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§4.4 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助
图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质．
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，， (π ， 0) ，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，， (π ，－ 1) ，，(2π，
1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2 k π － π ， 2 k π]
递减区间 [2 k π ， 2 k π ＋ π]
对称中心 ( k π ， 0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x ＝ k π
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为
半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(3)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
(4)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
3．下列函数中，是奇函数的是( )
A．y＝|cos x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
答案 C
解析 选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为
y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案 π
题组三 易错自纠
5．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案 ABC
解析 由题意，可得f(x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
6．函数y＝tan的图象的对称中心是________．
答案 ，k∈Z
解析 由x＋＝，k∈Z，
得x＝－，k∈Z，
∴对称中心是，k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝的定义域为________．
答案 (k∈Z)
解析 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y
＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数
的定义域为.
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
答案
解析 因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
所以当sin x＝时，y ＝，当sin x＝或sin x＝1时，y ＝2.即函数的值域为.
min max
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最
值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t
的二次函数求值域(最值)．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝ln(cos x)的定义域为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案 C
解析 由题意知，cos x>0，
∴2kπ－0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄
错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练2 (1)(2020·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 B
解析 由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，
得2kπ－
解析 因为y＝sin x在上单调递增且－>－>－，故sin>sin.
8．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
答案 －4
解析 ∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
9．(2018·北京)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为
________．
答案
解析 ∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f ＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
10．(2020·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
答案 ④解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，
k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－0)的一
个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
答案
解析 化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin ＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0,1)的最大值
点为，最小值点为.
所以只需解得m≥.
16．(2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解 (1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
