文档内容
专题4.2 平方差和完全平方运算和几何背景（五大类型）
【题型1 平方差运算】
【题型2 平方差的几何背景】
【题型3 完全平方公式运算】
【题型4 完全平方公式的几何背景】
【题型5 完全平方公式的逆运算】
【题型1 平方差运算】
1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(−m+n)(m−n)B．(m−3)(−3−m)C．(2n+m)(2m−n) D．(−m−n)(m+n)
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式
中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可．
【详解】解：A、−m和m互为相反数，n和−n互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计
算，故该选项符合题意；
B、−m和m互为相反数，−3和−3相同，能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；故该选项不符合题意；
D、−m和m互为相反数，n和−n互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项
符合题意；故该选项不符合题意；
故选：B．
2．计算(a−b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)等于（ ）
A．a4−b4 B．a6+b6 C．a6−b6 D．a8−b8
【答案】D
【分析】本题考查运用平方差公式的运算，根据(a+b)(a−b)=a2−b2求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，原式=(a2−b2 )(a2+b2 )(a4+b4
)
=(a4−b4 )(a4+b4
)
=a8−b8，
故选：D．
3．发现：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024，46=4096，47=16384，48=65536，依据上
述规律，通过计算判断3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1的结果的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4
的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【详解】解：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024，46=4096，47=16384，48=65536，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算
结果的个位数字是6；
3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1
=(4−1)×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1
=(42−1)×(42+1)(44+1)…(432+1)+1
=(44−1)(44+1)…(432+1)+1
=464．
由规律可得464的个位数字是6，
∴3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1的结果的个位数字是6．
故选：C．
4．已知x+y=5,x−y=2，则x2−y2的值为（ ）
A．10 B．−10 C．7 D．−7
【答案】A
【分析】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵x+y=5，x−y=2，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=5×2=10．
故选：A
5．计算：(x+3)(x−3)= ．
【答案】x2−9/−9+x2
【分析】此题考查整式乘法中的平方差公式，解题关键是公式为：(a+b)(a−b)=a2−b2．
根据平方差公式直接求解即可．
【详解】解：(x+3)(x−3)=x2−9，
故答案为：x2−9．
6．计算：2002×2004−20032= ．
【答案】−1
【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为(2003−1)×(2023+1)−20032，再利
用平方差公式去括号后计算减法即可得到答案．
【详解】解：2002×2004−20032
=(2003−1)×(2023+1)−20032
=20232−12−20032
=−1，
故答案为：−1．
7．20242−2022×2026= ．
【答案】4
【分析】此题考查平方差公式的应用．原式变形为20242−(2024−2)×(2024+2)，运用平方
差公式计算即可．
【详解】解：20242−2022×2026
=20242−(2024−2)×(2024+2)=20242−(20242−22)
=20242−20242+22
=4
故答案为：4．
1 1 1 1 1
8．计算：(1− )(1− )(1− )⋯(1− )(1− )
22 32 42 992 1002
101
【答案】
200
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并逆用是关键；把每个因数逆用平方差公式，
表示为两数的差与两数的和的形式，再约分即可．
1 1 1 1 1
【详解】解：(1− )(1− )(1− )⋯(1− )(1− )
22 32 42 992 1002
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )
= 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ ⋯ 1− 1+ 1− 1+
2 2 3 3 4 4 99 99 100 100
1 3 2 4 3 5 98 100 99 101
= × × × × × ×⋯× × × ×
2 2 3 3 4 4 99 99 100 100
1 101
= ×
2 100
101
= ．
200
9．简便运算
(1)20212−2022×2020；
2 1
(2)20 ×19 ．
3 3
【答案】(1)1
5
(2)399
9
【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）20212−2022×2020
=20212−(2021+1)×(2021−1)=20212−(20212−1)
=20212−20212+1
=1；
2 1
（2）20 ×19
3 3
( 2) ( 2)
= 20+ × 20−
3 3
=202−
(2) 2
3
4
=400−
9
5
=399
9
【题型2 平方差的几何背景】
10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)（如图甲），把余下的部分拼成一个矩
形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．(a+b) 2 =a2+2ab+b2 B．(a−b) 2 =a2−2ab+b2
C．a2−b2=(a+b)(a−b) D．(a+b)(a−b)=a2−b2
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，
再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案．
【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为a2−b2；
图乙中阴影部分面积为一个长为a+b，宽为a−b的长方形面积，即为(a+b)(a−b)；∵图甲和图乙中阴影部分面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：C．
11．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：20242−2023×2025；
(3)【拓展】计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)．
【答案】(1)①②③
(2)1
(3)2128−1
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，
（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判
断即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）将原式化为(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)，再连续利用平方差公式进行计算即
可；
解题的关键是掌握平方差公式[(a+b)(a−b)=a2−b2)的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个
二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平
方）；③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式．
【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即(a2−b2)，拼成的右图是底为(a+b)，高为(a−b)的平行四边形，面积为(a+b)(a−b)，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即(a2−b2)，拼成的右图是长为(a+b)，宽为
(a−b)的长方形，面积为(a+b)(a−b)，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即(a2−b2)，拼成的右图是底为(a+b)，高为
(a−b)的平行四边形，面积为(a+b)(a−b)，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即(a+b) 2−(a−b) 2，拼成的右图是长为2a，
宽为2b的长方形，面积为4ab，
∴(a+b) 2−(a−b) 2 =4ab，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
（2）20242−2023×2025
=20242−(2024−1)×(2024+1)
=20242−(20242−1)
=20242−20242+1
=1；
（3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)=(28−1)(28+1)⋯(264+1)
=(216−1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(232−1)(232+1)(264+1)
=(264−1)(264+1)
=2128−1．
12．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形：
(1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ；
(2)【应用】利用（1）中的结论计算：20242−2026×2022；
(3)【拓展】利用（1）中的结论计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)．
【答案】(1)a2−b2=(a+b)(a−b)
(2)4
(3)264−1
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本
题的关键．
（1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可；
（2）把原式化为20242−(2024+2)(2024−2)，再利用平方差公式计算即可；
（3）把原式化为(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)，再依次利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，也可以拼成底
为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
（2）原式=20242−(2024+2)(2024−2)
=20242−(20242−4)
=20242−20242+4
=4．
（3）原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
=(28−1)(28+1)⋯(232+1)
=(216−1)(216+1)(232+1)
=(232−1)(232+1)
=264−1．
13．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图
②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2−2ab+b2=(a−b) 2 B． a2−b2=(a+b)(a−b)
C． a2+ab=a(a+b)
(2)若x2−9 y2=12，x+3 y=4，求x−3 y的值．( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
(3)计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ．
22 32 42 20242 20252
【答案】(1)B
(2)3
1013
(3)
2025
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【详解】（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，图①阴影部分面积为
a2−b2；图②长方形面积为(a+b)(a−b)；
验证的等式是a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：B．
（2）∵x2−9 y2=(x+3 y)(x−3 y)=12，且x+3 y=4，
∴ 4(x−3 y)=12，
解得：x−3 y=12÷4=3；
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
（3） 1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
22 32 42 20242 20252
( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )
= 1+ 1− 1+ 1− ⋯ 1+ 1−
2 2 3 3 2025 2025
3 1 4 2 5 3 2026 2024
= × × × × × ×⋯× ×
2 2 3 3 4 4 2025 2025
1 2026
= ×
2 2025
1013
= ．
2025
14．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方
形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A．a2+ab=a(a+b)
B．a2−b2=(a−b)(a+b)
C．a2−2ab+b2=(a−b) 2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①若4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b=______；
②计算：242−232+222−212+202−192+⋯22−1；
【答案】(1)B
(2)①4；②300
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用；
（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；
（2）①利用平方差公式解答即可；
②利用平方差公式解答即可．
【详解】（1）解：由于拼接前后的面积相等，
∴a2−b2=(a−b)(a+b)，
∴上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，4a2−b2=24，2a+b=6，
∴6(2a−b)=24，
∴2a−b=4，
故答案为：4；
②242−232+222−212+202−192+⋯22−1
=(24+23)(24−23)+(22+21)(22−21)+⋅⋅⋅+(2+1)(2−1)=47+43+39+⋅⋅⋅+3
47+3
= ×12
2
=300．
【题型3 完全平方公式运算】
15．(−2−3x2) 2 计算结果正确的是（ ）
A．9x4−12x+4B．9x4+12x2+4 C．9x4−12x−4 D．−9x4−12x+4
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题
的关键．
【详解】解：(−2−3x2) 2 =(2+3x2) 2 =22+2×2×3x2+(3x2) 2 =9x4+12x2+4，
故选：B．
16．若9x2−mx+4是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±12 B．−12 C．−6 D．±6
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据所给式子可知两平方项分别为(3x) 2 ，22，则一次项为
±2⋅3x⋅2，据此求解即可．
【详解】解：∵9x2−mx+4=(3x) 2−mx+22是完全平方式，
∴−mx=±2⋅3x⋅2，
∴−m=±12，
∴m=±12，
故选：A．
17．代数式25x2+(k+1)x+1=0是一个完全平方式，则k= ．
【答案】9或−11
【分析】本题主要考查了完全平方公式，将代数式写成(ax±b) 2的形式，再求出k．【详解】∵代数式25x2+(k+1)x+1=(5x) 2+(k+1)x+12是一个完全平方公式，
∴(k+1)x=±2×5x×1，
解得k=9或=−11．
故答案为：9或−11．
【题型4 完全平方公式的几何背景】
18．如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿
虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）
A．(6a+15)cm2 B．(6a+9)cm2
C．(3a+15)cm2 D．(5a+15)cm2
【答案】A
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
(a+4) 2−(a+1) 2
=(a2+8a+16)−(a2+2a+1)
=6a+15
则长方形的面积为(6a+15)cm2．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩
余部分面积等于长方形面积．
19．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，
先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．【答案】12
【分析】根据完全平方式进行配方可得此题结果．
【详解】解：∵4a2+9b2+12ab=(2a+3b) 2，
∴还需取丙纸片12块，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式．
20．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②
的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①___________；方法②__________．
(3)观察图②，试写出(m+n) 2，(m−n) 2，mn这三个代数式之间的等量关系______．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=5，则求(a−b) 2的值．
【答案】(1)m−n
(2)(m−n) 2，(m+n) 2−4mn
(3)(m−n) 2=(m+n) 2−4mn
(4)16
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键．
（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m−n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为(m+n)的大正方
形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将(a−b) 2的变形为：(a+b) 2−4ab即可求解．
【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为(m−n)的正方形，
故答案为：m−n；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为(m−n) 2；
方法二：从边长为(m+n)的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，
即(m+n) 2−4mn；
故答案为：(m−n) 2，(m+n) 2−4mn；
（3）由（2）的两种方法可得，(m−n) 2=(m+n) 2−4mn；
故答案为：(m−n) 2=(m+n) 2−4mn；
（4）(a−b) 2=(a+b) 2−4ab．
∵a+b=6，ab=5，
∴(a−b) 2=362−4×5=16．
21．（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼
成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等
量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①a−b=5，ab=−6，求(a+b) 2和a2+b2的值；
1 1
②已知x−
=3，求x2+
的值．
x x2【答案】（1）(m+n) 2−4mn= (m−n) 2
（2）①1，13，②11
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解
题的关键．
（1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接
利用正方形的面积公式得到；
（2）①由（1）得到(a+b) 2−4ab= (a−b) 2，把a−b=5，ab=−6，代入求(a+b) 2，再利用完全平
方公式求a2+b2的值；
②由完全平方公式可知， ( x− 1) 2 =32 ，即x2+ 1 −2x⋅ 1 =32=9则x2+ 1 的值可求．
x x2 x x2
【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，
即(m+n) 2−4mn；
方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于m−n，所以其面积为(m−n) 2；
∴(m+n) 2−4mn= (m−n) 2；
故答案为：(m+n) 2−4mn= (m−n) 2；
（2）①由（1）可知(a+b) 2−4ab= (a−b) 2
∵a−b=5，ab=−6，
∴(a+b) 2−4×(−6)=52，
解得，(a+b) 2 =1，
∵(a+b) 2 =a2+b2+2ab，∴1=a2+b2+2×(−6)，
∴a2+b2=13．
1
②∵x− =3，
x
∴ ( x− 1) 2 =32
x
1 1
即x2+ −2x⋅ =32=9，
x2 x
1
∴
x2+ =11．
x2
22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长
为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张
拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b) 2，a2+b2，ab之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片______张．
(3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知(x−2021) 2+(x−2023) 2=20，求x−2022的值．
【答案】(1)(a+b) 2=a2+b2+2ab
(2)3
(3)①ab的值为7；②x−2022=±3
【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用；（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出(a+b) 2，a2+b2，ab三者的关系；
（2）计算(a+2b)(a+b)的结果为a2+3ab+2b2，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3
张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x−2022，从而得到a+1=x−2021，代入计算即可．
【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：(a+b) 2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有(a+b) 2=a2+b2+2ab；
（2）解：∵(a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+b2=a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）解：①∵(a+b) 2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11，
∴25=11+2ab，
∴ab=7，即ab的值为7；
②令a=x−2022，
∴x−2021.
=[x−(2022−1)).
=x−2022+1.
=a+1，
x−2023.
=[x−(2022+1)).
=x−2022−1.
=a−1，
∵(x−2021) 2+(x−2023) 2=20，
∴(a+1) 2+(a−1) 2=20，
解得a2=9．
∴(x−2022) 2=9．∴x−2022=±3．
23．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的
形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式(m+n) 2，(m−n) 2，mn之间的等量关系是 ；
11
(3)若x+y=−6，xy= ，则x−y= ；（直接写出答案）
4
【答案】(1)(m−n) 2
(2)(m+n) 2−4mn=(m−n) 2
(3)±5
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边矩形的面积进而得出答案；
（2）由（1）中计算过程可得答案；
（3）根据（2）中的等式可得答案．
【详解】（1）解：图2中的阴影部分为正方形，边长为(m−n)，则面积为(m−n) 2．
故答案为：(m−n) 2；
（2）解：左边图形的面积=2m×2n=4mn，
右边的大正方形面积=(m+n) 2，
则阴影部分的面积=(m+n) 2−4mn，
因此三个代数式(m+n) 2，(m−n) 2，mn之间的等量关系为：
(m+n) 2−4mn=(m−n) 2；故答案为：(m+n) 2−4mn=(m−n) 2；
（3）解：由（2）得(x+y) 2−4xy=(x−y) 2，
11
∴(x−y) 2=(−6) 2−4× =25，
4
∴x−y=±❑√25=±5，
故答案为：±5．
【点睛】本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，
用不同的形式表示图形的面积．
24．图1是一个长为4b，宽为a(a＞b)的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图
2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．(a+b) 2 =a2+2ab+b2
B．(a−b) 2 =a2−2ab+b2
C．(a+b) 2−4ab=(a−b) 2
(3)如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向上分别作正方形ACDE和正方形BCFG，连接
AF．若AB=11，DF=5，求△AFC的面积．
【答案】(1)a−b
(2)C
(3)12
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，根据图形中的关系得出x+y=11,x−y=5，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，根据图形中的关系得出
x+y=11,x−y=5，利用（2）的结论直接代入即可xy=24，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是a−b；
故答案为：a−b
（2）(a+b) 2,(a−b) 2,ab之间的等量关系是：(a+b) 2−4ab=(a−b) 2，
故选：C.
（3）设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y
∴x+y=11,x−y=5，
{x=8)
解得 ，
y=3
1 1
S = AC⋅FC= ×8×3=12；
△AFC 2 2
另解：设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，
∴x+y=11,x−y=5，
∴(x+y) 2=(x−y) 2+4xy，
∴112=52+4xy，
∴xy=24，
1 1
∴S = AC⋅FC= xy=12．
△AFC 2 2
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
25．完全平方公式：(a±b) 2 =a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，所以(a+b) 2 =9，即：a2+2ab+b2=9，
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若(4−x)x=3，则(4−x) 2 +x2=______．
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且
BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形
CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)10
(3)384
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设4−x=a，x=b，则a+b=4，ab=3，然后完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据题意可得FC=20−x，CE=12−x，然后设FC=20−x=a，CE=12−x=b，则a−b=8，
ab=160，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ∵x+y=8，x2+y2=40，
∴2xy=(x+y) 2−(x2+y2 )
=82−40
=64−40
=24，
∴xy=12．
（2）解：设4−x=a，x=b，
∴a+b=4−x+x=4，
∵(4−x)x=3，
∴ab=3，
∴(4−x) 2+x2=a2+b2=(a+b) 2−2ab
=42−2×3
=16−6
=10．
（3）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=20，AD=BC=12，
∵BE=DF=x，
∴FC=DC−DF=20−x，CE=BC−BE=12−x，
设FC=20−x=a，CE=12−x=b，
∴a−b=20−x−(12−x)=8，
∵长方形CEPF的面积为160，
∴FC⋅CE=(20−x)(12−x)=ab=160，
∴正方形CFGH的面积+正方形CEMN的面积
=CF2+CE2
=(20−x) 2+(12−x) 2
=a2+b2
=(a−b) 2+2ab
=82+2×160
=64+320
=384，
∴图中阴影部分的面积和为384．
【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式
变形的计算是解题的关键．
26．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________________．
(2)如图1中，a，b满足a+b=9，ab=15，求a2+b2的值．
(3)如图2，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=14，两正方形的面积分
别为S ，S ，且S +S =40，求图中阴影部分面积．
1 2 1 2
【答案】(1)a2+b2=(a+b) 2−2ab
(2)51
(3)39
【分析】（1）阴影部分的面积可以表示为：①大正方形面积−空白面积；②两个阴影正方形面积之和；
（2）根据（1）中得出的结论，代入求值，即可解答；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，根据完全平方公式转换，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：大正方形面积−空白面积=两个阴影正方形面积之和，
即a2+b2=(a+b) 2−2ab．
（2）解：根据（1）中的式子，代入求值，可得：a2+b2=(a+b) 2−2ab=92−15×2=51．
（3）解：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，
则S =a2 ，S =b2 ，
1 2
∵AC+BC=14，S +S =40，
1 2
∴a+b=14，a2+b2=40，
∵a2+b2=(a+b) 2−2ab，
∴40=196−2ab，
∴ab=78，
1
∴阴影部分的面积为 ab=39．
2
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练完全平方公式转换是解题的关键．
【题型5 完全平方公式的逆运算】
27．若m+n=8，mn=15，则m2+mn+n2= ．
【答案】49
【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式将m2+mn+n2整理成(m+n) 2−mn，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵m+n=8，mn=15，
∴m2+mn+n2=(m+n) 2−mn
=82−15
=49，
故答案为：49．
28．已知x+y=5，xy=3，那么x2+5xy+y2= ．
【答案】34
【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对x2+5xy+y2进行变形．
根据完全平方公式对x2+5xy+y2进行变形，再将x+y=5，xy=3代入即可求解．
【详解】解：x2+5xy+y2=x2+2xy+y2+3xy=(x+y) 2 +3xy，
∵x+y=5，xy=3，
∴x2+5xy+y2=(x+y) 2 +3xy=52+3×3=34，
故答案为：34．
29．已知a−b=−5，ab=8．则a2−3ab+b2的值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查完全平方公式的应用和整式求值，熟记完全平方公式是解题的关键．利用完全平方
公式将a−b=−5变形为a2−2ab+b2=25，得出a2+b2=2ab+25，再代入求值即可．
【详解】解：∵a−b=−5，
∴(a−b) 2 =25，
即a2−2ab+b2=25，
∴a2+b2=2ab+25，
∵ab=8，
∴a2−3ab+b2=2ab+25−3ab=25−8=17，
故答案为：17．
30．已知a+b=5,ab=6，求下列各式的值：
①a²+b²
②a²−ab+b²
【答案】①13；②7【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方和公式，根据题意熟练运用完全平方公式恒等变形求值
是解决问题的关键．①根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案；②根
据①中a2+b2=13，再代入ab=6即可得到答案．
【详解】解：①∵ a2+b2=(a+b) 2−2ab，
∴当a+b=5,ab=6时，原式=52−2×6
=25−12
=13；
②∵a2+b2=13，ab=6，
∴a2−ab+b2=a2+b2−ab=13−6=7．
31．若a+b=6，ab=4，
(1)求a2+b2的值；
(2)求(a−b) 2的值．
【答案】(1)28
(2)20
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值：
（1）根据a2+b2=(a+b) 2−2ab进行求解即可；
（2）根据(a−b) 2 =(a+b) 2−4ab进行求解即可．
【详解】（1）解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=62−2×4=28，
（2）解：∵a+b=6，ab=4，
∴(a−b) 2 =(a+b) 2−4ab=62−4×4=20．
32．阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）x2+4x+2=(x2+4x+4−4)+2=(x+2) 2−4+2=(x+2) 2−2
∵(x+2) 2≥0∴x2+4x+2=(x+2) 2−2≥−2
∴代数式x2+4x+2的最小值为−2；
（2）−x2+4x+3=−(x2−4x)+3=−(x2−4x+4−4)+3=−(x−2) 2 +4+3 =−(x−2) 2 +7
∵−(x−2) 2≤0
∴−x2+4x+3=−(x−2) 2 +7≤7
∴代数式−x2+4x+3的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式x2−4x+1的最小值为 ；
(2)已知A=2x2−3x+2；B=x2−x−1，请比较A与B的大小，并说明理由．
【答案】(1)−3
(2)A>B，理由见解析
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方的性质等，解题时要熟练掌握并能灵
活运用是关键．
（1）依据题意，由x2−4x+1=(x−2) 2−3，又对于任意的x都有(x−2) 2≥0，故
x2−4x+1=(x−2) 2−3≥−3．，进而可以判断得解；
（2）依据题意，作差A−B=2x2−3x+2−(x2−x−1)=(x−1) 2+2，又对于任意的x都有
(x−1) 2≥0，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得，∵x2−4x+1=(x−2) 2−3，
又对于任意的x都有(x−2) 2≥0，
∴x2−4x+1=(x−2) 2−3≥−3．
∴代数式x2−4x+1的最小值为−3．
故答案为：−3；
（2）解：A>B，理由如下：∵A−B=2x2−3x+2−(x2−x−1)
=2x2−3x+2−x2+x+1
=x2−2x+3
=(x−1) 2 +2，
又对于任意的x都有(x−1) 2≥0，
∴A−B=(x−1) 2 +2≥2>0．
∴A>B．
33．已知a2+b2=7，a+b=3，求下列代数式的值：
(1)ab；
(2)(a−2)(b−2)．
【答案】(1)1
(2)−1
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关
键．
（1）根据a+b=3可得(a+b) 2 =a2+2ab+b2=9，再将a2+b2=7代入，即可求得答案；
（2）将原式整理为ab−2(a+b)+4，然后将a+b=3，ab=1代入求值即可．
【详解】（1）解：∵a+b=3，
∴(a+b) 2 =a2+2ab+b2=9，
又∵a2+b2=7，
∴7+2ab=9，
∴2ab=2，
∴ab=1；
（2）∵a+b=3，ab=1，
∴(a−2)(b−2)=ab−2(a+b)+4=1−2×3+4=−1．
