文档内容
重难点 03 四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在 中，角 所对的边分别为 ，
， ，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得 ；利用余弦定理可构造等量关系求
得 ，进而得到 ；利用三角形面积公式，将 表示为以 为自变量的二次函数的形式，利用二
次函数最值的求法可求得所求最大值.
【详解】由 得： ，
即 ，由正弦定理得： ；
由余弦定理得： ， ，
即 ， ， ，
，
， ，
，则当 时， ， .
故选：A.
二、多选题
2．（2021·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习）已知函数 ,则下列命题正确的是（ ）
A．函数 的单调递增区间是 ；
B．函数 的图象关于点 对称；
C．函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 ；
D．若实数m使得方程 在 上恰好有三个实数解 ， ， ，则 ．
【答案】ACD
【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各
选项.
【详解】由 ，得 .
对于A，当 时， ，
当 即 时，函数 单调递增，
所以函数 单调递增区间为 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故B不正确；
对于C，函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到所得的图象关于y轴对称，
所以 ,解得 ，
当 时，m的最小值是 ，故C正确；
对于D，如图所示，
实数m使得方程 在 上恰好有三个实数解 ， ， ，
则必有 ，或 ，此时 ，另一解为 .
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意实数 ， ，方程
有解，方程 也有解，则
的值的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意，不妨设 ，分类讨论当 ， ，
三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出 和 的值，即可得出 的值的集合.
【详解】解：由题可知 ，不妨设 ，
对于 ，对任意实数 ， ，方程 有解，当 时，方程可化为 有解，
所以 恒成立，所以 ；
当 时，同上；
当 时，方程可化为 有解，所以 ，
综上得： ；
对于 ，对任意实数 ， ，方程 也有解，
当 时，方程可化为 有解，所以 ；
当 时，同上；
当 时，方程可化为 有解，
所以 恒成立，所以 ，
所以 的值的集合为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设
，以及分类讨论 与 的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关
键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域是_________
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．
【详解】由题意知， ，即 ，
所以 的定义域为：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的
关键，着重考查了推理与运算能力．
四、解答题
5．（2021·全国·高三专题练习）已知 ，①
，②
求证： .
【分析】证法一：将 与 看作方程 的两根，证明此方程的两根之差为
零即可；.证法二：将①式看作以3为元的一元二次方程，②式的左端恰为该方程的判别式求解.
【详解】证法一：已知条件可变为 ，
.
视 与 为方程 的两根，
问题转化为证明此方程的两根之差为零.
由于 .
因此， .
证法二：注意到已知条件中的数学关系 ，则①式就是以3为元的一元二次方程，
而②式的左端恰为该方程的判别式，从而可得 .
则①式变为 .（*）当 时，由已知条件可得 ，从而 ；
当 时，由②式知方程（*）有两个相等的实数根，
，即 ，代入①式得 .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.
（1）若当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，求实数a，b的值
（2）若 ， 设函数 ，且当 时， 恒成立，求实数m的取
值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1）配方得到 ，根据 ， ，分 ， ，
讨论求解；
（2）方法一：通过参变分离转化为 恒成立求解；方法二：由
恒成立，令 ，转化为 在 上恒成
立求解，
【详解】（1） ，
∵ ， ，
∴当 时， ， .
解得 或 （舍去），
∴ ， .当 时， ， .
解得 （舍去）.
综上所述， ， .
（2）解法一： .
当 时， 恒成立，
，令 ，则 .
，
由对勾函数的性质得
，
所以 .
∴m的取值范围是 .
解法二： .
当 时， 恒成立，
令 ，则 ，则 在 上恒成立，
则 ，即 .∴m的取值范围是 .
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2022·四川绵阳·三模（文））函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由图象可得 、 求出 ，五点法求 ，进而写出 解析式，即可求 .
【详解】由图知： 且 ，则 ，可得 ，
又 且 ，则 ， ，由 ，可得 ，
所以 ，则 .
故选：B
2．（2022·河南·高三阶段练习（文））勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高
定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图
1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．
在图2中，若 ， ，D，E两点间的距离为 ，则弦图中小正方形的边长为（ ）A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】在 中利用余弦定理可求出 ，则可得 ，再由锐角三角函数的定义可求出
，由勾股定理求出 ，从而可求得答案
【详解】连接 ，由条件可得 ，在 中，由余弦定理得
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
所以弦图中小正方形的边长为 ．
故选：C
二、多选题
3．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，
其中 ，且 的面积为 ，则下列函数值恰好等于 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意得到 ，根据条件可以求出 ，所以
，根据选项求值判断即可.
【详解】根据题意得， ，因为 ，所以 ，即 ，所以
，又 的面积为2，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 （舍去）， .
所以 ，即 .
所以 ，故A正确；
所以 ，故B不正确；
所以 ，故C正确；
所以 ，故D不正确.故选：AC.
三、填空题
4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数 （其中 为常数，且 ）有且
仅有 个零点，则 的最小值为_______
【答案】2
【分析】利用函数与方程的关系转化为两个图象交点个数问题即可求解
【详解】
由 得 ,
,
设 ,则
作出 与 的图象如图
则 ,得 ,
即 的最小值是 ,
故答案为: .
5．（2022·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），
为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已
被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的
A，B两点，测得 米， ， ， ，则蜚英塔的高度 是
_______米．【答案】35
【分析】设 米，则可得 ，然后在 中利用余弦定理列方程可求出 的值，从
而可求出蜚英塔的高度
【详解】设 米，因为 ， ， ，
所以 ，
在 中， ， ，则由余弦定理得
,
，解得 ，
所以蜚英塔的高度 是35米，
故答案为：35
四、解答题
6．（2022·山东济宁·二模）如图，在梯形ABCD中， ， .
(1)求证：BC=2CD；
(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在△ACD和△ABC中，分别利用正弦定理可得 ，
，再由 ，可得∠ACD=∠CAB，所以得 ，再结合已
知条件可得 ，从而可证得结论，
（2）在△ACD中，由余弦定理可求得 ， ， 在△ABC中，再利用余
弦定理可求出 ，从而可求出梯形的面积
(1)在△ACD中，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以∠ACD=∠CAB，
所以
在△ABC中，由正弦定理得 ，
即 ，
所以 .
又 ，
所以 ，即BC=2CD.
(2)由（1）知 .
在△ACD中，由余弦定理得 ，
解得 .
所以 .
在△ABC中， ，解得 或3.
又因为ABCD为梯形，所以 .
又梯形ABCD的高为 ，
所以梯形ABCD的面积为 .
题型三：分类与整合思想一、多选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 为周期函数 B． 在 上单调递增
C． 的值域为 D． 的图像关于直线 对称
【答案】AD
【分析】易求得 ，即可判断A；由 ，得 ，
，结合正弦函数的单调性即可判断B；分 和
两种情况讨论，求出函数的值域，即可判断C；判断 是否
相等即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 是函数 的一个周期，故A正确；
当 时， ，
此时 ，则 ，所以 ，
当 时， ，
此时 ，则 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ，故C错误；
对于B，当 时， ，则 ，所以函数 在 上单调递减，故B错误.
对于D，因为 ，
，
所以 ，
所以 的图像关于直线 对称，故D正确.
故选：AD.
2．（2021·江苏省江都中学高三阶段练习）关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在区间 单调递减
C． 在 有4个零点
D． 的最小值为
【答案】AC
【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；
当 ， 时， ，由复合函数单调性可知，即可判断B；
当 时， ，令 ，即可判断C；
分三种情况，当 ， 时，当 ， 时，当 ， 时，确定 最小值，即可判断D．
【详解】解：对于A， ， 是偶函数，故A正确；
对于B，当 ， 时， ，则 ，当 ， ，
所以函数 在 ， 上不具有单调性，故B错误；
对于C，当 时， ，令 ，可得 ， ，又 是偶函
数，
所以 在区间 ， 上有4个零点，故C正确；
对于D， ，
所以 是函数 的一个周期，
当 ， 时， ，
此时 最小值为1，
当 ， 时， ，
此时 最小值为-1，
当 ， 时， ，
此时 最小值为 ，
所以 最小值为-1，故D错误.
故选：AC.
二、双空题
3．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知 ， 能够说明命题“若对任意实数 都有
成立，则必有 ， ”为假命题的一组A， 的值为________，
________．【答案】
【分析】要使对任意实数 都有 成立，则 ，再分 和 两种情况
讨论，结合诱导公式求出 的值，即可得出答案.
【详解】解：若对任意实数 都有 成立，
则 ，
当 时，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
当 时，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
综上所述，对任意实数 都有 成立，则 ， 或 ， ，
所以能够说明命题为假命题的一组A， 的值为 ， .
故答案为： ； .
三、填空题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是 ，
2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据等差中项和等比中项的性质求出 ，再根据三角形三边的关系及余弦定理，分a为最大边
和c为最大边两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：因为b是 ，2的等比中项，
所以 ，所以 ，又因c是1，5的等差中项，
所以 ，所以 ，
因为△ABC为锐角三角形，
①当a为最大边时，有 ，
解得 ；
②当c为最大边时，有 ，
解得 ，
综上所述 ，所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
① 在 上的最小值是1；
② 的最小正周期是 ；
③直线 是 图象的对称轴；
④直线 与 的图象恰有2个公共点.
其中说法正确的是________________.
【答案】①③④【分析】结合三角函数的图像和性质，数形结合思想求解，求出 即可判断②，分k为奇数，k
为偶数，讨论即可判断③.
【详解】解：对于①，当 时，
且 ，则当 时，函数 取最小值，即 ，故①正确；
对于②，∵ ， ， ，则：
故函数 的最小正周期不是 ，②错误；
对于③，若k为奇数，则
；
若k为偶数，则 .
由上可知，当 吋， ，
所以，直线 是 图象的对称轴，③正确；
対于④，因为∵ ，
所以 为函数的周期.
当 时， ；
当 时， .综上可知， .
当 时， ， ，即函数 与 在 上的图象无交点：
当 时， ， ，所以，函数 与 在 上的图象也无交点.作出函数
与函数 在 上的图象如下图所示：
由图像可知，直线 与 的图象恰有2个公共点，故④正确.
故答案为：①③④.
四、解答题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 ．
(1)若 ，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．
【分析】（1）由题设写出 的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.
（2）由题设可得 且 ，由正弦函数的性质，讨论端点 的位置并求出对应的值
域范围.
(1)由题设， ，
所以，根据余弦函数的性质：当 时， 在 上递增；
当 时， 在 上递增；
(2)由题设， ，则 ，又 ，即 ，
所以 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；
7．（2021·山西朔州·高三期中（文））在 中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c， ，
时.
(1)若 ，求c；
(2)记 ， 是直角三角形，求k的值.
【答案】(1)8(2) 或
【分析】（1）利用余弦定理即得；
（2）分 和 讨论，结合条件即得.
(1)在 中，由余弦定理得 ，
∴
即 ， ，
所以 .
(2) 是直角三角形，
若 ，则 ， ，若 ，则 ， .
故 或 .
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次
小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行
边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上
方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意解出 长度，设 ，得到 ，再分析求值域，判
断取等条件即可求解.
【详解】设 ，并根据题意作如下示意图，由图和题意得： ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，又 ，所以 ，解得 ，即 ，
设 ， ，则 ，
，所以在 中，
有 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则要使 最大，
即 要取得最小值，即 取得最大值，
即 在 取得最大值，
令 ， ，
所以 的对称轴为： ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 最大，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，即为获得最佳的射门角度（即 最大），
则射门时甲离上方端线的距离为： .
故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
，
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根
垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.
我们把地球表面抽象为平面 ，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如
下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面 ，直线l有两点A，B位于平面 的同侧，求平面上
一点C，使得 最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为 ，
.设点C的坐标为 ，当 最大时， （ ）A．2ab B．ab C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知 ，分别表示出 ，然后利用两角差的正
切公式表示出 ，再结合基本不等式，即可求得结果.
【详解】由题意可知 时锐角，且 ,
而 ，
所以 ，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， ，此时 最大，
故选：D.
4．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.
【详解】因为所以最小正周期 .
故选：C
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D正确；
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，
都有 ，则称函数 是“元周期函数”，非零常数 为函数 的“元周期”现
有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（ ）
A．如果“元周期函数” 的“元周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数；
B．函数 是“元周期函数”
C．常数函数 是“元周期函数”
D．如果函数 是“元周期函数”，那么“ 或 ”
【答案】ACD【分析】根据题意，首先理解“元周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.
【详解】A选项：∵“元周期函数” 的“元周期”为 ，
， ，
故 它是周期为2的周期函数，故A正确；
B选项：若函数 是“元周期函数”，则存在非零常数 ，使 ，
即 恒成立，故 成立，但无解，故B错误；
C选项：常数函数 是“元周期函数”，则存在非零常数 ，使 ，即 恒成
立， 时恒成立，故C正确；
D选项：若函数 是“元周期函数”，则存在非零常数 ，则 ，
即 恒成立，故 恒成立，
即 恒成立，
故 ，可得 或 ，
故 或 ，故D正确.
故选：ACD
7．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合 ，若对于任意 ，存在
，使得 ，则称集合 是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.【详解】对于A， 表示的几何意义是 ，即对曲线每一个点与原点构成的直线 ，
与之垂直的直线 与曲线都存在交点，如图所示，当点 运动时，直线 与曲线 均有交点，
故A正确；
对于B,若满足 ，则 ，在实数范围内无解，故B不正确；
对于C， ，画出 的图象，如图所示，直角 始终存在，即对于任意
，存在 ，使得 成立，故C正确；
对于D， ，取点 ，若存在 使得 成立，则 ，则
一定有 ，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新
定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，
要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵
活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，
“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
三、填空题
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ， ，若对任意实数 都有
，定义在区间 ， 上的函数 的图象与 的图象的交点横坐标为 ，则满足条件的有序实数组 ， ， ， 的组数为___________．
【答案】28
【分析】根据 结合 、 ， 可得出 、 、 的取值组合，求得方
程 在区间 的解，可得出 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组 的
组数.
【详解】解： 对任意实数 都有 ， ，
若 ，则方程等价于 ，则函数的周期相同，
若 ，此时 ；若 ，此时 ；
若 ，则方程等价于 ，
若 ，此时 ；若 ，此时 ．
综上，满足条件的数组 ， ， 为 ，3， ， ， ， ，
， ， ， ，3， 共4组．
而当 时， ，得 或 ，
或 ，
又 ， ， ．
满足条件的有序数组 ， ， ， 共有 ．
故答案为：28．
9．（2022·全国·高三专题练习）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数
学模型是函数 ，则下列结论正确的是________．(填序号)① 是偶函数，且周期是 ；
② 在 上有4个零点；
③ 的值域为 ；
④ 在 上是减函数．
【答案】①③
【分析】利用奇偶性、周期性的定义判定①正确；利用二倍角公式得到 ，再通过解
方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数
的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.
【详解】对于①：因为
，即 是偶函数，
又对于 ，
，
且
即 的周期是 ，
即①正确；
对于②：因为
，
令 ，即 ，
解得 或 （舍），
则 在 上有2个零点，
即②错误；对于③：因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ；
即 的值域为 ，
即③正确；
对于④：令 ，则 ，
且 在 单调递减，且 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上不是单调递减，即④错误.
故答案为：①③.
四、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，
且 为锐角．
(1)求 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由三角形面积公式求得 ，利用余弦定理求得 ，分析可知BD是四边形 外接
圆的直径，再利用正弦定理可求解；（2）由面积公式即可得解.
(1)由已知 ，
∵ 是锐角，∴ ．
由余弦定理可得 ，则 ．
∵ ，∴BD是四边形 外接圆的直径，
∴BD是 外接圆的直径，利用正弦定理知
(2)由 ， ， ， ，
则 , ,
又 ，则 ，
因此 ，
故 的面积为 ．
