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专题 4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y= ,x∈[0,2π]的图象，如图所示.
②五点法
观察图，在函数y= ,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),( ,1),( π,0),( ,-1),(2π,0)在确定图象
形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y= ,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高
时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做
“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道 ，而函数 ,x∈R的图象可以通过正弦
函
数y= ,x∈R的图象向左平移 个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就得
到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y= ,x∈R的图象可以看出，要作出函数y= 在[0,2 ]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),( ,0),( ,-1),( ,0),(2 ,1).先描出这五个点，然后把这五个点用
一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y= 在[0,2 ]上的简图，再通过左右平移(每次移动2 个单位长
度)即可得到余弦函数y= ,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 x∈D都有
x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数 及余弦型函数 的性质
函数 和 的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(- ,-1),(0,0),( ,1);“两线”是指直线x=- 和x= .在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在
区间(- , )上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
= ，即将 的图象先向右平移 个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得 的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：
(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于 的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
π
【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan ( x+ ) 的定义域为（ ）
4
{ π } { π }
A． x|x≠kπ+ ,k∈Z B． x|x≠2kπ+ ,k∈Z
4 4
{ π }
C． x|x≠kπ− ,k∈Z D．{x|x≠kπ,k∈Z}
4
【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.
π π π
【解答过程】因为x+ ≠kπ+ ,k∈Z，所以x≠kπ+ ,k∈Z.
4 2 4{ π }
故f(x)的定义域为 x|x≠kπ+ ,k∈Z .
4
故选：A.
[π 2π ]
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈ , ，则函数
4 3
f (x)=3sinxcosx+√3sin2x的值域为（ ）
[ 3√3] [ √3]
A． 0, B． 0,
2 2
C．[0,√3] D．[0,3+√3]
π √3
【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x)=√3sin(2x- )+ ，结合正弦函数的图
6 2
像和性质，求解即可.
【解答过程】由题意，
f (x)=3sinxcosx+√3sin2x=
3
sin2x+
√3
(1-cos2x)
2 2
√3 1 √3
=√3×( sin2x- cos2x)+
2 2 2
π π √3
=√3×(cos sin2x-sin cos2x)+
6 6 2
π √3
=√3sin(2x- )+ ,
6 2
[π 2π ] π [π 7π ]
当x∈ , 时，有2x- ∈ , ，
4 3 6 3 6
π π π π √3 3√3
当2x- = ，即x= 时，f (x) =f ( )=√3+ = ；
6 2 3 max 3 2 2
π 7π 2π 2π
当2x- = ，即x= 时，f (x) =f ( )=0.
6 6 3 min 3
[ 3√3]
即函数f (x)的值域为 0, .
2
故选：A.
( π)
【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x)=sinx+cos x+ 的值域为（ ）
6
A． B． C． D．[ √3 √3]
[−2,2] [−√3,√3] [−1,1] − ,
2 2【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案
【解答过程】解：函数
( π) √3 1 √3 1 ( π)
f (x)=sinx+cos x+ =sinx+ cosx− sinx= cosx+ sinx=cos x− ，
6 2 2 2 2 6
( π)
∵x∈R，∴cos x− ∈[−1,1]，
6
∴函数的值域为[−1,1]，
故选：C．
【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x∈
[
−
π
,
2π] ，则函数y=cos2(
x+
π)
+sin
(
x+
2π)
的最
3 3 6 3
大值与最小值之和为（ ）
1 7
A． B．1 C． D．√2
2 4
【解题思路】利用诱导公式可化简函数为 ( ( π) 1) 2 1，根据余弦型函数值域的求法可求得
y= cos x+ + −
6 2 4
( π) [ √3 ]，结合二次函数最值的求法可求得 的最大值和最小值，加和即可求得结果.
cos x+ ∈ − ,1 y
6 2
【解答过程】y=cos2(
x+
π)
+sin
(
x+
2π) =cos2(
x+
π)
+sin
(π
+x+
π)
6 3 6 2 6
=cos2(
x+
π)
+cos
(
x+
π)
=
(
cos
(
x+
π)
+
1) 2
−
1，
6 6 6 2 4
当 x∈ [ − π , 2π]时， x+ π ∈ [ − π , 5π]， ∴cos ( x+ π) ∈ [ − √3 ,1 ]，
3 3 6 6 6 6 2
( π) 9 1 ( π) 1 1
∴当cos x+ =1时，y = − =2；当cos x+ =− 时，y =− ；
6 max 4 4 6 2 min 4
1 7
∴y + y =2− = .
max min 4 4
故选：C.
【题型2 三角函数的周期性】
【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
x π
【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin( − )的最小正周期是（ ）
2 4
π
A． B．π C．2π D．4π
2
【解题思路】利用正弦函数的周期求解．
2π
T= =4π
【解答过程】f(x)的最小正周期为 1 ．
2
故选：D．
(1 π)
【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos x+ 的最小正周期为（ ）
2 6
π
A． B．π C．2π D．4π
2
【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.
(1 π)
【解答过程】∵f(x)=cos x+ ，
2 6
2π
T= =4π
∴f (x)最小正周期 1 ．故A，B，C错误.
2
故选：D.
( π)
【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f (x)=cos ωx+ (ω>0)的最小正周期为π，则
6
(π)
f =（ ）
2
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
(π)
【解题思路】由周期求出ω，从而可求出f (x)，进而可求出f .
2
2π
【解答过程】因为函数f (x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω= =2，
π( π)
得f (x)=cos 2x+ ，
6
(π) ( π π) π √3
所以f =cos 2× + =−cos =− ．
2 2 6 6 2
故选：A.
( π)
【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在 0, 为减函数的是
2
（ ）
( π)
A．f(x)=sin|2x| B．f(x)=cos 2x+
6
( π)
C．f(x)=|cosx| D．f(x)=tan 2x−
4
【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.
( π)
【解答过程】对于A，f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称，在 0, 为增函数，不符题意，故A错；
2
( π) ( π) π (π 7π)
对于B，f(x)=cos 2x+ 的最小正周期为π，x∈ 0, ,2x+ ∈ , ，不是减函数，不符题
6 2 6 6 6
意，故B错；
( π)
对于C，f(x)=|cosx|的最小正周期为π，在 0, 为减函数，符合题意，故C对；
2
( π) π
对于D，f(x)=tan 2x− 的最小正周期为 ，不符题意，故D错；
4 2
故选：C.
【题型3 三角函数的奇偶性】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（ ）
π π
A．−π B．− C． D．2π
2 4
π
【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+ ,k∈Z,结合选项可确定答案.
2
【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).
∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.
当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.π
当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+ ,k∈Z,
2
π 3
若φ=kπ+ =−π，解得k=− ∉Z，故A错误;
2 2
π π
若φ=kπ+ =− ，解得k=−1∈Z，故B正确;
2 2
π π 1
若φ=kπ+ = ，解得k=− ∉Z，故C错误;
2 4 4
π 3
若φ=kπ+ =2π，解得k= ∉Z，故D错误;
2 2
故选:B.
【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
( π)
A．y=sinx B．y=|sinx| C．y=tanx D．y=cos x−
2
【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.
【解答过程】对于A，∵y=sinx定义域为R，sin(−x)=−sinx，∴y=sinx为奇函数，A错误；
对于B， 定义域为 ， ， 为偶函数，B正确；
∵y=|sinx| R |sin(−x)|=|−sinx|=|sinx| ∴y=|sinx|
( π π)
对于C，∵y=tanx定义域为 kπ− ,kπ+ (k∈Z)，即定义域关于原点对称，tan(−x)=−tanx，
2 2
∴y=tanx为奇函数，C错误；
( π) ( π)
对于D，∵y=cos x− =sinx定义域为R，sin(−x)=−sinx，∴y=cos x− 为奇函数，D错误.
2 2
故选：B.
【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x)=cosx+cos2x是（ ）
9
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最小值为-
8
9 9
C．奇函数，且最小值为- D．偶函数，且最大值为
8 8
【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x)的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数
f (x)的最值.
【解答过程】函数f (x)的定义域为R，f (-x)=cos(-x)+cos(-2x)=cosx+cos2x=f (x)，
故函数f (x)为偶函数，1 2 9
因为-1≤cosx≤1，则f (x)=2cos2x+cosx-1=2(cosx+ ) - ，
4 8
9
所以，f (x) =- ，f (x) =2+1-1=2.
min 8 max
故选：B.
【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x)=sin2x−√3cos2x的图象向右平移m(m>0)个
单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
π
【解题思路】首先对f (x)化简得到f (x)=2sin ( 2x− ) ，再写出平移后的解析式
3
π π
y=2sin ( 2x−2m− ) ，因为其为奇函数，则−2m− =kπ,k∈Z，解出m即可得到最小值.
3 3
【解答过程】 f (x)=sin2x−√3cos2x=2 (1 sin2x− √3 cos2x ) =2sin ( 2x− π ) ，向右平移 m(m>0)
2 2 3
个单位后得到函数y=2sin [ 2(x−m)− π] =2sin ( 2x−2m− π ) ，由于是奇函数，因此，得
3 3
π π kπ π
−2m− =kπ,k∈Z，m=− − ,k∈Z.又∵m>0，则当k=−1时，m的最小值是 ，
3 6 2 3
故选：B.
【题型4 三角函数的对称性】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
π
【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f
(x)=tan(
2x−
)
的图象的一个对称中心为（ ）
3
(
π
)
(7π
) (
5π
) (
π
)
A． ,0 B． ,0 C． − ,0 D． − ,0
12 12 12 12
kπ
【解题思路】根据正切型函数的对称中心为( ,0) k∈Z，求解即可.
2
π kπ kπ π
【解答过程】由2x− = ,k∈Z，可得x= + ,k∈Z，
3 2 4 6
π
当k=0时，x= ，
6π π 5π
当k=1时，x= + = ，
4 6 12
8π 2
当k=2时，x= = π，
12 3
π π π
当k=−1时，x=− + =− ，
4 6 12
4π 1
当k=−2时，x=− =− π，
12 3
7π
当k=−3时，x=− ，
12
( π )
所以 − ,0 为f (x)图象的一个对称中心，
12
故选：D.
π
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x)=2cos ( ωx− ) (ω>0)在[0,2π]内恰有
6
三条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
[4 11) (4 11]
A． , B． ,
3 6 3 6
[13 19) (13 19]
C． , D． ,
12 12 12 12
π
【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ− <3π，进而即得.
6
【解答过程】因为0≤x≤2π，
π π π
所以− ≤ωx− ≤2ωπ− ，
6 6 6
π
所以2π≤2ωπ− <3π，
6
13 19
解得 ≤ω< ．
12 12
故选：C.
(1 π)
【变式4-2】已知函数f(x)=sin x− ，则结论正确的是（ ）
2 6
A．f (x)的图象关于点
(5π
,0 ) 中心对称 B．f (x)的图象关于直线x=−
π
对称
3 3
[ π ]
C．f (x)在区间(−π,π)内有2个零点 D．f (x)在区间 − ,0 上单调递增
21 π
【解题思路】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求 x− 的范围，结合正弦
2 6
型函数的性质求零点和单调性.
5π (1 5π π) 2π (5π )
【解答过程】A：f( )=sin × − =sin ≠0，故 ,0 不是对称中心，错误；
3 2 3 6 3 3
π 1 π π π π
B：f(− )=sin[ ×(− )− ]=−sin ≠±1，故x=− 不是对称轴，错误；
3 2 3 6 3 3
1 π 2π π 1 π π
C：在x∈(−π,π)，则 x− ∈(− , )，故f(x)=0，可得 x− =0，所以x= 为f (x)在
2 6 3 3 2 6 3
(−π,π)内的唯一零点，错误；
D：在x∈[−
π
,0]，则
1
x−
π
∈[−
5π
,−
π
]，故f(x)=sin
(1
x−
π)
递增，正确.
2 2 6 12 6 2 6
故选：D.
【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x)=2cos(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻
π
两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x)的图象，则函
3
数g(x)的图象（ ）
(
5π
) (
π
)
A．关于点 − ,0 对称 B．关于点 ,0 对称
3 2
π π
C．关于直线x=− 对称 D．关于直线x= 对称
3 2
【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定f (x)为正弦函数，由此条件得出f (x)的解析
式，再根据平移得出g(x)的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.
T 2π 1
【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知 =2π，即T=4π，ω= ，ω= ,
2 T 2
π 1
因为f (x)为奇函数，根据0<φ<π可知φ= ，f (x)=2sin x,
2 2
g(x)=2sin (1 ( x− π )) =2sin (1 x− π),
2 3 2 6
1 π π
对称中心： x− =kπ(k∈Z)，x=2kπ+ (k∈Z)，故A正确，B错误;
2 6 3
1 π π 4π
对称轴： x− = +kπ(k∈Z)，x=2kπ+ (k∈Z)，故C、D错误;
2 6 2 3
故选：A.【题型5 三角函数的单调性】
【方法点拨】
三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性
求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.
π
【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y=sin ( −2x ) (x∈[0,π])为增函数的区间是（ ）
6
[ π] [π 7π] [π 5π] [5π ]
A． 0, B． , C． , D． ,π
3 12 12 3 6 6
【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.
π π
【解答过程】y=sin ( −2x )=−sin ( 2x− ) ，
6 6
π π 3π π 5π
2kπ+ ≤2x− ≤2kπ+ ，kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
2 6 2 3 6
令k=0可的y=sin (
π
−2x ) (x∈[0,π])的递增区间为
[π
,
5π]
.
6 3 6
故选：C.
【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x)=2√3cos ( x- π) cosx-2sin2x，若f (x)在
2
[ π]
区间 m, 上单调递减，则实数m的取值范围（ ）
4
[π π] [π π] [π π) [π π)
A． , B． , C． , D． ,
6 4 3 2 6 4 6 3
【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【解答过程】f (x)=2√3cos ( x- π) cosx-2sin2x =2√3sinxcosx-2· 1-cos2x
2 2
(√3 1 ) ( π)
=√3sin2x-1+cos2x =2 sin2x+ cos2x -1 =2sin 2x+ -1，
2 2 6
[ π] π [ π 2π ]
由x∈ m, ，则2x+ ∈ 2m+ , ，
4 6 6 3
[ π 2π ] [π 3π ] π π 2π π π
由题意， 2m+ , ⊆ , ，则 ≤2m+ < ，解得 ≤m< .
6 3 2 2 2 6 3 6 4
故选：C.
【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a=log 8，b=πln0.8，c=sin2.5，则a，b，c的大小关系
16
是（ ）A．c1时，f'(x)>0，函数f (x)在(1,+∞)上单调递增，
5 1
所以f (0.8)>f (1)，即ln0.8+ −1>0，所以ln0.8>− ，因为函数y=πx在(−∞,+∞)上单调递增，所以
4 4
πln0.8>π − 4 1 ，又 ( π − 4 1) −4 =π ， (3 4 ) −4 = 2 8 5 1 6 ≈3.16，
所以(3) −4 > ( π − 4 1) −4 ，因为 y=x−4 在 (0,+∞) 单调递减，所以3 <π − 4 1 ，所以 πln0.8> 3，故 b>a ，
4 4 4
3π 5π (π ) 5π 3π
因为 <2.5< ，函数y=sinx在 ,π 上单调递减，所以sin 0)在 0, 上单
4 4
调递减，则ω的最大值为（ ）
3 3 1
A． B． C． D．1
7 4 4
π (π 7π π)
【解题思路】由题知ωx+ ∈ , ω+ ，再根据函数y=√2cosx在(0,π)上单调递减可得
4 4 4 47π π
ω+ ≤π，进而解不等式求解即可.
4 4
( π) ( 7π)
【解答过程】解：因为函数f(x)=√2cos ωx+ (ω>0)在 0, 上单调递减，
4 4
7π 1 π 4
所以 ≤ T= ，解得0<ω≤ ，
4 2 ω 7
( 7π) π (π 7π π)
因为x∈ 0, ，所以ωx+ ∈ , ω+ ，
4 4 4 4 4
因为函数y=√2cosx在(0,π)上单调递减，
( π) ( 7π) 7π π 3
所以，函数f(x)=√2cos ωx+ (ω>0)在 0, 上单调递减，则有 ω+ ≤π，解得ω≤ ，
4 4 4 4 7
( 3] 3
所以ω的取值范围是ω∈ 0, ，即ω的最大值为 .
7 7
故选：A.
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路：
(1)熟练掌握函数 或 的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
π
【例6】已知函数f (x)=4sinxcos ( x+ )+1.
6
(1)求f (x)的最小正周期及单调区间；
[ π π]
(2)求f (x)在区间 − , 上的最大值与最小值.
6 4
【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到f (x)=2sin ( 2x+ π) ，从而利用T= 2π 求出最小正周期，
6 |ω|
再利用整体法求解函数的单调区间；
[ π π] π [ π 2π ]
（2）根据x∈ − , 求出2x+ ∈ − , ，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为
6 4 6 6 3
−1.
π π
【解答过程】（1）因为f (x)=4sinx ( cosxcos −sinxsin )+1
6 6
( π)
=2√3sinxcosx−2sin2x+1 =√3sin2x+cos2x =2sin 2x+
62π
所以f (x)的最小正周期T= =π；
2
π π π [ π π ]
令− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，解得： − +kπ, +kπ ，k∈Z，
2 6 2 3 6
π π 3π [π 2π ]
令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，解得： +kπ, +kπ ，k∈Z，
2 6 2 6 3
[ π π ]
单调增区间为 − +kπ, +kπ ，k∈Z，
3 6
[π 2π ]
单调减区间为 +kπ, +kπ ，k∈Z；
6 3
[ π π] π [ π 2π]
（2）已知x∈ − , ，所以2x+ ∈ − , ，
6 4 6 6 3
π π π
当2x+ = ，即x= 时，f (x)取得最大值，最大值为2，
6 2 6
π π π
当2x+ =− ，即x=− 时，f (x)取得最小值，最小值为-1，
6 6 6
[ π π]
所以f (x)在区间 − , 上的最大值为2，最小值为−1.
6 4
π
【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x)=4sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|< ）图象的
2
π π
一条对称轴为直线x=− ，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为 ．
12 8
(1)求f (x)；
[ π π]
(2)求f (x)在 − , 上的值域．
24 4
【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；
π [ π 5π]
（2）根据自变量的范围求得4x− ∈ − , ，根据正弦函数的取值求得函数的值域
6 3 6
π
【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为 ，
8
π 2π
所以T= ，故ω= =4，
2 T
π
又f(x)的图象的一条对称轴方程为x=− ，
12
π π 5π
则4× ( − )+φ= +kπ，k∈Z，即φ= +kπ，k∈Z，
12 2 6π π
又|φ|< ，所以φ=− ，
2 6
π
故f(x)=4sin ( 4x− ) ；
6
[ π π] π [ π 5π]
（2）因为x∈ − , ，所以4x− ∈ − , ，
24 4 6 3 6
所以 sin ( 4x− π ) ∈ [ − √3 ,1 ]，所以 4sin ( 4x− π ) ∈[−2√3,4] ，
6 2 6
[ π π]
故f (x)在 − , 上的值域为[−2√3,4].
24 4
π
【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x)=2√3cos2( +x )-2sin(π+x)cosx-√3
2
(1)求f (x)的最小正周期及单调递减区间；
[π π ]
(2)求f (x)在区间 , 上的最值；
4 2
(3)若f ( x - π )= 10 ,x ∈ [3π ,π ] ，求sin2x 的值．
0 6 13 0 4 0
π
【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得f (x)=2sin(2x- )，然后根据三角函数的性质即得；
3
（2）根据正弦函数的性质即得；
2π 5
（3）由题可得sin(2x - )= ，然后根据同角关系式及和差角公式即得.
0 3 13
【解答过程】（1）
因为f (x)=2sinxcosx+2√3sin2x-√3
π
=sin2x-√3cos2x=2sin(2x- )
．
3
2π
所以f (x)的最小正周期T= =π，
2
π π 3π
∵ +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z，
2 3 2
5π 11π
∴ +kπ≤x≤ +kπ，
12 12
[5π 11π ]
所以f (x)的单调递减区间为 +kπ, +kπ (k∈Z)；
12 12
（2）[5π 11π ]
由（1）知f (x)的单调递减区间为 +kπ, +kπ (k∈Z)，
12 12
[π π ]
∵x∈ , ，
4 2
[π 5π ] [5π π ]
∴f (x)在 , 上单调递增，在 , 上单调递减，
4 12 12 2
5π π π π π 2π
又f ( )=2sin =2,f ( )=2sin =1,f ( )=2sin =√3，
12 2 4 6 2 3
故f (x) =1,f (x) =2；
min max
[π π ]
另解：∵x∈ , ，
4 2
π [π 2π ]
∴t=2x- ∈ , ，
3 6 3
[π π ] [π 2π ]
∵y=sint在t∈ , 单调递增，在 , 上单调递减，
6 2 2 3
π
∴当t= 时，(sint) =1,f (x) =2×1=2，
2 max max
π 1 1
∴当t= 时，(sint) = ,f (x) =2× =1；
6 min 2 min 2
（3）
π 10
∵f ( x - )= ，
0 6 13
2π 5
∴sin(2x - )= ，
0 3 13
[3π ] 2π [5π 4π ]
由x ∈ ,π ，得2x - ∈ , ，
0 4 0 3 6 3
2π 12
∴cos(2x - )=- ，
0 3 13
∴sin2x =sin [(2x - 2π )+ 2π] =sin(2x - 2π )cos 2π +cos(2x - 2π )sin 2π
0 0 3 3 0 3 3 0 3 3
=
5
×(-
1
)+(-
12
)×
√3
=-
5+12√3
．
13 2 13 2 26
【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数 .
f (x)=[(1+√2)sinx-cosx]⋅[(1-√2)sinx-cosx]
(1)求f (x)的最小正周期T和单调递减区间；(
3A
)
(2)四边形ABCD内接于⊙O，BD=2，锐角A满足f =-1，求四边形ABCD面积S的取值范围.
4
( π)
【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x)=√2cos 2x+ ，从而可求出最
4
π
小正周期，再由2kπ≤2x+ ≤2kπ+π(k∈Z)求出其单调区间，
4
( 3A ) π 2π
（2）由f =-1，求得A= ，再由圆的性质可得C= ，设AB=a，AD=b，BC=c，CD=d，分别在
4 3 3
4
△ABD和△CBD中利用余弦定理结合基本不等式可得0
