又 ， ， ； ． 故答案为: ． 本题中，由于B3C3⊥AB2,故不管P1,P2的具体位置在哪，最终的答案都是固定的。 3）基底法：在图形中选一组适当的基底𝑒1⃗⃗⃗ 、𝑒2⃗⃗⃗ （如三角形两边，平行四边形两邻边），将 所求向量𝑎 、𝑏⃗ 按所选基底作分解：𝑎 =λ𝑒1⃗⃗⃗ +λ𝑒1⃗⃗⃗ ，𝑏⃗ =μ𝑒1⃗⃗⃗ +μ𝑒1⃗⃗⃗ 即可利用分配律求的数量积． 基底分解法是求数量积最重要的方法． 4) 坐标法：建立适当的直角坐标系，求出相应向量的坐标：𝑎 =(a1,a2)、𝑏⃗ =(b1,b2)，利用坐 标运算𝑎 ⋅𝑏⃗ =a1b1+a2b2 求数量积． 坐标法实际上是基底分解法的特殊情形． 三、坐标法 直角坐标表示向量下的向量运算法则： 若𝑎 =（x𝟏，y𝟏），𝑏⃗ =（x𝟐，y𝟐）则： 𝑎 +𝑏⃗ =（x𝟏+ x𝟐，y𝟏+ y𝟐） 𝑎 -𝑏⃗ =（x𝟏−x𝟐，y𝟏−y𝟐） 𝑎 ·𝑏⃗ =x𝟏x𝟐+ y𝟏y𝟐 λ𝑎 =λ（x𝟏，y𝟏）=（λx𝟏，λy𝟏） |𝑎 |=√x𝟏2 + y𝟏2 cos<𝑎 ,𝑏⃗ >= 𝑎⃗ ·𝑏⃗ |𝑎|⃗⃗⃗⃗ ·|𝑏|⃗⃗⃗ = x𝟏x𝟐+y𝟏y𝟐 √x𝟏2+y𝟏2√x𝟐2+y𝟐2 向量共线的充要条件的坐标表示： 若𝑎 =（x𝟏，y𝟏），𝑏⃗ =（x𝟐，y𝟐），则𝑎 //𝑏⃗ 等价于x𝟏y𝟐-x𝟐y𝟏=0. 6 向量垂直的充要条件的坐标表示： 若𝑎 =（x𝟏，y𝟏），𝑏⃗ =（x𝟐，y𝟐），则𝑎 ⊥𝑏⃗ 等价于x𝟏x𝟐+y𝟏y𝟐=0.
