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第 29 讲 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定
义 R R
域
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
在[2kπ－π，
2kπ](k∈Z)上是
单 在(k∈Z)上是递增函
递增函数，在
调 数，在(k∈Z)上是递减 在(k∈Z)上是递增函数
[2kπ，2kπ＋π]
性
函数
(k∈Z)上是递减
函数
周 期 是
周 周 期 是 2kπ(k∈ Z 且
2kπ(k∈ Z 且 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小
期 k≠0)，最小正周期是
k≠0)，最小正 正周期是π
性 2π
周期是2π
对称轴是 x＝
对 称 轴 是 x ＝ ＋
对
kπ(k∈Z)，对称 对称中心是
称 kπ(k∈Z)，对称中心是
中心是 (k∈Z)
性
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)1、（2023年全国1卷）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范
围是________．
【命题意图】本题考查三角函数图象和零点问题，考查数学运算的核心素养.
难度：中等偏下.
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图象性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图象性质可得 ，故 ，
故答案为： .
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（ ）
( π π) ( π π )
A．f(x)在 − ,− 上单调递减 B．f(x)在 − , 上单调递增
2 6 4 12
( π) (π 7π)
C．f(x)在 0, 上单调递减 D．f(x)在 , 上单调递增
3 4 12
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出f (x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为f (x)=cos2x−sin2x=cos2x.
π π π ( π π)
对于A选项，当− <x<− 时，−π<2x<− ，则f (x)在 − ,− 上单调递增，A错；
2 6 3 2 6
π π π π ( π π )
对于B选项，当− <x< 时，− <2x< ，则f (x)在 − , 上不单调，B错；
4 12 2 6 4 12
π 2π ( π)
对于C选项，当0<x< 时，0<2x< ，则f (x)在 0, 上单调递减，C对；
3 3 3π 7π π 7π (π 7π)
对于D选项，当 <x< 时， <2x< ，则f (x)在 , 上不单调，D错.
4 12 2 6 4 12
故选：C.
1、y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D.
【答案】 D
【解析】 将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，
即得y＝|cos x|的图象(如图)．
故选D.
2、函数f(x)＝的定义域为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【答案】 B
【解析】 由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z)．
3、（2022·河北邯郸·二模）函数 在 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，当 时，即 时， 取最大值1，当 ，即 时， 取最小值大于 ，故值域为
故选：C
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数 在 单调递减，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
令 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ，解得 ，所以 最大值为 ．
故选：B．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cos x|
B. y＝sin2x－cos2x
C. y＝4sin2x cos2x
D. y＝
【答案】BC.
【解析】 对于A，y＝＝≤，当且仅当sin 2x＝±1，即x＝＋，k∈Z时取“＝”，即当x＝＋，k∈Z时，
y ＝，故A错误；对于B，y＝－(cos2x－sin2x)＝－cos2x≤1，当且仅当2x＝2kπ－π，即x＝kπ－，k∈Z时
max
取“＝”，即当x＝kπ－，k∈Z时，y ＝1，故B正确；对于C，y＝(2sin x cos x)2＝sin22x≤1，当且仅当
max
sin2x＝±1，即x＝＋，k∈Z时取“＝”，即当x＝＋，k∈Z时，y ＝1，故C正确；对于D，依题意，由
max
tan x，tan 2x都有意义，且tan 2x－tan x≠0，得x≠kπ，且x≠kπ＋，且x≠＋，k∈Z，y＝＝＝＝sin 2x，
显然sin 2x最大值为1，此时，x＝kπ＋，k∈Z，而kπ＋，k∈Z使函数y＝无意义，即sin 2x不能取到1，
故D不正确．故选BC.考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为________．
【答案】
【解析】 要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为
.
（2）函数y＝的定义域为________．
【答案】 (k∈Z)
【解析】 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y
＝cos x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
【答案】 ∪
【解析】 ∵函数y＝lg(sin 2x)＋，
∴应满足
解得其中k∈Z，
∴－3≤x<－或0<x<，
∴函数的定义域为∪.
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单
的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．【解析】 因为sin ∈[－1，1]，所以－2a sin （2x＋）∈[－2a，2a]，所以f(x)∈[b，4a＋b].
因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，4a＋b＝1，解得a＝>0，故a的值为.
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b.当x∈时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
【解析】 因为x∈，所以2x＋∈，所以sin ∈，所以－2a sin （2x＋）∈[－2a，a]，所以f(x)∈[b，3a
＋b].因为f(x)的值域是[－5，1]，所以b＝－5，3a＋b＝1，解得a＝2>0，故a的值为2.
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝；
(2) y＝(0<x<π).
【解析】 (1) 因为y＝＝1－，所以当sin x＝－1时，y ＝1＋＝，所以该函数的值域为.
min
(2) 令t＝sin x－cos x，则t＝sin .
因为0<x<π，所以－<x－<，
所以－1<t≤.又因为sin x cos x＝，
所以y＝＝＝，
所以≤y<1，所以该函数的值域为[，1）
方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
2. 化一法：将所给三角函数化为 y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值
域．
3. 换元法：将sin x，cos x，sin x cos x或 sin x±cos x换成t，转化为二次函数来求解．
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y＝sin 的单调增区间．
【解析】 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为(k∈Z).
变式1、 求下列函数的单调增区间．
(1) y＝sin ，x∈[0，π]；
(2) y＝sin ；
(3) y＝.
【解析】 (1) 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
因为x∈[0，π]，所以0≤x≤，≤x≤π，
故所求函数的单调增区间为[0，]，.
(2) 因为y＝sin ＝－sin ，
所以由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(3) 由kπ≤2x－≤kπ＋(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)，
故所求函数的单调增区间为[＋，＋]，k∈Z.
变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－，]上单调递增，求ω的取值范围．【解析】 令t＝ωx，则y＝4sin t.
因为ω>0，x∈，
所以t＝ωx在区间上单调递增，
所以－≤t≤.
因为y＝4sin ωx在区间上单调递增，
所以⊆，
所以解得
又ω>0，所以0<ω≤，
故ω的取值范围是.
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝
sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，
首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它
们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数 ，给出下
列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 上单调递增 D. 的值域为
【答案】BD
【解析】 ，所以A选项错误.
， ，
，
所以 的图象关于点 中心对称，B选项正确.， ，所以C选项错误.
，
所以 的值域为 ，D选项正确.
故选：BD
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数 ，下列结论正确
得是（ ）
A. 的值域为 B. 在 单调递增
C. 的图象关于直线 对称 D. 的最小正周期为
【答案】AD
【解析】
， ，
所以 ，
所以 是偶函数，
又 ，
所以 是函数 的周期，
又 ，
故 的最小正周期为 .
对于A，因为 的最小正周期为 ，令 ，此时 ，所以 ，
令 ，所以有 ，可知其值域为 ，故A正确；
对于B，由A可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
所以 在 上不是单调递增，故B不正确；
对于C，因为 ， ，
所以 ，
所以 的图象不关于直线 对称，故C不正确；
对于D，前面已证明正确.
故选：AD
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数 ， 则（
）
A. 函数 的最小正周期为 B. 为函数 的一条对称轴
C. 函数 的最小值为1，最大值为 2 D. 函数 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】
因为 ，所以，A错误；
因
，
所以 ，所以函数 为偶函数，所以 的图象关于 轴对称，
所以 为函数 的一条对称轴，B正确；
令 ，有 ，则 ，当 时，
，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
所以当 时，函数 取最大值，最大值为2，当 时，函数 取最小值，最小值为 ， C正
确；
函数 由 和 复合而成，当 时，
函数 ，因为 ，
所以函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，且 ，
函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，D错误，
故选：BC
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数： ______.
① 为奇函数；② 为偶函数；③ 在 上的最大值为2.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，
因为 为奇函数， 在 上的最大值为2，
所以函数 的解析式可以为 .
对于①， ，因为 ，所以 为奇函数，符合；
对于②， ，因为 ，所以 为偶
函数，符合；
对于③， 的最大值为 ，符合.
故答案为： （答案不唯一）
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求 f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；
如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通
过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归
的思想．1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的对称中心为 ， 的对称中心为 ， 的对称中心不
一定为 的对称中心； 的对称中心一定为 的对称中心.
故选：B．
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数 在区间 上的最大值为 ，
则常数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
当 时， ，
则函数的最大值为 ，解得 .
故选：C.
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数 ，若 ， ，
，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】因为 为周期为 的偶函数，
所以 ， ，
因为 在 上关于直线 对称，
所以 ，
由于 ， ， ，
所以 ，
即 ，
因为 在 上单调递增，
且 ，
所以 ，
即： ．
故选：A．
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数 的图象的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】ACD
【解析】
当 时， 的周期为 ，所以B不正确；
当 时， 的周期为 ，所以D有可能；
当 时， 的周期为 ，所以A有可能；
当 时， 的周期为 ，所以C有可能.
故选：ACD.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数 的定义域为 ，
值域为 ，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】根据周期性分析，不失一般性不妨 为 的子集，此时
分析答案知：BC
故选：BC
