三角函数
知识点+题型归纳全集
5.1 任意角和弧度制 ................................................................................................................................................6
模块一：基础知识 ............................................................................................................................................6
考点一：任意角 ........................................................................................................................................6
考点二：象限角 ........................................................................................................................................7
考点三：轴线角 ........................................................................................................................................7
考点四：终边相同的角的集合 ................................................................................................................7
考点五：角度制与弧度制的概念 ............................................................................................................8
考点六：扇形中的弧长公式和面积公式 ................................................................................................8
模块二：题型分类 ............................................................................................................................................8
题型一：任意角的概念 ............................................................................................................................8
题型二：终边相同的角 ............................................................................................................................9
题型三：象限角的判定 ............................................................................................................................9
题型四：终边在某条直线上的角的集合 ..............................................................................................10
题型五：区域角 ......................................................................................................................................10
题型六：角的终边的对称问题与垂直问题 ..........................................................................................11
题型七：弧度制的概念 ..........................................................................................................................11
题型八：角度与弧度的互化 ..................................................................................................................12
题型九：用弧度表示角或范围 ..............................................................................................................12
题型十：弧长公式 ..................................................................................................................................13
题型十一：扇形面积公式 ......................................................................................................................13
题型十二：扇形中的最值问题 ..............................................................................................................14
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................15
5.2 三角函数的概念 ..............................................................................................................................................17
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................17
考点一：任意角三角函数的定义 ..........................................................................................................17
考点二：三角函数的定义域和函数值的符号 ......................................................................................17
考点三：诱导公式一 ..............................................................................................................................18
考点四：三角函数线 ..............................................................................................................................18
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................18
题型一：单位圆定义法求三角函数值 ..................................................................................................18
题型二：由终边或终边上点求三角函数值 ..........................................................................................19
题型三：由三角函数值求终边上的点或参数 ......................................................................................20
题型四：三角函数值在各象限的符号 ..................................................................................................20
题型五：画三角函数线 ..........................................................................................................................21
题型六：三角函数线的应用 ..................................................................................................................22
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................23
5.3 同角三角函数的基本关系 ..............................................................................................................................26
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................26
考点一：同角三角函数的基本关系 ......................................................................................................26
考点二：关系式的常用等价变形 ..........................................................................................................26
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................26
题型一：同角三角函数的基本关系 ......................................................................................................26
题型二：平方关系 ..................................................................................................................................27
题型三：已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量 ......................................................................27
题型四：利用平方关系求参数 ..............................................................................................................28
题型五：应用同角三角函数的基本关系式化简 ..................................................................................28
题型六：已知tanα,求关于sinα 和cosα 的齐次式的值 .....................................................................29
题型七：利用sinα+cosα,sinα-cosα 与sinαcosα 之间的关系求值 .....................................................30
题型八：三角恒等式的证明 ..................................................................................................................32
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................33
5.4 诱导公式 ..........................................................................................................................................................36
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................36
考点一：诱导公式 ..................................................................................................................................36
考点二：诱导公式的作用 ......................................................................................................................36
考点三：一组重要公式 ..........................................................................................................................36
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................37
题型一：给角求值问题 ..........................................................................................................................37
题型二：给值(式)求值问题 ..................................................................................................................38
题型三：三角函数的化简求值问题 ......................................................................................................38
题型四：利用诱导公式证明三角恒等式 ..............................................................................................40
题型五：诱导公式在三角形中的应用 ..................................................................................................41
题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用 ..................................................................................42
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................43
5.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质 ...............................................................................................................47
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................47
考点一：正弦函数的图象 ......................................................................................................................47
考点二：正弦函数图象的画法 ..............................................................................................................47
考点三：余弦函数的图象 ......................................................................................................................47
考点四：余弦函数图象的画法 ..............................................................................................................48
考点五：正弦函数、余弦函数的图象和性质 ......................................................................................48
考点六：函数的周期性 ..........................................................................................................................49
考点七：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 ..............................................................................49
考点八：正弦、余弦型函数的常用周期 ..............................................................................................49
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................50
题型一：用“五点法”作三角函数的图象 ..........................................................................................50
题型二：利用图象解三角不等式 ..........................................................................................................51
题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 ......................................................................51
题型四：三角函数的周期问题及简单应用 ..........................................................................................52
题型五：三角函数的奇偶性及其应用 ..................................................................................................53
题型六：函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 ..........................................................53
题型七：求三角函数的单调区间 ..........................................................................................................54
题型八：利用单调性比较三角函数值的大小 ......................................................................................55
题型九：已知三角函数的单调情况求参数问题 ..................................................................................55
题型十：三角函数的对称性 ..................................................................................................................56
题型十一：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 ...................................................57
题型十二：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） .................................................58
题型十三：分式型求值域或最大(小)值 ..............................................................................................59
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................59
5.6 正切函数的图象与性质 ..................................................................................................................................63
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................63
考点一：正切函数的性质与图象 ..........................................................................................................63
考点二：三点两线法作正切曲线的简图 ..............................................................................................63
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................64
题型一：正切函数的定义域 ..................................................................................................................64
题型二：正切函数的值域 ......................................................................................................................64
题型三：求正切函数的单调区间 ..........................................................................................................65
题型四：正切函数单调性的应用 ..........................................................................................................65
题型五：正切函数图象的对称性 ..........................................................................................................66
题型六：正切函数的周期性与奇偶性 ..................................................................................................67
题型七：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 ......................................................................67
题型八：正切函数图象与性质的综合应用 ..........................................................................................68
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................69
5.7 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ...........................................................................................................73
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................73
考点一：两角和与差的余弦公式 ..........................................................................................................73
考点二：两角和与差的正弦公式 ..........................................................................................................73
考点三：两角和与差的正切公式 ..........................................................................................................73
考点四：三角恒等变换思想-角的代换、常值代换 ............................................................................73
考点五：辅助角公式 ..............................................................................................................................74
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................74
题型一：两角和与差余弦公式 ..............................................................................................................74
题型二：已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦 ..............................................................................74
题型三：用和差角的余弦公式化简、求值 ..........................................................................................75
题型四：逆用和差角的余弦公式化简、求值 ......................................................................................76
题型五：15°或75°的余弦值应用 .....................................................................................................77
题型六：两角和与差正弦公式 ..............................................................................................................77
题型七：已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦 ..............................................................................78
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值 ..........................................................................................78
题型九：逆用和差角的正弦公式化简、求值 ......................................................................................79
题型十：15°或75°的正弦值应用 .....................................................................................................79
题型十一：两角和与差正切公式 ..........................................................................................................80
题型十二：已知两角的正弦，余弦求和差角的正切 ..........................................................................80
题型十三：15°或75°的正切值应用 .................................................................................................81
题型十四：用和差角的正切公式化简、求值 ......................................................................................82
题型十五：逆用和差角的正切公式化简、求值 ..................................................................................82
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................83
5.8 二倍角公式 ......................................................................................................................................................87
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................87
考点一：二倍角公式 ..............................................................................................................................87
考点二：二倍角公式的变形应用 ..........................................................................................................87
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................87
题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题 ......................................................................................87
题型二：利用二倍角公式求角 ..............................................................................................................88
题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题 ......................................................................................89
题型四：二倍角中的拼凑角问题 ..........................................................................................................89
题型五：二倍角公式与数学文化的结合 ..............................................................................................90
题型六：辅助角公式的应用 ..................................................................................................................92
模块三：综合巩固 ..........................................................................................................................................93
5.9 简单的三角恒等变换 ......................................................................................................................................97
模块一：基础知识 ..........................................................................................................................................97
考点一：半角公式 ..................................................................................................................................97
考点二：辅助角公式 ..............................................................................................................................97
考点三：万能公式 ..................................................................................................................................97
模块二：题型分类 ..........................................................................................................................................98
题型一：二倍角的降幂扩角公式 ..........................................................................................................98
题型二：利用半角公式、万能公式求值 ..............................................................................................98
题型三：辅助角公式的应用 ..................................................................................................................99
题型四：简单的三角恒等变换 ............................................................................................................100
题型五：三角函数的实际应用 ............................................................................................................102
模块三：综合巩固 ........................................................................................................................................103
5.10 y=Asin(ωx+φ)的图像 ..............................................................................................................................107
模块一：基础知识 ........................................................................................................................................107
考点一：φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)图象的影响 ........................................................................107
考点二：五点法作图 ............................................................................................................................107
考点三：三角函数图象变换 ................................................................................................................107
考点四：根据图象求解析式 ................................................................................................................108
模块二：题型分类 ........................................................................................................................................109
题型一：利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 ...............................................................109
题型二：三角函数的图象变换 ............................................................................................................111
题型三：由部分图象求函数的解析式 ................................................................................................112
题型五：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 ...............................................................118
题型六：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角恒等变换 ...................................................................122
模块三：综合巩固 ........................................................................................................................................124
5.11 三角函数中w 取值范围问题 .....................................................................................................................129
模块一：基础知识 ........................................................................................................................................129
考点一：与y＝Asin(ωx＋φ)的对称性有关 ...................................................................................129
考点二：对称性与周期性在其他函数中拓展 ....................................................................................129
考点三：与单调性有关 ........................................................................................................................129
考点四：与平移相关 ............................................................................................................................129
考点五：与零点相关 ............................................................................................................................129
考点六：与最值相关 ............................................................................................................................129
模块二：题型分类 ........................................................................................................................................130
题型一：单调性中ω取值范围问题 ....................................................................................................130
题型二：对称轴中ω取值范围问题 ....................................................................................................131
题型三：对称轴中心与ω取值范围问题 ............................................................................................132
题型四：平移伸缩中ω 取值范围问题 ..............................................................................................134
题型五：零点与ω取值范围问题 ........................................................................................................136
题型六：最值与ω 取值范围问题 ......................................................................................................137
题型七：极值与ω 取值范围问题 ......................................................................................................139
模块三：综合巩固 ........................................................................................................................................140
高中数学
三角函数知识点+题型归纳全集
5.1 任意角和弧度制
模块一：基础知识
考点一：任意角
1.角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
2.角的表示如图：①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④
记法：图中的角可记为“角”或“
”或“
AOB”.
3.角的表示
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定：
名称
定义
图形
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.
零角
一条射线没有做任何旋转.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
4.角的相等
设角由射线OA 绕端点O 旋转而成，角
由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且
旋转量相等，那么就称=
.
5.角的加、减法
①角的加法:设,
是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角
，这时终边所对应的角是+
.
②相反角的概念:我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角
的相反角记为- .
③角的减法:像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有-
= +(-
).这样，角
的减法可以转化为角的加法.
考点二：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几
象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
第一象限角
{ | 360
360
90 ,
}
k
k
k
Z
第二象限角
{ | 360
90
360
180 ,
}
k
k
k
Z
第三象限角
{ | 360
180
360
270 ,
}
k
k
k
Z
或
{ | 360
180
360
90 ,
}
k
k
k
Z
第四象限角
{ | 360
270
360
360 ,
}
k
k
k
Z
或
{ | 360
90
360
,
}
k
k k
Z
考点三：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
①
终边落在x 轴非负半轴
{
|
360
,
}
k k
Z
②
终边落在y 轴非负半轴
{
|
360
90 ,
}
k
k
Z
③
终边落在x 轴非正半轴
{
|
360
180 ,
}
k
k
Z
或{
|
360
180 ,
}
k
k
Z
④
终边落在y 轴非正半轴
{
|
360
270 ,
}
k
k
Z
或{
|
360
90 ,
}
k
k
Z
⑤
终边落在x 轴
{
|
180
,
}
k k
Z
⑥
终边落在y 轴
{
|
180
90 ,
}
k
k
Z
或{
|
180
90 ,
}
k
k
Z
⑦
终边落在坐标轴
{
|
90
,
}
k k
Z
考点四：终边相同的角的集合
1.所有与角终边相同的角为
|
360
k
k
Z
，
2.区间角、区域角
区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如
.终边介于某两
角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角.
3.角的终边的对称问题与垂直问题
角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角
就有一定的关系.一般地，我们有如下结论：
角α,β 终边的位置关系
α,β 的关系
α 与β 的终边关于x 轴对称
α 与β 的终边关于y 轴对称
α 与β 的终边关于原点对称
α 与β 的终边在一条直线上
α 与β 的终边垂直
α 与β 的终边关于直线y=x 对称
α 与β 的终边关于直线y=-x 对称
考点五：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度角，记作1 rad ，或1 弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式： 180
rad
0
180
1
57.30
57 18
rad
，1
180 rad
3、常用的角度与弧度对应表
角度制
0
30
45
60
90
120
135
150
180
弧制度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
考点六：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：
r
l
|
|
(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：
2
|
|
2
1
2
1
r
r
l
S
.
模块二：题型分类
题型一：任意角的概念
1.经过2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.
A．60°，720°
B．－60°，－720°
C．－30°，－360°
D．－60°，720°
2.（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运
行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了
5π
6
．”
B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了
7π
6
．”
C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35 时，时针与分针所夹的钝角为67π
72 ．”
D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22 次．”
3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2 小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数
为
.
题型二：终边相同的角
1.下列各角中，与2183角终边相同的是（ ）
A．23
B．23
C．47
D．47
2.（多选）与457
角终边相同的角的集合是（ ）
A．
360
457 ,
k
k
Z
B．
360
97 ,
k
k
Z
C．
360
263 ,
k
k
Z
D．
360
263 ,
k
k
Z
3.下列角的终边与60角的终边关于x 轴对称的是（ ）
A．660
B．660
C．690
D．690
4.已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α 与120°角终边相同，则α= ．
5.若角𝛼、𝛽的终边相同，则𝛼−𝛽的终边在（ ）．
A．x 轴的正半轴上
B．x 轴的负半轴上
C．y 轴的正半轴上
D．y 轴的负半轴上
6.若𝛼与𝛽的终边互为反向延长线，则有（ ）
A．𝛼= 𝛽± 180°
B．𝛼= −𝛽
C．𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅180°,𝑘∈Z
D．𝛼= 𝛽+ 𝑘⋅360° + 180°,𝑘∈Z
题型三：象限角的判定
1.给出下列四个命题：①−
π
3是第四象限角；②
5π
4 是第三象限角；③−
13π
6 是第二象限角；④
7π
2 是第一象限
角．其中正确命题的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2.若𝛼是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．90°−𝛼
B．180°−𝛼
C．270°−𝛼
D．−𝛼
3.设𝛼是第二象限角，则
𝛼
3的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
4.已知为第二象限角，则2
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第二或第四象限
D．第一或第三象限
题型四：终边在某条直线上的角的集合
1.写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
2.若角α 的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
3
y
x
上，则角α 的取值集合是
3.在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x 轴的非负半轴上；
(2)终边在
0
y
x x
上．
题型五：区域角
1.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
2.集合
π
π
π
π
,
Z
4
2
k
k
k
中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角2
的取值范围是
．
4.用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
题型六：角的终边的对称问题与垂直问题
1.列角的终边与60°角的终边关于𝑥轴对称的是（ ）
A．660°
B．−660°
C．690°
D．−690°
2.𝛼是一个任意角，则𝛼的终边与3𝜋−𝛼的终边（ ）
A．关于坐标原点对称
B．关于𝑥轴对称
C．关于𝑦轴对称
D．关于直线𝑦= 𝑥对称
3.若2𝜋< 𝛼< 4𝜋，且角𝛼的终边与角−
7𝜋
6 的终边垂直，则𝛼= （ ）
A．
7𝜋
3
B．
10𝜋
3
C．
4𝜋
3 或
7𝜋
3
D．
7𝜋
3 或
10𝜋
3
4.若𝛼= 2𝑘π +𝜃,𝛽= (2𝑘+ 1)π−𝜃,其中𝑘∈𝑍,则角𝛼与𝛽的终边（ ）
A．关于原点对称
B．关于𝑥轴对称
C．关于𝑦轴对称
D．关于𝑦= 𝑥对称
题型七：弧度制的概念
1.下列与45终边相同角的集合中正确的是（ ）
A．
|
2 π
45 ,
k
k
Z
B．
π
|
360
,
4
k
k
Z
C．
7
|
2 π
π,
4
k
k
Z
D．
π
|
π
,
4
k
k
Z
2.若
5rad
，则角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.自行车的大链轮有88 齿，小链轮有20 齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（ ）
A．5
11
B．44
5
C．5
22
D．22
5
4.列说法正确的是（ ）
A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大
C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
题型八：角度与弧度的互化
1.把下列各角从度化为弧度：
(1)120；
(2) 25
．
2.（多选）下列各角中，与角495终边相同的角为（ ）
A．3π
4
B．
5π
4
C．
9π
4
D．13π
4
3.设r 为圆的半径，弧长为1
2
r
的圆弧所对的圆心角为（ ）
A．90
B．180
C．270
D．360
4. 5π
12 化为角度是（ ）
A．60
B．75
C．115
D．135
题型九：用弧度表示角或范围
1.将－1485°化成
2
0
2 ,
k
k
Z 的形式是（ ）
2.写出一个与角1280
终边相同的正角：
（用弧度数表示）.
3.已知
1520
.
(1)将写成
2 π
,0
2π
k
k
Z
的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求与终边相同的角，满足4π
0
．
4.已知角
1200
.
(1)将改写成
2 π
Z,0
2π
k
k
的形式，并指出是第几象限的角；
(2)在区间
2π,2π
上找出与终边相同的角．
题型十：弧长公式
1.若扇形的圆心角为120，半径3
2 .则它的弧长为
.
2.已知扇形面积3π
8 ，半径是1，则扇形的周长是（ ）
A．3π
1
16
B．3π
2
8
C．3π
2
4
D．3π
1
2
3.若扇形的面积是
2
4cm ，它的周长是10cm ，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．
1
2
B．π
2
C．1
4
D．π
4
4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为
.
题型十一：扇形面积公式
1.已知扇形弧长为π
3 ，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）
A．
2
π
18
B．
2
π
36
C．π
3
D．1
2.圆心角为2 的扇形的周长为4，则此扇形的面积为
.
3.于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻
中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇
形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分，已知
1m
AD
，弧
π m
3
AB
，弧
2π m
3
CD
，则此扇环形砖雕的面
积为
2
m ．
4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中
心角为2π
3 ，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为
cm2
题型十二：扇形中的最值问题
1.已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若
60
，
6
R
，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
2.已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3
2
D．2
3.已知扇形的圆心角是
0
，半径为R .
（1）若
60
，
10cm
R
求扇形的弧长l .
（2）若扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
4.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.r
(1)若
60
，
3
r ，求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为16 ，当为多少弧度时，该扇形面积最大? 并求出最大面积．
5.已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若
150 ,
10
r
，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
6.知一扇形的圆心角为
(
0)
，所在圆的半径为R.
（1）若
60
，
10
R
cm
，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
模块三：综合巩固
1.若角α＝30°，把角α 逆时针旋转20°得到角β，则β＝
.
2.下列各角中，与43角终边重合的是（ ）
A．137
B．143
C．317
D．343
3.下列各角中，与43∘角终边重合的是（ ）
A．137∘
B．143∘
C．−317∘
D．−343∘
4.下列各组中，终边相同的是（ ）
A．(2𝑘+ 1)𝜋与
4𝑘+ 1
2
𝜋(𝑘∈𝑍)
B．𝑘𝜋+
𝜋
3与𝑘𝜋−
𝜋
3(𝑘∈𝑍)
C．𝑘𝜋+
𝜋
2与𝑘𝜋−
𝜋
2(𝑘∈𝑍)
D．2𝑘𝜋+
2𝜋
3 与2𝑘𝜋−
2𝜋
3 (𝑘∈𝑍)
5.已知角的顶点与原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，855°是第几象限角（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
6.若角的终边在函数y
x
的图象上，试写出角的集合为
．
7.用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说
明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）
8.已知是第一象限角，那么（ ）
A．2
是第一、二象限角
B．2
是第一、三象限角
C．2
是第三、四象限角
D．2
是第二、四象限角
9.若角是第二象限角，试确定角2，3
是第几象限角．
10.将−315∘化为弧度制，正确的是（ ）
A．−
5π
3
B．−
5π
4
C．−
7π
4
D．
π
4
11.将－1485°化成𝛼+ 2𝑘𝜋(0 ≤𝛼< 2𝜋,𝑘∈𝑍)的形式是（ ）
A．
π
4−8π
B．
7
4𝜋−8𝜋
C．
𝜋
4−10𝜋
D．
7
4𝜋−10𝜋
12.下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是−
7𝜋
6 rad
B．−
10𝜋
3 rad化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
3𝜋
8 rad
D．
𝜋
12rad化成度是15°
13.玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是
一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（ ）
A．
2
2700cm
B．
2
3500cm
C．
2
4300cm
D．
2
4800cm
14.如图，半径为1 的圆M 与直线l 相切于点A，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M 时，圆M 与
直线l 相切于点B，点A 运动到点A，线段AB 的长度为3π
2 ，则点M 到直线BA的距离为 ．
15.写出终边在下图所示的直线上的角的集合．
16.已知一扇形的圆心角为
0
，周长为C ，面积为S ，弧长为l ,所在圆的半径为r ．
(1)若
30
，
8
r ，求扇形的弧长；
(2)若
16
C
，
16
S
，求扇形的半径和圆心角．
5.2 三角函数的概念
模块一：基础知识
考点一：任意角三角函数的定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,
R
,它的终边OP 与单位圆相交于点
( , )
P x y
①正弦函数：把点P 的纵坐标y 叫做的正弦函数,记作sin,即
sin
y
②余弦函数：把点P 的横坐标x 叫做的余弦函数,记作cos,即
cos
x
③正切函数：把点P 的纵坐标与横坐标的比值y
x
叫做的正切,记作tan,即
tan
y
x
(
0
x
)
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点
( , )
P x y ，设原点到
( , )
P x y 点的距离为
2
2
|
|
r
OP
x
y
①正弦函数：sin
y
r
②余弦函数：cos
x
r
③正切函数：tan
y
x
(
0
x
)
考点二：三角函数的定义域和函数值的符号
1.三角函数的定义域
三角函数
定义域
2.三角函数值在各象限的符号
由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，知
①正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；
②余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；
③正切函数值的符号是由x,y 的符号共同决定的，即x,y 同号为正，异号为负.
因此，正弦函数(
)、余弦函数(
)、正切函数(
)的值在各个象限内的符号如图所示.
考点三：诱导公式一
1.语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
2.式子表示:
①sin(
2
)
sin
k
②cos(
2
)
cos
k
③tan(
2
)
tan
k
其中k
Z
.
考点四：三角函数线
设角的终边与单位圆相交点P ；④由点P 向x 轴做垂线，垂足为点M ；⑤由点A作单位圆的切线与
终边相交于点T 。如下图所示：
在
OPM
Rt
中：
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
sin
PM
PM
r
PM
OP
PM
|
| PM 为正弦线，长度为正弦值。
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
cos
OM
OM
r
OM
OP
OM
|
|OM
为余弦线，长度为余弦值。
在
OAT
Rt
中：
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
tan
AT
AT
r
AT
OA
AT
。
|
| AT
为正切线，长度为正切值。
模块二：题型分类
题型一：单位圆定义法求三角函数值
1.已知角的终边与单位圆交于点
3
6
(
,
)
3
3
P
，则sin
cos
（ ）
A．
3
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
2
3
x
y
O
M A
T
P
2.已知角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点
5 ,
5
P
m
，
则sin（ ）
A．
5
5
B．
5
5
C．
2 5
5
D．2 5
5
3.在平面直角坐标系xOy 中，角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位
圆O 于点
3 4
,
5 5
P
，则tan的值为
A．
3
5
-
B．4
5
C．
4
3
D．
3
4
4.设角的终边与单位圆的交点坐标为1
3
,
2
2
，则sin（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
5.已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于
4 ,
5
A
m
，且为第四象限角，则sin（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
题型二：由终边或终边上点求三角函数值
1.已知角𝛼终边经过点𝑃(2,1)，则sin𝛼= （ ）
A．
1
2
B．
5
5
C．2 5
5
D．2
2.已知角的终边落在直线
2
y
x
上，则sin的值为（ ）
A．2 5
5
B．
5
5
C．
2 5
5
D．
2 5
5
3.（多选）已知角的终边经过点
( 4 ,3 )(
0)
P
m
m m
，则2sin
cos
的值可能为（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．2
5
D．
2
5
4.若的终边所在射线经过点
1,2
P
，则sin
，tan
.
题型三：由三角函数值求终边上的点或参数
1.若角𝛼的终边上有一点𝑃(−2,𝑚)，且sin𝛼= −5
5 ，则𝑚= （ ）
A．4
B．± 4
C．-1
D．± 1
2.已知角的终边上有一点
, 3
P m
，且
2
cos
4
m
，则实数m 取值为
．
3.已知角的终边上一点
,
5
P m
，且
2
cos
4
m
，求m 值.
4.已知角的终边经过点
8 , 3
P
m
，且
4
cos
5
，则实数m 的值是（ ）
A．
1
2
B．9
32
C．
1
2 或
1
2
D．9
32 或
9
32
5.已知角的终边经过点(2
1,
2)
a
a
，且
3
cos
5
，则实数
a
.
题型四：三角函数值在各象限的符号
1.已知sin𝜃< 0，tan𝜃< 0，则角𝜃的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.“sin𝜃< 0”是“𝜃为第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.求1
2sin5cos5
（ ）
A．sin5
cos5
B．sin5
cos5
C．cos5
sin5
D．sin5
cos5
4.
2
2
2sin
cos
1 cos
1 sin
x
x
x
x
所有可能取值的集合为
．
5.已知点
cos ,
tan
P
是第三象限的点，则的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.点
tan2022
co
)
22
(
s20
P
,
位于第
象限．
题型五：画三角函数线
1.利用单位圆分别写出符合下列条件的角α 的集合：
（1）
1
sin
2
；
（2）
2
cos
2
；
（3）tan
3
.
2.不等式
1
cos
2
x
在区间
,
上的解集为
．
3.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合：
(1)
1
sin
2
x
且
1
cos
2
；
(2) tan
1
x ．
4.使sin
cos
x
x
成立的x 的一个变化区间是（ ）
A．[
3 π
4
，π
4 ]
B．[
π
2
，π
2 ]
5.已知
0, 2
，则sin
cos
+
的取值范围是
．
题型六：三角函数线的应用
1.已知A 是ABC
的一个内角，且tan
3
0
A
，则sin A 的取值范围是（ ）
A．
3 ,1
2
B．1 ,1
2
C．
3
1, 2
D．1
3
,
2
2
2.（1）设
π
0, 2
，试证明：sin
tan
；
（2）若
π
0
2
，试比较
sin
与
sin
的大小.
3.如图，已知点A 是单位圆与x 轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P ，PM
x
轴于M ，过点A 作
单位圆的切线交角的终边于T ，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A．OM
，AT
，MP
B．OM
，MP
，AT
C．MP
，AT
，OM
D．MP
，OM
，AT
4.利用三角函数线,确定满足不等式
1
3
cos
2
2
的取值范围.
模块三：综合巩固
1.已知角的终边过点
,2
P x
，且
5
cos
3
，求sin及tan的值．
2.（多选）已知角的终边上有一点
,2
P a
a ，若a<0 ，则（ ）
A．
5
sin
5
B．
2 5
sin
5
C．
1
tan
2
D．tan
2
3.角的终边经过点
2,3
，则sin（ ）
A．
3
13
13
B．
2
13
13
C．2
13
13
D．3
13
13
4.角的终边经过点
4,
P
b 且
3
sin
5
，则b 的值为（ ）
A．3
B．3
C．3
D．5
5.（多选）已知
1
cos
3
，则可能是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
6.（多选）若是第四象限角，则点
cos
,tan
2
2
P
在第（ ）象限.
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7.已知点
4, 3
P
m
角的终边上，且
3
sin
5
，求m，cos，tan．
8.若sin
0
tan
，tan
0
cos
，则是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
9.已知
sin1,cos2
P
，则点P 所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10.角的终边上一点P 的坐标为( 3, )t ，且
2
sin
(
0)
t
t
，则tan（ ）
A．
2
B．
6
C．
2
D．
6
11.若cos
cos
，tan
tan
，则2
的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x 轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x 轴上
12.sin1 sin 2 sin3 sin 4
的符号为（ ）
A．正
B．0
C．负
D．无法确定
13.在平面直角坐标系中，
,
,
,
AB CD EF GH 是圆
2
2
1
x
y
上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角
以Ox 为始边，OP 为终边，若tan
cos
sin
，则P 所在的圆弧是
A．
AB
B．
CD
14.质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1 的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度
为3rad/s，起点为射线
3
0
y
x x
与圆的交点；Q 的角速度为5rad/s，起点为圆与x 轴正半轴交点，
则当质点Q 与P 第二次相遇时，Q 的坐标为（ ）
A．
3
1
,
2
2
B．
3 ,
2
2
1
C．
3 1
,
2
2
D．
3 ,
2
2
1
15.已知函数
log
2
1
a
f x
x
（
0
a
，且
1
a ）的图像恒过点P，若点P 是角终边上的一点，则sin
（ ）
A．
2 5
5
B．
2
2
C．
5
5
D．
2
2
16.如果是第二象限角，则
sin cos
cos sin
的符号为
（选填“正”或“负”）．
17.利用三角函数线，说明当
π
0, 2
时，求证：sin
．
18.在直角坐标系xOy 中，角的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角的终边l 与单位圆交
于点
0.6,
A
m ，将l 绕原点逆时针旋转2
与单位圆交于点
,
B x y ，若
4
tan
3
，则x （ ）
A．0.6
B．0.8
C．-0.6
D．-0.8
19.（多选）已知函数
log
2
2(
0
a
f x
x
a
且
1)
a
的图象经过定点A ，且点A 在角的终边上，则
1
1
tan
sin
的值可能是（ ）
A．
13
3
4
B．
13
3
2
C．
5
1
4
D．
5
1
2
5.3 同角三角函数的基本关系
模块一：基础知识
考点一：同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α 的正弦、余弦的商等于角α 的正
切.
考点二：关系式的常用等价变形
1、
2
2
sin
cos
1
2
2
2
2
2
2
sin
1 cos
sin
1 cos
cos
1 sin
cos
1 sin
2、sin
tan
cos
sin
tan
cos
sin
cos
tan
模块二：题型分类
题型一：同角三角函数的基本关系
1.已知
5
sin
13
，并且是第四象限角，求cos，tan．
2.若
4
tan
3
，
0,π
，则cos的值为（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
3.已知是第四象限角，且
4
cos
5
，那么tanθ 的值为
4.已知是第二象限角，且
1
cos
3
，则tan的值是（ ）
A．1
3
B．
2
3
C．
2
4
D．2 2
5.若是第四象限的角，且tan
3
，则cos
.
题型二：平方关系
1.已知
2
5
sin
1
m
m
，cos
1
m
m
，且为第二象限角，则tan
.
2.若𝜃是△𝐴𝐵𝐶的一个内角，且sin𝜃cos𝜃= −
1
8，则cos𝜃−sin𝜃的值为（ ）
A．−3
2
B．3
2
C．−5
2
D．5
2
3.已知sin，cos是关于x 的方程
2
5
5
0
x
x
m
的两根，则实数m
．
4.（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．若sin
m
，则
2
cos
1 m
B．若sin
m
，则
2
cos
1
m
C．若tan
m
，则
2
1
cos
1
m
D．若tan
m
，则
2
sin
1
m
m
5.（多选）已知
4
2
cosθ
5
m
m
，
3
tan
4
2
m
m
，且
π ,π
2
，下面选项正确的是（ ）
A．
8
m
B．
0
m
或
8
m
C．sin
cos
D．
2
95
sin
2sin
cos
169
题型三：已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量
1.计算：
(1)已知
3π
(π,
)
2
，tan
2
，求cos的值.
(2)已知
8
cos
17
，求sin，tan的值
2.若
3
sin
5
，且为第三象限角，则tan（ ）
A．
4
3
B．
3
4
C．4
3
D．3
4
3.若
1
sin
2
，且为第二象限角，则cos
．
4.已知
3
sin
5
，
π
0 2
,
，则cos（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．4
5
D．
4
5
5.设为第二象限角，若
1
tan
2
，则sin
cos
.
6.已知
3
cos
3
，且
3π
π
2
，则tan
；
题型四：利用平方关系求参数
1.若sin及cos是关于x 的方程
2
2
4
3
0
x
kx
k
的两个实根，则实数k 的值为
2.已知
3
sinθ
5
m
m
，
4
2
cosθ
5
m
m
，且2
，求实数m 的值．
3.已知
1
3
1
sin
,cos
1
1
a
a
a
a
，且是第二象限角，求实数a 的值.
题型五：应用同角三角函数的基本关系式化简
1.已知
tan𝛼
tan𝛼−1 = 2，求下列各式的值.
(1)
2sin𝛼−3cos𝛼
4sin𝛼−9cos𝛼；
(2)4sin2𝛼−3sin𝛼cos𝛼−5cos2𝛼..
2.已知sin
cos
2
sin
cos
，且是第三象限的角，则1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
．
3.化简：
(1)
2
2
cos
sin
tan
2sin
cos
tan
；
(2)
1 cos
1 cos
180
270
1 cos
1 cos
．
4.设cos
1
sin
1
3
x
x
，则1 sin
cos
x
x
．
5.化简：
2
1
2sin10 cos10
cos10
1 cos 10
.
题型六：已知tanα,求关于sinα 和cosα 的齐次式的值
1.（1）已知tan
2
，求cos
5sin
3cos
sin
.
（2）已知3cos
sin
1
cos
2sin
5
，求sin
cos
的值．
2.已知
1
tan
3
，则sin
2cos
5cos
sin
的值为（ ）
A．1
B．1
C．5
16
D．5
4
3.已知sin
cos
3cos
tan
，则
2
cos
tan
1
（ ）
A．
3
5
-
B．
4
5
C．
2
3
D．
1
3
4.若2sin
3cos
1
4sin
9cos
，则tan
.
5.已知tan
2
，则cos
2sin
cos
sin
（ ）
A．0
B．
5
3
C．-1
D．1
3
6.已知tan
2
，则2sin
cos
2cos
3sin
（ ）
A．1
3
B．1
4
C．3
8
D．
1
2
7.若
4
tan
3
，则sin
cos
sin
cos
.
8. 已知角终边上
,2
3 ,
0
P x
x
x
, 且tan
x
，求sin
cos
sin
cos
的值．
题型七：利用sinα+cosα,sinα-cosα 与sinαcosα 之间的关系求值
1.已知
1
sin
cos
2
，
0,π
，求下列各式的值：
(1)sin
cos
；
(2)
1
tan
tan
．
2.已知
π
0, 4
，且
17
sin
cos
13
则tan的值为（ ）
A．12
5
B．
12
5
C．5
12
D．
5
12
3.若
1
cos
sin
3
x
x
，则
3
3
cos
sin x
x
.
4.已知为第四象限角，且
1
sin
cos
3
，则sin
cos
.
5.已知
1
sin
cos
3
，且
0,π
，则sin
cos
的值为（ ）
A．
1
3
B．
17
3
C．
17
3
D．
17
3
或
17
3
6.已知
5
sin
cos
5
，则tan
.
7.已知
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
8.已知
7
sin
cos
13
，
0,π
.
(1)求sin
cos
的值
(2)求tan
题型八：三角恒等式的证明
1.求证：
(1)
1 + 2sin𝑥cos𝑥
cos2𝑥−sin2𝑥=
1 + tan𝑥
1−tan𝑥；
(2)tan2𝜃−sin2𝜃= tan2𝜃sin2𝜃；
(3)(cos𝛼−1)2 + sin2𝛼= 2−2cos𝛼；
(4)sin4𝑥+ cos4𝑥= 1−2sin2𝑥cos2𝑥．
2.证明：
(1)2cos2𝜃+ sin4𝜃= cos4𝜃+ 1.
(2)已知
π
2 +2𝑘π < 𝑥<
3
2π +2𝑘π，𝑘∈𝑍，求证：
1−sin𝑥
1 + sin𝑥=
sin𝑥−1
cos𝑥
3.求证：
(1)sin2𝛼+ 2cos2𝛼+ 1
cos2𝛼−sin2𝛼
= 3 + 2tan2𝛼
1−tan2𝛼；
(2)已知tan𝛼=
1
3，求证：sin2𝛼+ sin𝛼cos𝛼=
2
5.
模块三：综合巩固
1.若𝜃∈(0,
π
2)，sin𝜃−cos𝜃=
5
5 ，则tan𝜃= （ ）
A．
1
2
B．2
C．
1
3
D．3
2.函数
2
2
4
25
sin
cos
f x
x
x
的最小值为
，此时
2
tan x
．
3.已知
5
sin
5
，
π
0
2
，则cos （ ）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
2 5
5
D．2 5
5
4.已知
1
cos
2
，其中
,0
2
，sin的值为（ ）
A．－
3
2
B．－
1
2
C．
3
2
D．
1
2
5.当x 为第二象限角时，
| co
sin
|
os
si
s
c
n
x
x
x
x
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．－2
6.已知
3
tan
2
，则sin
cos
sin
cos
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．（多选）已知
0,π
，且
1
sin
cos
5
，则（ ）
A．2
B．
12
sin
cos
25
C．
7
cos
sin
5
D．
7
cos
sin
5
8.若
0,π
，
2
2sin
cos
5
，则tan（ ）
A．
3
5
-
B．
4
5
C．
3
4
D．
1
4
9.已知
(0,π)
，且
2
3 1
2sin
8cos
5
，则sin（ ）
A．
5
3
B．2
3
C．1
3
D．
5
9
10.若
1 cos
1 cos
2
1 cos
1 cos
sin
，则α 不可能是（ ）
A．
5π
11
B．10π
11
C．5π
11
D．20π
11
11.已知
3 5
sin
cos
5
，则
1
tan
tan
（ ）
A．
2
5
B．5
2
C．
4
5
D．5
4
12.若角A 是三角形ABC 的一个内角，且
1
sin
cos
3
A
A
，则sin
cos
A
A
.
13.已知
1 π
sin
cos
π
5 2
，求tan.
14.求证：
(1)sin4𝛼−cos4𝛼= sin2𝛼−cos2𝛼；
(2)sin4𝑥+ sin2𝑥cos2𝑥+ cos2𝑥= 1；
(3)
cos𝛼
1 + sin𝛼−
sin𝛼
1 + cos𝛼=
2(cos𝛼−sin𝛼)
1 + sin𝛼+ cos𝛼．
15.（1）已知角θ 的终边上有一点
(
)
,3
0
P x
x
，且
10
cos
10 x
，求sin
tan
的值．
（2）已知角θ 是三角形的内角，
1
sin
cos
5
，求sin
cos
的值．
16.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径
为1）交于点P .过点P 作圆O 的切线，分别交x 轴、y 轴于点
1
0,0
P x
与
2
0
0,
P
y
.
(1)若
6
，求P 的坐标
(2)若
1
2
OPP
的面积为2，求tan的值；
(3)求
2
2
0
0
9
x
y
的最小值.
5.4 诱导公式
模块一：基础知识
考点一：诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
考点二：诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π 的角求值
公式二
将0～2π 的角转化为0~π 的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将
𝜋
2～π 的角转化为0～
𝜋
2的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
考点三：一组重要公式
(1)
(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2)
(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)
(n∈Z).
(4)
(n∈Z).
模块二：题型分类
题型一：给角求值问题
1.cos5555° = （ ）
A．cos65°
B．sin65°
C．−cos65°
D．−sin65°
2.求值：
(1)sin150；
(2) tan1020；
(3)
3π
sin(
)
4
；
(4)
sin
750
.
3.利用公式求下列三角函数值：
(1)cos225：(2)
8π
sin 3 ；(3)
16π
sin
3
；(4)
tan
2040
.
4. tan420
tan510
．
5.求下列各三角函数值：
(1)
π
sin
6
；(2)
2π
cos 3 ；(3)
5
tan 4
；(4)
35π
cos 6 ．
6.求值：
(1)
7π
sin 6 ；(2)
11π
cos 4 ；(3)
tan
1560
.
题型二：给值(式)求值问题
1.若cos π
4 + 𝛼=
1
3，则sin π
4 −𝛼= （ ）
A．2 2
3
B．−2 2
3
C．
1
3
D．−
1
3
2.已知sin 𝜃+ π
6 =
1
2，则cos 𝜃+ 2π
3
= （ ）
A．−3
2
B．3
2
C．
1
2
D．−
1
2
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与射线
2
y
x
（
0
x
）重合，则
3
sin
2
.
4.若
π
3
(
,π),cos(π
)
2
5
，则tan
.
5.已知
π ,π
2
，
3
sin
5
，则
cos π
.
6. 已知
1
sin
,tan
0
3
x
x
，则
π
sin 2
x
．
题型三：三角函数的化简求值问题
1.化简：
(1) 1−2sin(3−π)cos(3−π)；
(2)
1−2sin190°cos190°
cos170° +
1−cos2170°．
2.已知𝑓(𝑎) =
sin(2π−𝑎)cos π
2 −𝑎
cos 𝑎−3π
2 tan(π + 𝑎)．
(1)若𝑓(𝑎) = −
1
2，且𝑎∈(0,π)，求a 的值；
(2)若𝑓𝑎+ π
3 =
1
4，求sin2 2π
3 −𝑎+ sin π
6 −𝑎的值．
3.已知在平面直角坐标系中，点
2,4
M
在角终边上，则
3
3
3
3
sin
π
cos
sin
2cos
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．
3
5
-
D．
5
3
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与半径为1的圆相交于点
A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点B ，
2
3
OB
．
(1)求sin的值；
(2)求
2sin π
sin π
cos 2π
的值．
5.已知
3π
7π
cos
sin
2
2
sin
π
f
.
(1)若
1
3
f
，求tan的值；
(2)若
π
1
6
3
f
，求
5π
6
f
的值.
6.已知是第三象限角，且
2
tan
2tan
3
0
，则
4sin(π
)
π
cos
cos(
)
2
．
7.化简：
sin π
tan 2π
cos 2π
tan π
cos π
sin π
．
8.已知
2 5
sin
5
，
π ,π
2
，求
5π
sin
2
tan
π
5π
cos
2
的值.
9.（1）已知方程
sin
3π
2cos
4π
，求
sin π
5cos 2π
3π
2sin
sin
2
的值．
（2）已知
π
1
0,sin
cos
2
5
x
x
x
，求sin
cos
x
x
的值；
题型四：利用诱导公式证明三角恒等式
1.求证：
sin(2𝜋−𝛼)cos(𝜋+ 𝛼)cos 𝜋
2 + 𝛼cos 11𝜋
2 −𝛼
cos(𝜋−𝛼)sin(3𝜋−𝛼)sin(−𝜋−𝛼)sin 9𝜋
2 + 𝛼= −tan𝛼．
2.求证：
2
3
2sin(
)cos(
) 1
2
2
1 2sin (
)
＝tan(9
) 1
tan(
) 1
．
3.设
8
tan
7
m
.求证：
15
13
sin
3cos
3
7
7
20
22
1
sin
cos
7
7
m
m
.
4.若k Z ，求证：
sin( π
)cos( π
)
1
sin[(
1)π
]cos[(
1)π
]
k
k
k
k
.
题型五：诱导公式在三角形中的应用
1.已知A、B、C 是△𝐴𝐵𝐶的三个内角，求证；
（1）cos(2𝐴+ 𝐵+ 𝐶) + cos𝐴= 0；
（2）tan
𝐴+ 𝐵
4
+ tan
3π + 𝐶
4
= 0.
2. ABC
中，若sin
sin
2
2
A
B
C
，则ABC
形状为
．
3.已知角A 为锐角，
1
sin
cos
tan
2
A
A
A
，
(1)求角A 的大小；
(2)求
2023π
sin π
cos
2
A
A
的值．
4.若ABC
的内角A，B，C 满足sin
cos
tan
A
B
C
， 则A 与B 的关系为（ ）
A．
π
2
A
B
B．
π
2
A
B
C．
π
2
B
A
D．
π
3
A
B
题型六：诱导公式与同角函数基本关系的应用
1.已知
π
sin
cos π
sin
2
3π
sin
cos 2π
tan π
2
f
.
(1)化简
f ；
(2)若
10
10
f
，且为第四象限角，求
2
2sin
3sin cos
的值.
2.已知tan
2
=- ，则
sin
5cos 2π
3π
3sin
sin
2
．
3.已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数
4
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）
的定点M.
(1)求sin
2cos
的值；
(2)求
π
sin π
cos 2
tan 5π
cos 2π
sin
的值.
4.给出下列三个条件：①角的终边经过点
(3 , 4 )(
0)
P
m
m m
；②sin
cos
1
sin
cos
7
；
③
2
3cos
4sin cos
3(
π,
Z)
k
k
．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)若为第四象限角，求sin
2cos
的值；
(2)求
2
2
sin(π
)
π
sin (π
)cos(
)
sin(2π
)sin
2
的值．
5.（1）求
29
12
sin
π
cos
π tan4π
6
5
的值.
（2）求证：
2
2
2
2
1
tan
cos
sin
1
tan
.
模块三：综合巩固
1.已知的终边上有一点
(1,3)
P
，则cos(π
)
的值为（ ）
A．1
3
B．10
10
C．
10
10
D．
3 10
10
2. tan300（ ）
A．
3
3
B．
3
3
C．
3
D．
3
3.已知
3π
1
sin
8
3
，则
π
cos 8
（ ）
A．
1
3
B．1
3
C．
3
3
D．
3
3
4.在平面直角坐标系xOy 中，角和角的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的
终边关于直线y
x
对称，若
2
cos
3
，则sin （ ）
A．
5
3
B．
2
3
C．2
3
D．
5
3
5.已知
π
2
sin 6
3
，则
5π
sin
6
（ ）
A．2
3
B．
2
3
C．
5
3
D．
5
3
6.已知函数
( )
sin(
)
cos(
)
4
f x
a
x
b
x
，xR ，且
(2023)
3
f
，则
(2024)
f
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7.已知函数
2
2
x
f x
a
（
0
a
且
1
a ）的图像过定点P ，且角的始边与x 轴的正半轴重合，终边过
点P ，则
2
11π
9π
cos
sin
2
2
sin
π
等于（ ）
A．
2
3
B．2
3
C．3
2
D．
3
2
8.已知
π
3
sin 6
3
，且
π π
,
4 4
，则
π
sin 3
（ ）
A．
3
3
B．
3
3
C．
2
3
D．
6
3
9.已知tan
2
，则
3π
sin
sin
2
.
10.已知
3π
sin π
cos 2π
cos
2
π
cos
sin
π
2
f
.
(1)化简
f ；
(2)若是第三象限角，且
1
sin
π
5
，求
f 的值.
11.求证：2sin(𝜃−3𝜋
2 )cos(𝜃+ 𝜋
2 )−1
1−2sin2𝜃
=
tan(9𝜋+ 𝜃) + 1
tan(𝜋+ 𝜃)−1 .
12.（多选）已知锐角三角形ABC 中，设
tan
tan
a
A
B
，
( )
loga
f x
x
则下列判断正确的是（ ）
A．sin
cos
A
B
B．
1
a
C．sin
sin
2
cos
cos
A
B
B
A
D．
(cos
)
(sin
)
f
A
f
B
13．（多选）以下各式化简结果正确的是（ ）
A．sin
cos
cos
tan
1
B．1
2sin 20 cos20
cos20
sin 20
C．
sin
36
cos54
0
D．sin
cos
sin cos
2
2
14．（多选）已知角的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，它的终边过点
3 4
,
5 5
P
，角
的终边与角的终边关于y 轴对称，将OP 绕原点逆时针旋转π
2 后与角的终边重合，则（ ）
A．
4
sin
5
=
B．
π
C．cos
cos
0
D．sin
cos
0
15.已知函数
π
3π
sin
+
cos
-
tan π-
2
2
tan π+
sin 2π-
f
.
(1)化简
f
(2)若
3π
3
2
8
f
f
，且
π
3π
4
2
，求
3π
2
f
f
的值.
16.设𝑎= cos 3
5 π ，𝑏= sin −9
5 π ，𝑐= tan −3
4 π ，则（ ）
A．𝑎> 𝑏> 𝑐
B．𝑏> 𝑐> 𝑎
C．𝑐> 𝑏> 𝑎
D．𝑐> 𝑎> 𝑏
17.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−2 +2（𝑎> 0且𝑎≠1）的图像过定点𝑃，且角𝛼的始边与𝑥轴的正半轴重合，终边过点
𝑃，则cos 11π
2 −𝛼sin 9π
2 + 𝛼
sin2(−π−𝛼)
等于（ ）
A．−
2
3
B．
2
3
C．
3
2
D．−
3
2
18.如图，在平面直角坐标系内，角𝛼的始边与𝑥轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点𝑃1
3
5 , 4
5 ，若线段𝑂
𝑃𝑛−1绕点𝑂逆时针旋转
π
4得𝑂𝑃𝑛（𝑛≥2，𝑛∈N），则点𝑃2023的纵坐标为（ ）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
19.已知角𝐴、𝐵、𝐶为△𝐴𝐵𝐶的三个内角，若sin 𝐴+ 𝐵−𝐶
2
= sin 𝐴−𝐵+ 𝐶
2
，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
20.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，点𝑀是斜边𝐴𝐵的中点，点𝑁在边𝐵𝐶上，且𝑀𝑁⊥𝐴𝐵，𝑀𝑁=
3，𝐶𝑁= 1，则sin
𝐴= （ ）
A．
2
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
7
3
21.在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点
,
P m n .
(1)若
12
13
n
，求tan及
2sin π
cos
π
cos
2cos
2
的值；
(2)若
1
sin
cos
5
，求点P 的坐标.
22.（1）已知
1
1
sin
sina
且
lg cos有意义，若角的终边与单位圆相交于点
3,
5
M
m
，求m 的值及
sina 的值；
（2）是否存在角
π π
,
,
0,π
2 2
，使等式
π
sin 3π
2 cos 2
3 cos
2 cos π
同时成立.若存在，求出,
的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角x ，有
2
2
sin
cos
1
x
x
成立）
5.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：正弦函数的图象
正弦函数
sin
y
x
, x
R
的图象叫做正弦曲线.
考点二：正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转
0x 弧度至点B ,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标
0
0
sin
y
x
.由此,以
0x 为横坐标,
0y 为纵坐标画点,即得到函数图象上的点
0
0
(
,sin
)
T x
x
.
②将函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象不断向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象上,以下五个点:
(0,0) ，(
,1)
2
，( ,0)
，3
(
, 1)
2
，(2 ,0)
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数
sin
y
x
,
[0,2 ]
x
的图象形状就基本确定了.因此,在
精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
考点三：余弦函数的图象
余弦函数
cos
y
x
, x
R
的图象叫做余弦曲线.
考点四：余弦函数图象的画法
(1)要得到
cos
y
x
, x
R
的图象,只需把
sin
y
x
, x
R
的图象向左平移2
个单位长度即可,这是因为
cos
sin(
)
2
x
x
.
(2)用“五点法”:画余弦函数
cos
y
x
在
[0,2 ]
x
上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1) ，(
,0)
2
，
( , 1)
，3
(
,0)
2
，(2 ,1)
再用光滑的曲线连接起来.
考点五：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
( )
sin
f x
x
( )
cos
g x
x
图象
定义域
定义域
R
R
值域
[ 1,1]
[ 1,1]
周期性
2
T
2
T
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在每一个闭区间[2
,2
]
2
2
k
k
(k
Z
)上
都单调递增;在每一个闭区间
3
[2
,2
]
2
2
k
k
(k
Z
上都单调递减
在每一个闭区间[2
,2
]
k
k
(k
Z
)上都单调递增;在每一个闭区
间[2
,2
]
k
k
(k
Z
)上都单调递
减
最值
当
2
2
x
k
(k
Z
)时，
max
1
y
;
当
2
2
x
k
(k
Z
)时，
min
1
y
;
当
2
x
k
(k
Z
)时，
max
1
y
;
当
2
x
k
(k
Z
)时，
min
1
y
;
图象的对称
性
对称中心为(
,0)
k
(k
Z
),
对称轴为直线
2
x
k
(k
Z
)
对称中心为(
,0)
2
k
(k
Z
),
对称轴为直线x
k
(k
Z
)
考点六：函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地,设函数
( )
f x 的定义域为D ,如果存在一个非零常数T ,使得对每一个x
D
,都有x
T
D
,且
(
)
( )
f x
T
f x
,那么函数
( )
f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
( )
f x 的最小正周期.
考点七：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
奇偶性
( )
sin
f x
x
奇函数
( )
cos
f x
x
偶函数
( )
sin(
)
f x
A
x
当
x
k
时，
( )
sin(
)
f x
A
x
为奇函数；
当
2
x
k
时，
( )
sin(
)
f x
A
x
为偶函数；
( )
cos(
)
f x
A
x
当
2
x
k
时，
( )
cos(
)
f x
A
x
为奇函数；
当
x
k
时，
( )
cos(
)
f x
A
x
为偶函数；
考点八：正弦、余弦型函数的常用周期
函数
最小正周期
( )
sin(
)
f x
A
x
b
或( )
cos(
)
g x
A
x
b
（b
R
）
2
|
|
T
( ) |
sin(
) |
f x
A
x
或( ) |
cos(
) |
g x
A
x
|
|
T
( ) |
sin(
)
|
f x
A
x
b
或( ) |
cos(
)
|
g x
A
x
b
（
0
b
）
2
|
|
T
( )
sin |
|
f x
x
无周期
( )
cos |
|
g x
x
2
T
模块二：题型分类
题型一：用“五点法”作三角函数的图象
1.用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
π
2sin 2
6
f x
x
在
0,π 上的大致图像.
2.（1）作出函数
2sin (0
2π)
y
x
x
的简图；
（2）作出函数
1 cos (0
2π)
y
x
x
的简图．
3.用五点法画出函数
1
2sin 2
3
π
y
x
一个周期的图象.
4.已知函数
π
2sin 2
4
f x
x
，xR ．在用“五点法”作函数
f x 的图象时，列表如下：
π
2
4
x
x
f x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数
y
f x
在区间
0,π 上的图象；
题型二：利用图象解三角不等式
1.不等式
2
sin
,
(0,2 )
2
x
x
的解集为（ ）
A．
,
6 2
B．
3
,
4
4
C．
4
2
3
,
D．
,
6 4
2.不等式
π
1
sin 2
3
2
x
的解集为
．
3.不等式
1
si n
,
2
x
[0,2 ]
x
Î
的解集是（ ）
A．7
11
,
6
6
（
）
B．4
5
,
3
3
C．5
7
,
6
6
（
）
D．2
5
,
3
3
（
）
4.在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x 的取值范围是（ ）
A．
π 3π
,
4
4
B．π π
5π 3π
,
,
4 2
4
2
C．π π
,
4 2
D．5π 7π
,
4
2
题型三：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题
1.函数
sin
10
x
f x
x
的零点个数为
．
2.函数
3sin
f x
x
x
的零点个数为
.
3.已知函数
π
( )
5cos(
)(
0)
6
f x
x
在
2 2
,
上恰有2 个零点，则的取值范围为
．
4.已知函数
π
( )
cos 2
0
3
f x
x
在区间(0,2π) 上有且仅有10 个零点，则ω 的取值范围是
.
5.方程
1
sin π
4
x
x
的解的个数是
．
6.已知函数
π
( )
4cos 2
3
6
f x
x
，则
( )
f x 在
π 5π
,
12
6
上的零点个数为
．
7.已知函数
π
sin
(
0)
6
f x
x
），若方程
2
[
]
1
f x
在
0,3π 上恰有5 个实数解，则实数的取
值范围为 ．
8.已知函数
2
sin π ,
0,2
( )
log (
2) ,
(2,
)
x x
f x
x
x
，若存在实数k 满足
f a
f b
( ,
,
f c
f d
k a b c d
,
互不
相等) ，则
a
b
c
d 的取值范围是
.
题型四：三角函数的周期问题及简单应用
1.下列函数，最小正周期为2π的是（ ）
A．
sin 2
x
y
B．
sin2
y
x
C．
sin 2
x
y
D．
sin2
y
x
2.（多选）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π 的函数是（ ）
A．
sin2
y
x
B．
sin
y
x
C．
3π
cos 2
2
y
x
D．
π
sin 2
2
y
x
3.求下列函数的最小正周期．
(1)
π
sin 3
3
y
x
；
(2)
π
cos 2
6
y
x
.
4.下列函数中，最小正周期为π 的函数是（ ）
A．
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
cos
y
x
D．
sin
y
x
题型五：三角函数的奇偶性及其应用
1.（多选）已知函数
sin
0
f x
x
为偶函数，则的取值可以为（ ）
A．π
2
B．π
C．
3π
2
D．2023π
2
2.已知函数
2
π
cos 2
3
f x
x
x
，
0,π
是奇函数，则的值为
．
3.已知函数
cos
f x
x
，则
2
是
f x 为奇函数的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4.若函数
π
sin
e
e
6
x
x
f x
x
m
为偶函数，则m 的最小正值为
.
5.使函数
3sin 2
cos 2
f x
x
x
为奇函数，则的一个值可以是（
）
A．π
3
B．π
6
C．
π
3
D．
π
6
题型六：函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题
1.写出一个同时满足下列三个条件的函数
f x 的解析式
.
①
1
1
f
x
f
x
；②
3
3
2
2
f
x
f
x
；③
f x 在
0,1 上单调递增.
2.已知
*
sin
,0
π
f x
x
N
是R 上的奇函数，且
f x 在区间
π
π
,
22 11
上是单调函数，则
的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3.已知
π
cos
0,
2
f x
x
，且
y
f x
的最小正周期为2.若存在
0
m
，使得对于任意xR ，
都有
f x
m
mf
x
，则为（ ）
A．
π
4
B．π
4
C．
π
3
D．π
3
4.已知
sin
0,0
f x
x
是R 上的奇函数，若
f x 的图象关于直线
4
x
对称，且
f x
在区间
,
22 11
内是单调函数，则
6
f
（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
5.某函数
( )
f x 满足以下三个条件：
①( )
( ) 1
g x
f x
是偶函数；②(2
)
( )
0
g
x
g x
；③
( )
f x 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数
( )
f x 的解析式
．
题型七：求三角函数的单调区间
1.用“五点法”作出函数
π
2sin
3
3
y
x
的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.
2.已知函数
π
2cos
3
4
f x
x
，
,
2 2
π π
x
，则
f x 的单调递增区间是（ ）
A．
π ,0
2
B．
π
π
,
4 12
C．
π
π
,
2
4
，
5π
,
12 12
π
D．
π
π
,
4 12
，5π π
,
12 2
3.函数
2sin 2
,
[
,0]
6
y
x
x
单调减区间为
4.已知函数
π
sin 2
3
f x
x
，则
f x 在
π
0, 2
上的单调递增区间为（ ）
A．
π
0, 2
B．
5π
0, 12
C．5π π
,
12 2
D．π π
,
3 2
题型八：利用单调性比较三角函数值的大小
1.比较下列各组数的大小.
(1)
15π
cos 8 与
14π
cos 9 ；
(2)cos 1 与sin 2.
2.不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）sin250与sin 260° ；
（2）
15π
cos 8 与
14π
cos 9 .
3.已知
6π
sin 7
a
，
4π
sin 7
b
，
2π
sin 7
c
，则（ ）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．b
c
a
4.下列各式中正确的是（ ）
A．
3π
π
sin
sin
5
5
B．cos2
cos3
C．
17π
23π
cos
cos
4
5
D．
π
π
sin
sin
18
10
5.令
π
sin
10
a
，
π
sin
18
b
，判断a 与b 的大小关系是（ ）
A．a
b
B．a
b
C．a
b
D．无法判断
6.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
sin
1
，
sin
1.1
；
(2)
11π
cos 7 ，
12π
cos 7 ．
题型九：已知三角函数的单调情况求参数问题
1.已知函数
π
( )
cos
(
0)
3
f x
x
在区间π 3
,
π
4 4
上单调递减，则实数的取值范围为
.
2.已知函数
π
sin
3
f x
x
在
π
x
时有最大值，且
f x 在区间
π
0,18
上单调递增，则的最大值是
（ ）
A．11
6
B．1
6
C．13
6
D．19
6
3.已知函数
π
( )
sin(
)
3
f x
x
，对于
R
x
，
π
f x
f
，且
f x 在区
π
0 18
，
上单调递增，则的最大
值是（ ）
A．11
6
B．1
6
C．13
6
D．19
6
4.已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
的周期为T ，且满足
2π
T
，若函数
f x 在区间
,
6 4
不单调，则
的取值范围是（ ）
A．3 ,1
4
B．
1 ,1
2
C．2 ,1
3
D．4 ,1
5
5.若函数
2cos
y
x
在区间
2π
0, 3
单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1
B．
1
2
C．2
D．1
3
6.（多选）已知
0
，函数
π
( )
2sin
6
f x
x
在π 5π
2
6
，
上单调递减，则实数的取值可以是（ ）
A．1
B．4
3
C．5
3
D．2
题型十：三角函数的对称性
1.设函数
π
cos
,(
0)
4
f x
x
的最小正周期为π
5 ，则它的一条对称轴方程为（
）
A．
π
8
x
B．
π
8
x
C．
π
12
x
D．
π
12
x
2.已知函数
π
π
( )
sin(
)
2
2
f x
x
在3π 7π
,
8
8
内单调递减，
3π
8
x
是函数
( )
f x 的一条对称轴，且
函数
π
8
y
f
x
为奇函数，则
7π
24
f
（ ）
A．
3
2
B．1
C．
1
2
D．
3
2
3.已知函数
π
3sin
0,
2
f x
x
的最小正周期为π ，其图象关于直线
π
3
x
对称，则
π
4
f
.
4.设函数
π
sin
3
f x
x
，若
f x 的图象关于点π ,0
6
对称，则的值可以是
．（写出一个满足
条件的值即可）
5.函数
π
5sin(
)
4
y
x
的一条对称轴为（ ）
A．
3π
4
x
B．
π
2
x
C．
π
3
x
D．
5π
4
x
6.知常数
R
，如果函数
cos 2
y
x
的图像关于点4π ,0
3
中心对称，那么的最小值为（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．π
2
题型十一：利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值
1.已知函数
π
2sin 2
6
f x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期；
(2)求函数
f x 的单调递增区间.
(3)求函数
f x 在
π
0, 2
上的最大值.
2.函数
2cos(2
),
[
,
]
6
6 4
y
x
x
的值域为
．
3.已知函数
π
2sin 4
6
x
x
f
．
(1)求
f x 的单调区间；
(2)求
f x 在
π
0, 3
上的值域．
4.已知函数
π
3cos 2
4
f x
x
.
(1)求函数
f x 的对称中心和单调递减区间；
(2)若
π 3π
,
4
4
x
，求函数
f x 的值域.
题型十二：换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）
1.函数
2
sin
3cos
2
y
x
x
的最大值为（ ）
A．5
B．21
4
C．1
D．1
2.求函数
2
cos
2 sin
3
y
x
a
x
，
R
a
的最大值．
3.已知函数
2
sin
sin
f
x
a
x
a
x
a
b
（,
a b
R
）的定义域为
5π π
,
6
2
，且函数
f x 的最大值为3，
最小值为1，求a，b 的值．
4.已知
π 2π
,
3
3
x
，求函数
2
3(1
cos
)
4cos
4
y
x
x
的值域．
题型十三：分式型求值域或最大(小)值
1.函数
cos
3
cos
1
x
y
x
的定义域是
，值域是
．
2.求函数
2
cos
2
cos
x
y
x
的值域．
3.函数
2
cos
( )
2
cos
x
f x
x
的值域为
.
模块三：综合巩固
1.函数
cos
0
y
x x
的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（ ）
A．π ,1
2
B．
π,1
C．
0,1
D．
2π,1
2．用“五点法”作
2cos2
y
x
的图象，首先描出的五个点的横坐标是（
）
A．
π
3π
0,
,π,
,2π
2
2
B．
π π 3π
0,
,
,
,π
4 2
4
C．0,π,2π,3π,4π
D．
π π π 2π
0,
,
,
,
6 3 2
3
3.函数
cos
y
x
的一个单调减区间是（ ）
A．
π π
,
4 4
B．
π 3π
,
4
4
C．
3π
π, 2
D．
3π ,2π
2
4.函数
2
cos
3cos
2
y
x
x
的最小值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．6
5.函数
5π
sin(
2 )
2
y
x
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．以上都不对
6.用五点法分别画下列函数在[
, ]
上的图象:
(1)
sin
y
x
;
(2)
2
cos
y
x
.
7.不等式
1
cos
π,π
2
x
x
的解集为
.
8.已知关于x 的方程
π
2sin 2
0
6
x
m
在π ,π
2
上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是
．
9.已知函数
π
2sin 2
6
f x
x
，令
3
2
g x
f x
在区间
π
0, 2
上恰有2 个零点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，则
1
2
x
x
，
1
2
cos x
x
.
10.（多选）下列函数中，是周期函数的是（ ）
A．
cos
y
x
B．
cos
y
x
C．
sin
y
x
D．
sin
y
x
11.求下列函数的最小正周期．
(1)
1
π
cos 2
2
3
f x
x
；
(2)
( ) | sin
|
f x
x
．
12.（多选）若函数
π
3sin 2
6
f x
x
是偶函数，则的值不可能为（ ）
A．π
6
B．π
2
C．2π
3
D．5π
6
13.设函数
2
2
1
sin
1
x
x
f x
x
的最大值为a ，最小值为b ，则a
b
.
14.若函数
π
cos 2
0
6
f x
x
为奇函数，则的最小值为
.
15.已知函数
( )
2cos(
)
(
0)
f x
x
b
满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，且
π
(0)
7,
5
8
f
f
，则b （ ）
A．3
B．3 或7
C．5
D．7
16.（多选）已知定义域为R 的函数
f x 满足
1
1
0
f
x
f
x
，函数
sin
0
g x
f x
x
，若
函数
1
y
g x
为奇函数，则的值可以为（ ）
A．4
B．2
C．
D．3
2
17.y＝cos
π
2
3
x
的单调递减区间为
.
18.求函数
π
cos
2
4
y
x
的单调递增区间．
19.比较下列各组数的大小：
(1)
10π
sin 17 与
11π
sin 17 ；
(2)
5π
cos 3 与
14π
cos 9 ；
(3)sin(cos
)
与
π
cos(sin
) 0
2
．
20.已知函数
π
( )
sin
(
0)
6
f x
x
的图象关于直线
π
3
x
对称，且
( )
f x 在区间π 7π
,
3 12
内单调，则的最
大值为
．
21.已知函数
( )
2cos(
)
(
0)
f x
x
b
满足
π
π
8
8
f
x
f
x
，且
π
(0)
7,
5
8
f
f
，则b （ ）
A．3
B．3 或7
C．5
D．7
22.已知函数
( )
2cos(3
)
f x
x
的图象关于点4π ,0
3
对称，那么的最小值为
．
23.函数y=2cos(2x+ 6
)，x[- 6
，4
]的值域是 （ ）
A．
1,2
B．[-1, 3]
C．
1
3
[-
,
]
2
2
D．
1
[-
,1]
2
24.已知函数
π
3
( )
sin 2
3
2
f x
x
.
(1)求
( )
f x 的最小正周期；
(2)当
7π
0, 12
x
时，求
( )
f x 的最小值和最大值.
25.函数
2
3cos
4cos
1
y
x
x
，(
)
xR 的值域为
．
26.函数
2
2
sin
cos
y
x
x
的最小值是
．
27.函数
sin cos
( )
1 sin
cos
x
x
f x
x
x 的值域为
．
5.6 正切函数的图象与性质
模块一：基础知识
考点一：正切函数的性质与图象
定义域
周期性
由诱导公式
可知，正切函数是周期
函数，周期是π.
奇偶性
由诱导公式
可知，正切函数是奇
函数.
图象
单调性
正切函数在每一个区间
上都单调递增
值域
正切函数的值域是实数集R
对称中心
考点二：三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-
,-1),(0,0),(
,1);“两线”是指直线x=-
和x=
.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区
间(-
,
)上的简图.
模块二：题型分类
题型一：正切函数的定义域
1.函数
( )
3tan(4
)
2
π
1
f x
x
的定义域为
.
2.函数
π
1
tan
4
y
x
的定义域为
．
3.函数
sin
cos
tan
x
x
y
x
的定义域为
．
4.函数
π
π
tan 6
3
y
x
的定义域是
．
题型二：正切函数的值域
1.函数
tan
,
,
6 3
6
y
x
x
的值域为
.
2.函数
2
tan
4tan
1
y
x
x
的值域为
3.函数
π
tan
6
y
x
，
π 5π
,
6 12
x
的值域为（ ）
A．
3,1
B．
3
1, 3
C．
1, 3
D．
3 ,1
3
4.函数
2
2tan
5tan
2
f x
x
x
，
,
4 4
x
的值域为
．
5.函数
2
tan
tan
2,
,
4 4
y
x
x
x
的值域为
.
6.函数
π
π
1
3 tan
4
3
y
x
x
的值域为
．
题型三：求正切函数的单调区间
1.函数
tan
3
6
y
x
的单调区间是（ ）
A．
π
π
π
, π
(
)
3
3
k
k
k
Z
B．
2
,
(
)
9
9
k
k
k
Z
C．
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z
D．
2
,
(
)
3
9
3
9
k
k
k
Z
2.
π
3tan 6
4
x
y
的单调递减区间为
.
3.若函数
tan(
)
y
x
在
,
4 4
上为严格减函数，则实数的取值范围是
．
4.函数
π
tan
3
4
y
x
的单调递减区间为
．
题型四：正切函数单调性的应用
1.已知函数
tan
y
x
在
,
2 2
内是减函数，则的取值范围为（ ）
A．
2,0
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
2.已知函数
π
( )
tan(
)(
0)
3
f x
A
x
，若f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．
1
0 6
，
B．1 7
( , )
3 6
C．
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
D．
1
1 7
(0, )
( , )
6
3 6
3.已知函数
tan
y
x
在
,
2 2
上是严格减函数，则实数的取值范围是
．
4.若函数
tan
f x
x
在区间
π
π
,
3
2
a
a
上是增函数，则实数a 的取值范围是
．
题型五：正切函数图象的对称性
1.函数
1
π
( )
3tan 2
3
f x
x
的图象的对称中心为
.
2.函数
π
tan 2
7
f x
x
图象的对称中心可能是( )
A．π ,0
7
B．
π ,0
7
C．
π ,0
14
D．
π ,0
14
3.以点
π ,0 (
)
2
k
k
Z 为对称中心的函数是（ ）．
A．
sin
y
x
B．
cos
y
x
C．
tan
y
x
D．
| tan
|
y
x
4.已知函数
sin
0,0
π
f x
x
的最小正周期为2 π
3
，其图像的一个对称中心的坐标为
π ,0
4
，则曲线
tan
g x
x
的对称中心坐标为（ ）
A．
π
π ,0
3
12
k
，k Z
B．
π
π ,0
6
12
k
，k Z
C．
π
π ,0
3
12
k
，k Z
D．
π
π ,0
6
12
k
，k Z
5.（多选）下列坐标所表示的点是函数
π
tan 2
6
y
x
的图像的对称中心的是（ ）
A．
π ,0
12
B．π ,0
6
C．
5π ,0
12
D．π ,0
3
6.（多选）已知函数
π
tan
4
f x
x
，则下列叙述中，正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
0
π
4 ,
对称
B．函数
f x 在
π π
,
4 4
上单调递增
C．函数
f x 的图象关于直线
π
2
x
对称
D．函数
y
f x
是偶函数
题型六：正切函数的周期性与奇偶性
1.函数
π
tan 5
3
x
y
的最小正周期为
．
2.函数
π
2tan 3
4
y
x
的最小正周期是（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．π
3.已知
( )
tan
sin
4
2
x
f x
a
b
x
（其中a
b
、为常数且
0
ab
），如果
3
5
f
，则
2010
(
)
3
f
的值为
（ ）
A．3
B．3
C．5
D．5
4.已知函数
5
tan
3
f x
x
x
，且
2
f
m
，则
f m （ ）
A．4
B．1
C．1
D．4
5.已知
2023sin
2024tan
1
f x
x
x
，
2
1
0
1
2
f
f
f
f
f
.
题型七：与正切（型）函数有关的值域（最值）问题
1.函数
2
tan
2tan ,
,
6 4
y
x
x x
的值域为
．
2.若函数
π
tan 2
3
y
x
k
，
π
0, 6
x
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为
.
3.函数
2
( )
tan
tan
2,
,
4 4
f x
x
x
x
的值域是
4.若函数
tan
4
y
x
在
,
3 3
上单调递减，且在
,
3 3
上的最大值为3 ，则
.
题型八：正切函数图象与性质的综合应用
1.画出函数
| tan
|
y
x
的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式| tan
| 1
x 的解集．
2.已知函数
π
tan
3
f x
x
，其中
0
.
(1)若
2
，求函数
f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若
f x 在闭区间
0,π 上是严格增函数，求正实数的取值范围.
3.设函数
π
tan 2
3
x
f x
(1)求函数
( )
f x 的定义域、最小正周期．
(2)求不等式1
( )
3
f x
的解集．
4.已知函数
π
( )
tan
3
f x
x
，
0
．
(1)若
2
，求
f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；
(2)若
f x 在
0,π 上是严格增函数，求的取值范围；
(3)若方程
3
f x
在
,a b 上至少存在2022 个根，且b－a 的最小值不小于2022，求的取值范围．
5.已知函数
3 tan
0
x
f x
．
（1）当
4
ω=
时，求
f x 的最小正周期及单调区间；
（2）若
3
f x 在
,
3 4
x
上恒成立，求的取值范围．
模块三：综合巩固
1.函数
π
tan 2
3
y
x
的定义域是（ ）
A．
5π
π ,
Z
12
2
k
x x
k
B．
5π
π,
Z
12
x x
k
k
C．
π
π ,
Z
3
2
k
x x
k
D．
π
π,
Z
3
x x
k
k
2.函数
π
tan 2
x
f x
的最小正周期是（ ）
A．2π
B．4π
C．2
D．4
3.函数
π
π
( )
tan 2
3
f x
x
的单调区间是（ ）
A．
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
B．
5
1
2 ,
2
(
Z)
3
3
k
k
k
C．
5
1
4 ,
4
(
Z)
3
3
k
k
k
D．
5
1
4 ,
4
(
Z)
3
3
k
k
k
4.下列各式中正确的是（ ）
A．tan1
tan 2
B．tan 735
tan800
C．
5π
4π
tan
tan
7
7
D．
9π
π
tan
tan
8
7
5.函数
tan
sin
tan
sin
f x
x
x
x
x
|在区间（π
2 ，3π
2 ）内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数
f x 对任意xR 都有
2
f
x
f
x
，且函数
1
f x
的图象关于
1,0
对称，当
1,1
x
时，
tan
f x
x .则下列结论正确的是（ ）
A．函数
y
f x
的图象关于点
,0
k
k Z 对称
B．函数
y
f x
的图象关于直线
2
x
k k
Z 对称
C．函数
y
f x
的最小正周期为2
D．当
2,3
x
时，
tan
2
f x
x
7.函数
π
tan
0,
2
f x
x
的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π ，则
2023π
3
f
（ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
8.函数
π
3 tan 2
6
f x
x
m
在
π ,
12 n
上的最大值为3 ，最小值为1
，则mn （ ）
A．π
6
B．π
3
C．
π
6
D．
π
3
9.（多选）已知函数
π
tan 2
6
f x
x
，则（ ）
A．
π
3
2
3
f
B．
f x 的最小正周期为π
C．把
f x 向左平移π
6 可以得到函数
tan 2
g x
x
D．
f x 在
π ,0
6
上单调递增
10.（多选）已知函数
π
π
tan 2
3
f x
x
，则下列描述中正确的是（ ）．
A．函数
f x 的图象关于点
1 ,0
3
成中心对称
B．函数
f x 的最小正周期为2
C．函数
f x 的单调增区间为
5
1
4 ,
4
3
3
k
k
，k Z
D．函数
f x 的图象没有对称轴
11.已知
π
tan
3
4
，请写出一个满足条件的角
．
12.
tan
sin
1
f x
x
x
，若
2
2
f
，则
2
f
．
13．画出函数
1
π
2tan 2
4
y
x
在
[0,2π]
x
上的简图．
14．已知函数
π
2tan
0
8
f x
x
的最小正周期为π
2 ，
(1)求
f x 图象的对称中心；
(2)求不等式
2
f x 在
5π 3π
,
16 16
上的解集．
15．已知
( )
tan 2
3
f x
x
.
（1）求
( )
f x 的最小正周期；
（2）若
(
)
f x
是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足|
|
2
的值.
5.7 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
模块一：基础知识
考点一：两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式
（1）cos(
)
cos
cos
sin
sin
（2）cos(
)
cos
cos
sin
sin
①简记符号:C
,C
. ②适用条件:公式中的角, 是任意角.
考点二：两角和与差的正弦公式
（1）sin(
)
sin
cos
cos
sin
（2）sin(
)
sin
cos
cos
sin
①简记符号: S
, S
. ②适用条件:公式中的角, 是任意角.
考点三：两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式
（1）
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
（2）
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
①简记符号: S
, S
.
②适用条件:公式中的角, ，
，
2
k
，k
Z
.
③变形结论：
tan
tan
tan(
)(1
tan
tan
)
tan
tan
tan(
)(1
tan
tan
)
考点四：三角恒等变换思想-角的代换、常值代换
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=( +
)-
；
②=
-(
- )；
③=
[( +
)+( -
)]；
④=
[( +
)-(
- )]；
⑤
=( -
)-(
-
)；
⑥- =( -
)+(
- ).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
考点五：辅助角公式
通过应用公式
[或
将形如
(a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
模块二：题型分类
题型一：两角和与差余弦公式
1.cos17 cos43
sin17 sin223
.
2.计算cos43 cos13
sin 43 sin13
的值（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．cos57
3.sin15 sin 45
cos15 cos45
．
4.sin 70 sin10
sin 20 cos10
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
题型二：已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦
1.已知锐角
，
，且满足
2
5
sin
cos
10
5
，
.
(1)求sin；
(2)求
.
2.已知
π
0
π
2
，
3
cos
5
，
12
sin
13
，则
cos
（ ）
A．
63
65
B．
33
65
C．33
65
D．63
65
3.已知,
都为锐角，
12
cos
13
，
4
cos
5
，则cos 等于（ ）
A．63
65
B．
63
65
C．33
65
D．
33
65
4.已知
2
3
sin
,cos
,
3
4
且,
都是第二象限角，则cos(
)
（ ）
A．
35
6
12
B．3 5
2 7
12
C．3 5
2 7
12
D．3 5
2 7
12
5.已知锐角
、
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，则
等于（ ）
A．3π
4
B．π
4 或3π
4
C．π
4
D．π
2
6.已知
4
sin
5
=
，
5
cos
13
，且角，分别位于第二、四象限，求
cos
和
cos
的值．
题型三：用和差角的余弦公式化简、求值
1.cos20 cos385
cos70 sin155
（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
2.化简求值：
(1) sin50
sin 20 cos30
cos20
；
(2)
sin
75
cos
45
3 cos
15
.
3.已知
π
3π
6cos
sin
2
2
8
2cos π
3sin 2π
，
π
0, 4
.
(1)求tan的值；
(2)若
π
0, 2
，且
π
5
cos 4
5
，求
的值.
4.求下列各式的值.
(1) sin 20
sin 40
cos20
cos40
；
(2)sin 20
sin 40
sin80
5.（1）求值：
cos
1020
sin
1050
tan945
.
（2）已知
1
cos
7
，
13
cos
14
，且
π
0
2
，求角cos 的值.
题型四：逆用和差角的余弦公式化简、求值
1.已知
π
3
cos
cos
3
3
，
π
0, 2
，则sin
.
2.
3
cos
cos
si
5
(
)
)
n
s n
(
i
，则cos （ ）
A．4
5
B．3
5
C．
4
5
D．
3
5
-
3.已知
π
sin
sin
1
3
，则
π
cos 3
．
4.已知是锐角，且
π
π
1
cos
cos
sin
sin
6
6
2
，则
．
题型五：15°或75°的余弦值应用
1.求75°，15°角的余弦值．
2.
5π
cos 12 的值为（ ）
A．
6
2
4
B．
2
2
C．
6
2
4
D．
3
2
4
3.求下列各式的值．
(1)cos75；(2)
7
cos 12
；(3)
cos
165
；(4)
61
cos(
)
12
4.（多选）下列各式正确的是（ ）
A．
2
1
π
2
cos
2
8
4
B．
3
2
12
12
π
π
cos
si n
C．
6
2
15
4
o
cos
D．
8π
3
sin 3
2
题型六：两角和与差正弦公式
1.求下列各式的值：
(1)sin20 cos40
cos20 sin40
；
(2)sin85 cos40
sin5 sin40
．
2.sin 74 cos14
sin16 sin14
=（ ）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
2
D．
3
2
3.sin160 cos40
sin 250 cos50
-
=
.
4.化简计算：sin 20 cos110
cos160 sin 70
.
题型七：已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦
1.若，
π
(0,
)
2
且
5
cos
13
，
3
sin
5
，则sin(
)
.
2.已知
π
0, 2
，
π
0, 2
，
5
cos
13
，
3
sin
5
，则sin
．
3.已知
1
sin
3
，
cos
1
，则
sin
2
的值（ ）
A．1
B．1
C．1
3
D．
1
3
4.已知sin
,
,co
2
π
3
3π
,π
π,
s
,
,
3
2
4
2
求
cos
，sin(
)
的值.
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值
1.已知为第二象限角，且
15
sin
4
，则
π
sin
4
的值为
.
2. sin20
2sin 40
cos20
．
3.sin 40 (tan10
3)
;
4.化简：
(1) sin(π
)
π
π
cos(
)sin(
)
cos(
π)
2
2
(2)
2(sin
cos )
x
x
题型九：逆用和差角的正弦公式化简、求值
1.cos45 sin75
sin45 cos75
的值为（ ）
A．
3
2
B．
3
2
C．
1
2
D．
1
2
2.
cos 70
sin 170
sin 70
cos 10
等于（ ）．
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
2
D．
1
2
3.
1
1
2tan 20
2cos10
（ ）
A．
2
B．
3
2
C．
3
D．2
4.已知
,
0,π
，
5
sin
6
，tan
1
tan
4
，则
（ ）
A．5π
6
B．7π
6
C．11π
6
D．7π
6 或11π
6
题型十：15°或75°的正弦值应用
1.求75°，15°角的正弦值．
2.计算
7π
sin
12
（ ）
A．
2
6
4
B．
2
6
4
C．
6
2
4
D．
2
6
4
3.sin105的值为（ ）
A．
3
2
2
B．
6
2
4
C．1
2
2
D．
6- 2
4
题型十一：两角和与差正切公式
1.利用两角和（差）的正切公式，求1
tan15
1
tan15
的值．
2.已知
12
tan
5
，分别求下列各式的值．
(1)
π
tan
4
；
(2)
π
tan
4
．
3.化简下列各式：
(1) tan 74
tan 76
1
tan 74 tan 76
；
(2)
3
tan15
1
3 tan15
．
4.已知角的终边上一点
4,3
A
，且
tan
2
，则
tan 3
（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．5
2
D．
5
2
题型十二：已知两角的正弦，余弦求和差角的正切
1.已知tan
tan
3
，
sin
2sin
sin
，则
tan
（ ）
A．4
B．6
C．
3
2
D．6
2.已知为锐角，
3
sin
5
，角的终边上有一点
2,1
P
，则
tan
（ ）
A．2
B．10
11
C．11
10
D．
11
12
3.若
1
tan
3
，
1
tan
2
，,
(0,π)
，则
（ ）
A．π
4
B．3π
4
C．5π
4
D．7π
4
4.已知
3
cos
5
，
π
(
,π)
2
，
12
sin
13
，是第三象限角，求sin(
)
，cos(
)
，tan(
)
的值.
5.已知，都是锐角．
(1)
4
sin
5
，
5
cos
13
，求sin 的值；
(2)
1
tan
7
，
10
sin
10
，求
tan
的值．
题型十三：15°或75°的正切值应用
1. tan555的值为
．
2.
23π
tan
12
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．3
1
D．2
3
题型十四：用和差角的正切公式化简、求值
1.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且
,
0,π
，则2
．
2.已知
3π
π, 2
，
3
sin
5
，则
π
tan
4
（ ）
A．1
B．3
4
C．1
7
D．7
3.已知角，满足tan
2
=- ，
tan
1
，则tan （ ）
A．
1
3
B．1
C．－3
D．3
4.已知角的终边经过1
3
,
2
2
，tan2
；
π
tan
4
.
5.求下列各式的值.
(1)
11π
tan 12 ；
(2) tan 75
tan15
1
tan 75 tan15
.
题型十五：逆用和差角的正切公式化简、求值
1. 3 tan10
3 tan 20
tan10 tan 20
（ ）
A．1
B．
3
C．3
D．2 3
2. tan35
tan80
tan35 tan80
（ ）
3. tan40
tan80
3tan80 tan40
（ ）
A．3
B．
3
3
C．
3
3
D．
3
4.若
3π
4
，则(1
tan
)(1
tan
)
的值为（ ）
A．
1
2
B．1
C．3
2
D．2
5.
π
4
（
π
,
π
2
k
，k Z ），则1
tan
tan
tan
tan
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
6.计算3tan80
3tan50
3tan80 tan50
的值为（ ）
A．
3
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
模块三：综合巩固
1.已知
π
2 < 𝜃<
3π
2 ，且cos 𝜃+ 2π
3
=
1
3，则sin𝜃的值为（ ）
A．2 2−3
6
B．2 6 + 1
6
C．1−2 6
6
D．
3 + 2 2
6
2.已知cos 𝛼+ π
12 =
3
5,𝛼∈0, π
2 ，则cos 𝛼+ π
3 = （ ）
A．3−4 3
10
B．
4
5
C．−2
10
D．7 2
10
3.已知角𝜃的终边过点𝑃(−3,−1).则sin(
π
4−𝜃) = （ ）
A．−2 5
5
B．2 5
5
C．−5
5
D．
5
5
4.已知角𝛼,𝛽∈(0,π)，且sin(𝛼+ 𝛽) + cos(𝛼−𝛽) = 0,sin𝛼sin𝛽−3cos𝛼cos𝛽= 0，则tan(𝛼+ 𝛽) = （ ）
A．−2
B．−
1
2
C．
1
2
D．2
5.求
2cos10∘
cos20∘−tan20∘的值为（ ）
A．3
B．−3
C．
3
3
D．−3
3
6.已知tan𝛼+ tan𝛽= −6,tan(𝛼+ 𝛽) = −1，则
sin(𝛼+ 𝛽)
cos(𝛼−𝛽) = （ ）
A．
1
3
B．3
C．
2
3
D．
3
2
7..若tan(𝛼−𝛽) = 2,tan𝛽= 4，则
7sin𝛼−cos𝛼
7sin𝛼+ cos𝛼= （ ）
A．−
7
5
B．
7
5
C．−
5
7
D．
5
7
8.已知cos 𝜋
4 + 𝜃=
4
5，
17𝜋
12 < 𝜃<
7𝜋
4 ，则
1−tan𝜃
2sin2𝜃+ sin2𝜃的值为（ ）
A．
100
21
B．−
100
21
C．
75
28
D．−
75
28
9.cos10 cos70
sin 70 sin10
（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
10.cos44 cos14
sin 44 sin14
的值为（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
11.
π
π
π
π
cos
sin
cos
sin
3
6
6
3
的值等于（ ）
A．
3
2
B．1
C．0
D．
1
2
12.已知
π
1
tan
tan 4
6
，则
π
tan
tan 4
（ ）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
13.已知
5
1
sin126
4
，则sin18（ ）
A．3
5
4
B．3
5
8
C．
5
1
8
D．
5
1
4
14.若
π
1
sin
3
3
，
π
0, 2
，则cos（ ）
A．
3
2 2
6
B．
3
2 2
6
C．2 2
3
6
D．
3
2 2
6
15.已知钝角a 满足
5
sin
5
，则
π
cos 4
（ ）
A．
10
4
B．
3 10
10
C．10
5
D．2 5
5
16.已知,
均是锐角，已知
4
sin
5
=
，
5
cos(
)
13
，则sin （
）
A．
56
65
B．56
65
C．
16
65
D．16
65
17.（多选）下列式子中值为
3 的为（ ）
A．
2023π
tan
3
B．sin15
cos15
C．1
tan15
1
tan15
D．tan103
tan43
3tan103 tan43
18.（多选）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一
个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，
则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为5
4
B．3sin
3cos
2
C．3sin
3sin
2
D．
5
cos
18
19.sin21 cos9
sin69 sin9
．
20.计算
1
tan15
3
tan 60 tan15
.
21.求下列各式的值:
(1)sin 72 cos18
cos72 sin18
;
(2)sin 20 cos110
cos160 sin70
.
22.计算：
(1)1
tan 75
1
tan 75
；
(2)已知tan
2,tan
1
，求tan(
)
.
23.已知
3
sin
5
，
5
cos
13
，且，均为第四象限角，求下列各式的值：
(1)
cos
；
(2)
cos
．
5.8 二倍角公式
模块一：基础知识
考点一：二倍角公式
函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcosα
S(α+β)
S2α
余弦
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α
考点二：二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①
：
，
，
.
②
：
.
③
：
.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；
.
模块二：题型分类
题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题
1.已知角的终边与单位圆交于点
3 4
,
5 5
P
，则sin 2
2.已知角的顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴，若其终边经过点
2, 5
P
，则
2
sin2
cos
1
.
3.已知函数
π
sin
sin π
2
f x
x
x
，则
5π
6
f
（ ）
A．
3
4
B．
3
4
C．
1
2
D．
3
2
4.已知角的终边过点
1, 2
，则tan2（ ）
A．
11
2
B．4
3
C．2
11
D．11
2
题型二：利用二倍角公式求角
1.已知
7 2
3
sin
,sin
10
5
，其中
π
π
0,
,
,0
2
2
．
(1)求；
(2)求
sin 2
．
2.已知,
为锐角，
2 5
tan
2,cos
5
，则
tan 2
.
3.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且，
(0,π)
，则2
（ ）
A．4
B．4
或5π
4
C．
3π
4
D．4
或5π
4 或
3π
4
4.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且
,
0,π
，则2
．
题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题
1.已知
4
sin
5
=
，
π ,π
2
，求sin 2，cos2，tan 2的值．
2.已知
π
1
tan
6
2
，
π
1
tan 12
3
，则
)
t n(
a
2
（ ）
A．
9
13
B．
2
11
C．10
11
D．2
5
3.已知，均为锐角，
2 7
cos
7
，
3 3
sin
14
，则cos2
，2
.
4.若
π
3
sin 2
4
，则cos2（ ）
A．
7
4
B．
7
4
C．1
8
D．
1
8
5.在ABC
中，若
4
tan
3
A
，则sin2A
．
题型四：二倍角中的拼凑角问题
1.已知,
为锐角，
3
5
tan
,cos
4
5
．
(1)求sin2的值；
(2)求
tan
的值．
2.已知
π
5
sin
3
5
，则
π
sin 2
6
（ ）
A．4
5
B．
4
5
C．3
5
D．
3
5
-
3.已知
π
3
π
cos
,
0
6
5
2
，
，则
2π
cos
2
3
．
4.已知
π
3
sin
6
5
，则
5π
sin 2
6
（ ）
A．8
25
B．
8
25
C．7
25
D．
7
25
5.已知是第一象限角，满足
3
cos 4
5
，则cos2
（ ）
A．7
25
B．
24
25
C．24
25
D．
7
25
6.已知
π
7
sin
5
3
，则
3π
cos 2
5
．
题型五：二倍角公式与数学文化的结合
1.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比
值为无理数
5
1
2
该值恰好等于2sin18，则cos36（ ）
A．5
2
B．
5
1
4
C．
5
1
4
D．
5
1
2
2.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距
0
180
的
对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距
正切值的乘积，即
tan
l
h
．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为,
，若第一
次的“晷影长”是“表高”的2 倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4 倍，则
tan 2
2
（ ）
A．6
7
B．
6
7
C．84
13
D．
84
13
3.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分
之比等于较大部分与整体之比，其比值为
5
1
0.618
2
，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于
5
1
2
的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则cos2C
．
4.五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以
找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，
都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中PT
BP 、PT
AP 、TE
TB 等都是黄金分割比
5
1
2
，已知五角星的顶角
是36°，则利用上面信息可求得sin126（ ）
A．
5
1
4
B．
6
2
4
C．
5
1
4
D．
5
1
2
题型六：辅助角公式的应用
1.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1（𝑥∈R）．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(2)若𝑓(𝑥0) =
6
5，𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，求cos2𝑥0的值．
2.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3cos2 π
2 + 𝑥−2sin(π + 𝑥)cos𝑥−3 .
(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期及单调递减区间：
(2)若𝑓𝑥0−π
6 =
14
25,𝑥0 ∈3π
4 ,π ，求sin2𝑥0的值.
3.已知𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥)的周期及单调递增区间；
(2)求函数𝑓(𝑥)在0, π
2 上的最大值和最小值.
4.已知函数𝑓(𝑥) = sin 𝑥+ π
6 + sin 𝑥−π
6 + cos𝑥+ 𝑎在𝑥∈−π
2 , π
2 时的最大值为1.
(1)求常数𝑎的值；
(2)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(3)求使𝑓(𝑥) ≥0成立的𝑥的取值集合.
模块三：综合巩固
1.化简sin235°−1
2
cos10°cos80°等于（ ）
A．－2
B．－
1
2
C．－1
D．1
2.化简
1−cos160°
2
+
1−sin160°的结果是（ ）
A．cos10°
B．sin10°
C．2sin10° + cos10°
D．2cos10°−sin10°
3.已知函数
2
( )
1
2sin
f x
x
，则
π
8
f
的值为（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
4.sin145 cos35
（ ）
A．
sin 70
B．
1 sin 70
2
C．sin 70
D．1 sin 70
2
5.函数
sin cos cos2
y
x
x
x
的最小正周期是（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
6.已知
sin
68
m
，则cos11
（ ）
A．1
2
m
B．1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
7.已知
5π
tan
2
4
，则cos2的值为（ ）．
A．4
5
B．
1
2
C．
4
5
D．
1
2
8.若
2023π
1
sin
2
4
，则cos2
（ ）
A．8
9
B．7
8
C．
7
8
D．
8
9
9.已知角的终边落在直线
2
y
x
上，则2cos2
sin 2
3
的值为（ ）
A．1
B．1
C．1
D．
3
10.
2
sin160 cos20
1
2sin 25
等于（ ）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
4
D．2
11.已知
tan
和
tan
是关于x 的方程
2
3
0
x
mx
的两根，且
1
tan
2
，则m 的值为（ ）
A．5
B．
16
3
C．
17
3
D．6
12.（多选）下列各式中，值为
3
2
的是（ ）
A．
2
2
cos 15
sin 15
B．2sin15 cos15
C．
2
1
2sin 15
D．
2
2cos 15
1
13.（多选）下列各式中，值为
1
2 的是（ ）
A．2sin15 cos15
B．
2 π
2cos
1
12
C．
1
cos30
2
D．
2
tan22.5
1
tan 22.5
14.已知为锐角，若
π
4
cos
6
5
，则
7π
sin 2
12
的值为（ ）
A．
2
10
B．7 2
10
C．17 2
50
D．31 2
50
15.已知
1
sin
cos
5
，
π ,π
2
，则sin 2
.
16.已知
sin
cos
sin
cos
g x
x
x
x
x
，则
g x 的值域为
.
17.已知
2
sin
45
10
，且0
90
，则sin2的值为
．
18.求下列各式的值：
(1)cos20 cos25
sin20 sin25
；
(2)cos80 cos20
sin80 sin20
；
(3)
2
2
cos 22.5
sin 22.5
.
19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B 两点，且
,
A B 两点的
横坐标分别为3
5
,
5
13
.
(1)求
cos
的值；
(2)求
2
3π
cos
2
cos
2
的值.
5.9 简单的三角恒等变换
模块一：基础知识
考点一：半角公式
（1）半角公式
①
1 cos
sin 2
2
②
1 cos
cos 2
2
③
1 cos
1 cos
sin
tan 2
1 cos
sin
1 cos
（2）二倍角公式的降幂扩角公式：
①
2
1
si nα = （1 - cos2α）
2
②cos
+
2
1
α = （1 cos2α）
2
考点二：辅助角公式
2
2
sin
cos
sin(
)
a
x
b
x
a
b
x
(其中tan
b
a
)
通过应用公式
[或
将形如
(a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
考点三：万能公式
①
2
2tan 2
sin
1
tan 2
②
2
2
1
tan 2
cos
1
tan 2
③
2
2tan 2
tan
1
tan 2
模块二：题型分类
题型一：二倍角的降幂扩角公式
1.已知
0,
，
3
cos
5
，则
2
cos
2
4
．
2.函数
2
1 cos2
sin
f x
x
x
的最小正周期是
．
3.已知
2
π
4
cos
4
5
，则sin 2（ ）
A．3
5
B．
3
5
-
C．1
5
D．
1
5
4.已知
2
8
2sin
sin
2
5
，则sin 2的值是
.
题型二：利用半角公式、万能公式求值
1.已知
1
cos
3
，α 为第四象限角，求sin 2
，cos 2
，tan 2
.
2.已知为锐角，
1
5
cos
4
，则sin 2
（ ）．
A．3
5
8
B．1
5
8
C．3
5
4
D．1
5
4
3.已知
4
sin
5
，则tan 2
．
4.已知
8
tan
cot
2
3
,
(1)求tan的值；
(2)求sin 2
2
的值．
5.已知
5
sin
cos
2
2
5
，450
540
，则tan 2
的值为
.
题型三：辅助角公式的应用
1.已知𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥)的周期及单调递增区间；
(2)求函数𝑓(𝑥)在0, π
2 上的最大值和最小值.
2.函数
3
sin
cos
cos2
2
f x
x
x
x
的最小正周期是（ ）
A．π
B．π
2
C．2π
D．3π
2
3.已知函数
2
π
cos 2
2cos
3
f x
x
x
．
(1)求
π
4
f
的值；
(2)求函数
f x 的单调递增区间．
4.已知函数
1
( )
cos (sin
cos )
2
f x
x
x
x
．
(1)若
π
0
2
，且
2
sin
2
，求
( )
f 的值；
(2)求函数
( )
f x 的单调递增区间．
5.函数
2
cos
sin cos
f x
x
x
x
的单调减区间为
．
6.函数
2
2cos
3sin 2
f x
x
x
的最大值为
．
7.函数
1
3
sin
cos
0
2
2
f x
x
x
在
0,π
x
上恰有2 个零点，则的取值范围是
．
题型四：简单的三角恒等变换
1.已知函数
2
cos
3sin cos
1
x
x
x
f x
，xR .
(1)求函数
y
f x
的最小正周期和对称轴方程；
(2)求
π
0, 2
x
时，函数
y
f x
的值域.
2.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1（𝑥∈R）．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(2)若𝑓(𝑥0) =
6
5，𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，求cos2𝑥0的值．
3.已知函数
2
sin 2
2 3 cos
f x
x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期；
(2)求函数
f x 在区间
π
0, 4
上的最大值和最小值；
(3)若函数
f x 在[
π
,
]
3
m
上是减函数，求m 的取值范围.
4.化简
2
2
2
π
π
sin
sin
sin
6
6
．
5.已知函数
2sin
3 cos
sin
1
f x
x
x
x
.
(1)求函数
f x 的最小正周期及
f x 的单调递增区间；
(2)若
8
( )
5
f
，
π
0 3
，
，求cos2的值；
题型五：三角函数的实际应用
1.如图，在凸四边形ABCD 中，
1
DA
DC
，
2
AB
BC
，若
2
B
，则四边形ABCD 面积的最大值
为
.
2.如图，在半径为R 、圆心角为π
3 的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA上，
点M 、N 在OB 上，则这个矩形面积的最大值为（ ）
A．
2
(2
3
R
）
B．
2
3
6 R
C．
2
3
4 R
D．
2
3
3 R
3.如图所示，已知OPQ 是半径为2，圆心角为π
4 的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，
记
COP
，求当角取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
4.已知OPQ 是半径为1，圆心角为π
3 的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，记
COB
，矩形ABCD 的面积为S .
(1)当
π
6
时，求矩形ABCD 的面积S 的值.
(2)求S 关于角的解析式，并求S 的最大值.
模块三：综合巩固
1.(多选)cos
3sin
化简的结果可以是（ ）
A．1
π
cos
2
6
B．
π
2cos 3
C．1
π
sin
2
3
D．
π
2sin 6
2.求值：
5
5
cos
3sin
12
12
（ ）
A．0
B．
2
C．2
D．
2
3.下列函数中，最小正周期为2 的偶函数是（ ）
A．
sin 2
cos2
y
x
x
B．
sin
cos
y
x
x
C．
sin
2
y
x
D．
cos2
y
x
4.函数
sin cos
cos2
f x
x
x
x
的最小正周期为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
5.已知
π
3
cos
cos
3
3
，则
π
cos
6
（ ）
A．1
3
B．7
9
C．
7
9
D．
1
3
6.已知
1
cos
5
，
3π ,2π
2
，则sin 2
等于（ ）
A．10
5
B．－10
5
C．2 6
5
D．2 5
5
7.已知
3
tan
5
，
π
1
tan
3
4
，那么
π
tan
3
为（ ）
A．13
18
B．13
23
C．7
23
D．3
18
8.若
1
cos
3
，且270
360
，则cos 2
（ ）
A．
3
3
B．
6
3
C．
6
3
D．
6
3
9.若
12
sin
sin
13
，
6
cos
cos
13
，则tan
2
的值为（ ）
A．2
B．
1
2
C．－2
D．
1
2
10.(多选)若
4
cos
5
，则
1
tan 2
1
tan 2
的值可能为（ ）
A．
1
2
B．2
C．
1
2
D．－2
11.函数
3sin
cos
y
x
x
在
π π
,
6 6
上的值域是
.
12.在ABC
中，
1
cos
3
B
，则
2
2
cos
tan
2
2
B
A
C
.
13.已知函数
2
2sin
cos
2 3cos
3
f x
x
x
x
（其中
0
），直线
1
x
x
、
2
x
x
是
y
f x
图象的
任意两条对称轴，且
1
2
x
x
的最小值为π
2 ．
(1)求的值；
(2)若
2
3
f
，求
π
cos 2
6
的值．
14.设常数
R
a
，函数
2
sin2
2cos
f
x
a
x
x
.
(1)若
f x 为偶函数，求a 的值；
(2)若
π
2
4
f
，求方程
1
2
f x
在区间
π
0 2
，上的解.
15.已知sin𝛼= 2 5
5 ，𝛼∈0, π
2 .
(1)求sin2𝛼和cos2𝛼的值；
(2)求sin 𝛼+ π
6 的值.
16.已知sin𝛼= 2−4sin2𝛼
2．
(1)求sin2𝛼−cos2𝛼的值；
(2)已知𝛼∈(0,π),𝛽∈
π
2 ,π ,3tan2𝛽−5tan𝛽−2 = 0，求𝛼+ 𝛽的值．
17.已知𝛼为第二象限角，且cos2𝛼=
7
9.
(1)求sin𝛼的值；
(2)若函数𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ 2cos𝛽cos2𝑥0 < 𝛽< π
2 的图象关于直线𝑥=
π
12对称，求cos(2𝛼+ 𝛽)的值.
5.10 y=Asin(ωx+φ)的图像
模块一：基础知识
考点一：φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)图象的影响
1. 对
的图象的影响
函数
（其中
）的图象，可以看作是把正弦曲线
上所有的点向左(当>0 时)
或向右(当<0 时)平移| |个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
2、
对
的图象的影响
函数
的图象，可以看作是把
的图象上所有点的横坐标缩短(当
>1 时)或
伸长(当0<
<1 时)到原来的
倍(纵坐标不变)而得到.
3、
对
的图象的影响
函数
的图象，可以看作是把
图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1 时)
或缩短(当0<A<1 时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.
考点二：五点法作图
必备方法：
sin(
)
y
A
x
五点法步骤
③
x
2
3
2
2
①
x
0
2
3
2
2
②
sin(
)
y
A
x
0
A
0
A
0
对于复合函数
sin(
)
y
A
x
，
第一步：将
x
看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令
x
等于0，2
，，3
2
，2，
对应的y 则取0，A ，0，
A
，0。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出x （如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：(
,0)
，2
(
, )
A
,(
,0)
,
3
2
(
,
)
A
, 2
(
,0)
考点三：三角函数图象变换
参数A ,,对函数
sin(
)
y
A
x
图象的影响
1.对函数
sin(
)
y
x
, x
R
的图象的影响
2、(
0
)对函数
sin(
)
y
x
图象的影响
3、A (
0
A
)对
sin(
)
y
A
x
的图象的影响
4、由
sin
y
x
的图象变换得到
sin(
)
y
A
x
(
0
A
，
0
)的图象的两种方法
考点四：根据图象求解析式
形如
( )
sin(
)
f x
A
x
B
的解析式求法：
1、
,
A B 求法：
①观察法：A 代表偏离平衡位置的最大距离；B 平衡位置.
②代数法：记
( )
sin(
)
f x
A
x
B
的最大值为M ,最小值为m ；则：
A
B
M
A
B
m
，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期T ，利用公式
2
|
|
T
，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点
0
(
, )
x B ，将第一关键点
0
(
, )
x B 代入
0
0
x
求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离y 轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点
1
( ,
)
x M （或者最低点
2
(
,
)
x m ）代入解析式
( )
sin(
)
f x
A
x
B
求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点
0
0
(
,
)
x
y
代入解析式
( )
sin(
)
f x
A
x
B
求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
模块二：题型分类
题型一：利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.用五点法作函数𝑦= 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) 𝐴> 0,𝜔> 0,|𝜑| < π
2 的图像时，得到如下表格：
x
π
6
2π
3
𝜔𝑥+ 𝜑
0
π
2
π
3π
2
2π
y
0
4
0
0
则A，ω，φ 的值分别为（ ）
A．4，2，−
π
3
B．4，
1
2，
π
3
C．4，2，
π
6
D．4，
1
2，−
π
6
2.用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
π
2sin 2
6
f x
x
在
0,π 上的大致图像.
3.已知函数
π
sin 2
6
f x
x
(1)请用“五点法”画出函数
f x 在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
4.已知函数
π
sin 2
4
f x
x
，xR ．
(1)列表，并在所给坐标系中用五点法作出一个周期内的函数图像．
(2)写出
f x 的单调区间，对称轴，对称中心．
5.已知函数
π
( )
2 sin 2
4
f x
x
.
(1)利用“五点法”，完成如下表格，并画出函数
( )
f x 在一个周期上的图象；
π
2
4
x
_____
_____
_____
_____
_____
x
_____
_____
_____
_____
_____
( )
f x
_____
_____
_____
_____
_____
(2)若2
且
2
( )
3
f
，求cos2的值.
6.已知函数
π
( )
sin(2
)
6
f x
x
．
(1)请用“五点法”画出函数
( )
f x 在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
（2）求
(
)
6
π
f
x
的单调递增区间．
题型二：三角函数的图象变换
1.为了得到函数
cos2
g x
x
的图象，可以将函数
π
cos 2
3
f x
x
的图象（ ）
A．向左平移π
3 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
6 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
2.已知曲线C1：
2sin
y
x
，C2：
π
2sin(2
)
3
y
x
，则错误的是（ ）
A．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动π
6 个单位长度，
得到曲线
2
C
B．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动5π
6 个单位长
度，得到曲线
2
C
C．把
1
C 向左平行移动π
3 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不
变，得到曲线
2
C
D．把
1
C 向左平行移动π
6 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍，纵坐标不
变，得到曲线
2
C
3.已知函数
2sin
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位长度后得到函数
sin 2
3 cos2
y
x
x
的图象，则
φ 的可能值为（ ）
A．0
B．π
6
C．π
3
D．π
12
4.将函数𝑦= cos 2𝑥+ 4π
5 的图象上各点向右平移
π
2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸
长为原来的4 倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A．𝑦= 4cos 4𝑥−π
5
B．𝑦= 4cos 4𝑥+ π
5
C．𝑦= 4sin 4𝑥+ 4π
5
D．𝑦= −4sin 4𝑥+ 4π
5
5.把函数
π
cos 3
4
y
x
的图像适当变动就可以得到
sin
3
y
x
图像，这种变动可以是（ ）
A．向右平移π
4
B．向左平移π
4
C．向右平移π
12
D．向左平移π
12
6.（多选）要得到函数
π
sin 2
6
f x
x
的图象，可以将函数
π
cos
2
6
g x
x
的图象（ ）
A．向左平移π
4 个单位长度
B．向右平移π
4 个单位长度
C．向左平移3π
4 个单位长度
D．向右平移3π
4 个单位长度
7.为了得到函数
π
sin 2
4
f x
x
的图象，只需将函数
cos2
g x
x
的图象向右平移
个单位长
度．
8.为了得到函数
π
sin
3
y
x
的图象，只需把函数
cos
y
x
的图象向
（填“左、右”）平移
个
单位长度．
题型三：由部分图象求函数的解析式
1.（多选）已知函数
π
2sin
0,
2
f x
x
的部分图象，则（ ）
A．
2
B．
π
3
C．点π ,0
6
是
f x 图象的一个对称中心
D．
f x 的图象向左平移5π
12 个单位后所对应的函数为偶函数
2.已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) 𝑥∈𝑅,𝐴> 0,𝜔> 0,|𝜑| < π
2 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．𝑓(0) =
2
3
B．直线𝑥= π是𝑓(𝑥)图象的一条对称轴
C．𝑓(𝑥)图象的对称中心为−π
6 + 𝑘π
2 ,0 ,𝑘∈𝑍
D．将𝑓(𝑥)的图象向左平移
π
6个单位长度后，得到函数𝑦= 3cos2𝑥的图象
3.已知函数
sin
0,
0,
2
π
f x
A
x
A
的部分图象如图所示，为了得到函数
sin
g x
A
x
的图象，只需要将
y
f x
的图象（ ）
A．向左平移π
3 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
6 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
4.已知函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示.
(1)求
f x ；
(2)将函数
y
f x
图象向左平移π
12 个单位，得到函数
y
g x
的图象，求
g x 在
π
0, 3
上的值域.
5.已知函数
( )
sin(
)
,
0,
0,|
|
2
π
f x
A
x
x
R A
的部分图象如图所示.
(1)求
( )
f x 的最小正周期及解析式；
(2)将函数
( )
y
f x
的图象向右平移π
6 个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，求函数( )
g x 在区间
π
0, 2
上的最
大值和最小值.
6.（多选）如图所示的曲线为函数
cos
f
x
A
x
（
0
A
，
0
，
π
2
）的部分图象，将
y
f x
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3
2 ，再将所得曲线向右平移π
8 个单位长度，得到函数
y
g x
的图
象，则（ ）
A．函数
g x 在5π 13π
,
24
24
上单调递减
B．点3π ,0
8
为
g x 图象的一个对称中心
C．直线
π
4
x
为
g x 图象的一条对称轴
D．函数
g x 在3π ,π
4
上单调递增
7.已知函数
( )
sin(
)
0,
0,|
|
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)将
( )
y
f x
图象上所有点先向右平移6
个单位长度，再将纵坐标变为原来的2 倍，得到函数
( )
y
g x
，
求
( )
y
g x
在0, 2
上的值域．
8.已知函数
π
3sin
0,
2
f x
x
的部分图像，如图所示．
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 的图像向右平移π
3 个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的
1
2 ，纵坐标
不变，得到函数
g x 的图像，当
π
0, 3
x
时，求函数
g x 的值域．
9.函数
sin
f x
A
x
（A ，，为常数，且
0
A
，
0
，
π
2
）的部分图象如图所示．
(1)求函数
f x 的解析式及图中b 的值；
(2)将
f x 的图象向左平移π
6 个单位后得到函数
y
g x
的图象，求
g x 在
π
0, 2
上的单调减区间.
题型四：三角函数模型在匀速圆周运动中的应用
1.一半径为3m 的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4 圈，且当水轮上
点P 从水中浮现时（图中点𝑃0）开始计算时间.
(1)将点P 距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)点P 第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：sin(−0.73) = −
2
3，π ≈3.14，第二问精确到0.1）
2.如图，一个半径为3m 的筒车按逆时针方向每分转1.5 圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.2m.设筒车
上的某个盛水筒P 到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开
始计算时间，则d 与时间t（单位：s）之间的关系为𝑑= 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) + 𝐾𝐴> 0,𝜔> 0,−𝜋
2 < 𝜑< 𝜋
2 .
（1）求𝐴,𝜔,𝜑,𝐾的值（𝜑精确到0.0001）；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到0.01s）？
3.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四
周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90 米，最低点距离地面10 米，摩天轮上均匀设
置了36 个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座
舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30 分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开
始计时．
(1)经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，求𝐻(𝑡)的解析式．
(2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30 米？
4.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四
周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48 个座舱，开启后按逆
时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin 后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H 关
于t 的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min 后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：
m）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
题型五：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
1.已知函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
在一个周期内的图象经过
π ,2
3
A
，
π , 2
6
B
，且
f x 的图象关于直线
π
3
x
对称．
(1)求
f x 的解析式；
(2)若存在
3π 7π
,
4
6
x
，使得不等式
2
3
f x
a
成立，求a 的取值范围．
2.函数
( )
sin(
) 1(
0,0
π)
f x
x
的图象两相邻对称轴之间的距离是π
2 ，若将
( )
f x 的图象上每个
点先向左平移π
12 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，所得函数( )
g x 为偶函数．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)若对任意
π
0, 3
x
，
2
[ ( )]
(2
) ( )
2
0
f x
m f x
m
恒成立，求实数m 的取值范围；
3.已知函数
π
π
sin
0,
0,
2
2
f x
A
x
A
的部分图像如图所示，且
0, 1
D
，ABC
的面积
等于π
2 .
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将
f x 图像上所有的点向左平移π
4 个单位长度，得到函数
y
g x
的图像，若对于任意的
1
2
,
π
,
x x
m m
，当
1
2
x
x
时，
1
2
1
2
f x
f x
g x
g x
恒成立，求实数m 的最大值.
4.已知函数
π
( )
4sin
(
0)
4
f x
x
的部分图象如图所示，矩形OABC 的面积为9π
2 ．
(1)求
( )
f x 的最小正周期和单调递增区间．
(2)先将
( )
f x 的图象向右平移5π
24 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标缩
小为原来的
1
2 ，最后得到函数( )
g x 的图象．若关于x 的方程
2
[ ( )]
(1
) ( )
0
g x
m g x
m
在区间[0, ]
上仅有
3 个实根，求实数m 的取值范围．
5.已知函数
π
( )
2 cos(
)(
0,
)
2
f x
x
的部分图象如图所示．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)将函数
( )
f x 的图象向左平移1
4 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）得到
函数( )
g x 的图象，若关于x 的方程( )
0
g x
a
在区间[0,1] 上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范
围．
6.已知函数
2
1
( )
3sin
cos
sin
2
f x
x
x
x
（其中常数
0
）的最小正周期为π ．
(1)求函数
( )
y
f x
的表达式；
(2)作出函数
( )
y
f x
，
[0,π]
x
的大致图象，并指出其单调递减区间；
(3)将
( )
y
f x
的图象向左平移(0
π)
个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，若实数
1
2
,
x x 满足
1
2
1
f
x
g x
，且
1
2
x
x
的最小值是π
6 ，求的值．
7.已知函数
π
( )
2sin(
)
0,|
|
2
f x
x
的两个相邻零点之间的距离为π
2 ，且（在下面两个条件中任选择
其中一个，完成下面两个问题）.条件①：
( )
f x 的关于
π
6
x
对称；条件②：函数
π
12
f
x
为奇函数.
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)将
( )
f x 的图象向右平移π
4 个单位，然后再将横坐标伸长到原来2 倍（纵坐标不变），得到函数( )
g x 的图
象，若当
,
6
x
m
时，( )
g x 的值域为[ 1,2]
，求实数m 的取值范围.
8.如图，函数
sin
0,
0,0
π
f x
A
x
A
的图象经过
2
0, 2
P
，
π ,0
4
M
，
3
0
π ,
4
N
三
点.
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，纵坐标缩短到原来的
1
2 ，得到
g x 图象.若
2
8
π
h x
f
x
g x
，求函数
h x 的单调增区间.
题型六：函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角恒等变换
1.函数
π
sin 2
0,
0
2
f x
A
x
A
，
的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，得到函数
g x 的图象，若
0,π
，且
2
g
，求
的值.
2.函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
的部分图象如图所示．
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 的图象先向右平移π
4 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
1
2 （纵坐标不变），得到
函数
g x 的图象，若关于x 的方程
0
g x
m
在
π
0, 4
x
上有两个不等实根
1
2
,
x x ，求实数m 的取值范围，
并求
1
2
g x
x
的值．
3.已知函数
π
sin
0,
0,
0,
2
f x
A
x
B A
B
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数
f x 的表达式；
(2)把
y
f x
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2
3 （纵坐标不变），再把得到的图象向下平移一个单
位，再向左平移π
36 个单位，得到函数
y
g x
的图象，若
1
g 且
π
π
3
3
，求角的值.
4.已知函数
π
3
sin sin
6
4
f x
x
x
.
(1)当
0,π
x
时，求函数
f x 的单调递增区间；
(2)将函数
f x 的图象先向左平移π
6 个单位长度后，再把横坐标伸长为原来的2 倍纵坐标不变，得到函数
y
g x
的图象.若
1
11
,cos
3
14
g
，且为锐角，
+
0,π
，求cos的值.
模块三：综合巩固
1.用“五点法”作函数𝑦= cos 4𝑥−𝜋
6 在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
A．5𝜋
12 ,0
B．−5𝜋
12 ,1
C．5𝜋
12 ,1
D．−5𝜋
12 ,0
2.要得到函数
π
cos
6
y
x
的图象，只要将函数
cos
y
x
的图象（ ）
A．向左平移π
3 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
6 个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
3.已知函数
π
2sin
(
0)
3
f x
x
的最小正周期为π ，把函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，所
得图象对应函数解析式为（ ）
A．
2sin2
y
x
B．
2cos2
y
x
C．
2π
2sin 2
3
y
x
D．
π
2sin 2
6
y
x
4.若函数
π
( )
sin(
)(
0)
6
f x
x
在
2π
0, 3
上恰有两个零点，且在
π
π
,
12 12
上单调递增，则的取值范围是
（ ）
A．11,4
4
B．11,4
4
C．11 17
,
4
4
D．11 17
,
4
4
5.已知函数𝑓(𝑥) = sin 𝜔𝑥+ π
3 (𝜔> 0)的图象向左平移
π
12后所得的函数为奇函数，则𝜔的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6.已知𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝜔> 0,|𝜑| < π)是奇函数，将𝑓(𝑥)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵
坐标不变），所得图象对应的函数为𝑔(𝑥)．若𝑔(𝑥)的最小正周期为2π，则𝑓
π
12 = （ ）
A．
1
2
B．2
2
C．3
2
D．1
7.已知函数
1
3
sin2
cos2
2
2
f x
x
x
，则将函数
f x 的图像向左平移
π
0
2
个单位后得到函数
g x 的图像，
g x 图像关于原点对称，则（ ）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
3
D．
5π
12
8.把函数
sin 2
0
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位后，得到一个偶函数的图像，则（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
9.将函数𝑦= sin𝑥+ cos𝑥的图象向右平移
π
2个单位，所得图象的函数解析式为𝑦= （ ）
A．−sin𝑥+ cos𝑥
B．−cos𝑥+ sin𝑥
C．−sin𝑥−cos𝑥
D．sin𝑥+ cos𝑥
10.将函数
π
2sin 2
4
f x
x
的图象向左平移5 π
6
个单位长度，得到函数
y
g x
的图象，则函数
g x 在
π 3π
,
8
8
x
时的值域为（ ）
A．
2,1
B．
1,2
C．
2, 3
D．
3,2
11.将函数
π
cos
(
0)
4
f x
x
的图象向左平移π
3 个单位长度后得到函数
sin
y
x
的图象，则正实数
的最小值为（ ）
A．21
4
B．15
4
C．9
4
D．2
12.已知函数
2sin
1
f x
x
（
1
，
π
2
），其图像与直线
1
y 相邻两个交点的距离为π ，若
1
f x 对于任意的
π
π
,
12 3
x
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
π
π
,
12 3
B．
π
12
π
, 2
C．π π
,
6 3
D．π π
,
6 2
13.(多选)已知函数
2
2sin
cos
2 3sin
f x
x
x
x
，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．
3
π ,
12
是曲线
f x 的一个对称中心
C．
π
12
x
是曲线
f x 的一条对称轴
D．
f x 在区间π 5π
,
6 12
上单调递增
14.(多选)已知π ,0
3
是函数
π
sin
0
3
3
f x
x
的一个对称中心，则（ ）
A．
2
B．
π
6
x
是函数
f x 的一条对称轴
C．将函数
f x 的图像向右平移π
6 单位长度后得到的图像关于原点对称
D．函数
f x 在区间
π ,0
2
上的最小值是
3
2
15.函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑) 𝐴> 0,𝜔> 0,|𝜑| < π
2 的部分图象如图所示，则函数𝑓(𝑥)的解析式为（ ）
A．𝑓(𝑥) =
2sin 𝑥−π
3
B．𝑓(𝑥) =
2sin 2𝑥+ π
3
C．𝑓(𝑥) =
2sin 𝑥−π
6
D．𝑓(𝑥) =
2sin 2𝑥+ π
6
16.已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥+ 𝜑)（其中𝐴> 0，𝜔> 0，|𝜑| <
𝜋
2）的部分图象如图所示，将函数𝑓(𝑥)图象上
所有点的横坐标伸长到原来的6 倍后，再向左平移
𝜋
4个单位，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则函数𝑔(𝑥)的解析式
为（ ）
A．𝑔(𝑥) = 2sin 1
3 𝑥−𝜋
4
B．𝑔(𝑥) = 2sin 1
3 𝑥+ 𝜋
4
C．𝑔(𝑥) = 2sin 6𝑥+ 5𝜋
12
D．𝑔(𝑥) = 2sin 1
6 𝑥−𝜋
4
17.函数
sin
(
0,
0,0
2π)
f x
A
x
A
一个周期的图象如图所示，则函数
f x 的解析式
为
.
18.设函数
sin
f x
A
x
（A，，是常数，
0
A
，
0
）.若
f x 在区间
,
12 4
上具有单调
性，且
π
5π
π
4
12
12
f
f
f
，则
f x 的最小正周期是
．
19.已知函数
π
sin
,
0,
0,
2
f x
A
x
A
的图像上相邻两条对称轴的距离是π
4 ，
f x 的最大
值与最小值之差为1，且
f x 的图像的一个对称中心是3π ,0
16
．
(1)求函数
f x 的解析式；
(2)若方程
f x
m
在区间
π
0, 4
上有解，求实数m 的取值范围．
20.已知函数
π
( )
2sin(
) 1 0
3,0
2
f x
x
，满足______．
(1)求
( )
f x 的解析式，并写出
( )
f x 的单调递减区间；
(2)把
( )
y
f x
的图象向右平移π
6 个单位，再向上平移
1
2 个单位，得到函数
( )
y
g x
的图象，若( )
g x 在区间
π ,
3 m
上的最大值为3
2 ，求实数m 的最小值．
在①函数
( )
f x 的一个零点为0；②函数
( )
f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π
2 ；
③函数
f x 图象的一个最低点的坐标为2π , 2
3
，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出
问题的解答．
5.11 三角函数中w 取值范围问题
模块一：基础知识
考点一：与y＝Asin(ωx＋φ)的对称性有关
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)的最小正周期是𝑇=
2𝜋
|𝜔|，所以𝜔=
2𝜋
𝑇，也就是说只要确定了周期T，就可以确定𝜔的
取值.
1.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为𝑇
2；
2.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离为𝑇
2；
3.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离为𝑇
4；
4.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最大值（或最小值）之间在x 轴上距离为T；
5.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最值之间在x 轴上距离为𝑇
2；
考点二：对称性与周期性在其他函数中拓展
1.若f(x)同时关于直线x=a、直线x=b 对称，则函数f(x)的一个周期是2|b-a|；
2.若f(x)同时关于点(a,0)、点(b,0)中心对称，则函数f(x)的一个周期是2|b-a|；
3.若f(x)同时关于直线x=a、、点(b,0)中心对称，则函数f(x)的一个周期是4|b-a|考点三：与单调性有关
已知函数𝑦= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝐴> 0,𝜔> 0)，在[𝑥1,𝑥2]上单调递增（或递减），求𝜔的取值范围
第一步：根据题意可知区间[𝑥1,𝑥2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即𝑥2−𝑥1 ≤
1
2𝑇=
𝜋
𝜔，求得0 < 𝜔≤
𝜋
𝑥2−𝑥1.
第二步：以单调递增为例，利用[𝜔𝑥1 + 𝜑,𝜔𝑥2 + 𝜑] ⊆[−
𝜋
2 +2𝑘𝜋,
𝜋
2 +2𝑘𝜋]，解得𝜔的范围；
第三步：结合第一步求出的𝜔的范围对𝑘进行赋值，从而求出𝜔（不含参数）的取值范围.
考点四：与平移相关
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数
( )
f x =平移后的函数
( )
g x .
2、平移后与新图象重合：平移后的函数
( )
f x =新的函数
( )
g x .
3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数
( )
f x =平移后的函数-
( )
g x ；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
考点五：与零点相关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和
周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1 个零点的区间长度的最小值．
考点六：与最值相关
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就
是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.
模块二：题型分类
题型一：单调性中ω取值范围问题
1.已知函数
sin
0
6
f x
x
在区间
,
2
内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．2 ,1
3
B．2 4
,
3 3
C．
1,2
D．3 ,2
2
2.若直线
π
4
x
是曲线
π
sin
(
0)
4
y
x
的一条对称轴，且函数
π
sin(
)
4
y
x
在区间[0，π
12 ]上不单调，
则的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．11
D．3
3.设
0
，若函数
π
( )
2cos
2
f x
x
在
π π
,
4 2
上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．
1
0, 2
B．
3
1, 2
C．
3
0, 2
D．(0,1]
4.若函数
3sin
cos
0
5
5
f x
x
x
在
2
0, 3
上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．
0,1
B．
4
0, 5
C．4 ,1
5
D．1 4
,
2 5
5.已知函数
sin
0
f x
x
的一个对称中心为
,0
3
，
f x 在区间5
,
6
上不单调，则的
最小正整数值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.若函数f(x) = sin(ωx +
π
6 )(ω > 0)在0,
2π
3 上恰有两个零点，且在−
π
12 ,
π
12 上单调递增，则ω的取
值范围是（ ）
A．11
4 ,4
B．11
4 ,4
C．11
4 ,
17
4 D．11
4 ,
17
4
已知函数𝑦= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝐴> 0,𝜔> 0)，在[𝑥1,𝑥2]上单调递增（或递减），求𝜔的取值范围
第一步：根据题意可知区间[𝑥1,𝑥2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，
即𝑥2−𝑥1 ≤
1
2𝑇=
𝜋
𝜔，求得0 < 𝜔≤
𝜋
𝑥2−𝑥1.
第二步：以单调递增为例，利用[𝜔𝑥1 + 𝜑,𝜔𝑥2 + 𝜑] ⊆[−
𝜋
2 +2𝑘𝜋,
𝜋
2 +2𝑘𝜋]，解得𝜔的范围；
第三步：结合第一步求出的𝜔的范围对𝑘进行赋值，从而求出𝜔（不含参数）的取值范围.
7.已知函数f(x) = sin ωx−
π
4
+1(ω > 0)在0,
π
6 上单调递增，在π
3 ,
π
2 上单调递减，则ω的取值范
围是（ ）
A．9
4 ,
7
2 B．7
2 ,
9
2 C．7
4 ,
9
4 D．7
4 ,
9
2
8.已知函数f(x) = |sinωx| + |cosωx|(ω > 0)在区间(
π
4 ,π)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A．0，
1
4 B．1
4 ，1
C．0，
1
2 D．1
2 ，1
题型二：对称轴中ω取值范围问题
1.函数
cos
(
0)
3
f
x
x
的图像关于直线
2
x
对称，则可以为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．1
2.已知函数
2
1
3sin
cos
cos
(
0,
)
2
f x
x
x
x
x
R
在
0,内有且仅有三条对称轴，则的取值范
围是（ ）
A．2 7
3 6
,
B．7 5
,
6 3
C．5 13
,
3 6
D．13 8
,
6 3
3.若定义在R上的函数f(x) = sinωx + cosωx(ω > 0)的图象在区间[0,π]上恰有5 条对称轴，则ω的取
值范围为（ ）
A．17
4 ,
21
4 B．17
4 ,
25
4 C．17
4 ,
25
4 D．33
4 ,
41
4
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑)的最小正周期是𝑇=
2𝜋
|𝜔|，所以𝜔=
2𝜋
𝑇，也就是说只要确定了周期T，就可以确定
𝜔的取值.
1.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离为𝑇
2；
2.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离为𝑇
2；
3.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离为𝑇
4；
4.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最大值（或最小值）之间在x 轴上距离为T；
5.y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个最值之间在x 轴上距离为𝑇
2；
4.已知函数
( )
cos
(
0)
4
π
f x
x
在区间[0, ]
上恰有两条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．7 11
,
4 4
B．5 9
,
4 4
C．7 11
,
4 4
D．5 9
,
4 4
5.若函数
3cos
sin
0
y
x
x
在区间
π ,0
3
上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．1 7
,
2 2
B．1 7
,
3 6
C．1 7
,
3 3
D．1 7
,
2 2
6．已知函数
π
( )
cos(
)
0,0
2
f x
x
的最小正周期为T，若
1
( )
2
f T
，且函数
( )
f x 的图象关于
直线
7π
3
x
对称，则的最小值为（ ）
A．3
B．5
3
C．2
7
D．1
7
7．若存在实数
π
0, 2
，使得函数
π
sin
0
3
y
x
的图象关于直线x
对称，则的取值范围
为（ ）
A．1 ,
3
B．1 ,
6
C．1 ,
3
D．
1
0, 6
8．若存在唯一的实数
π
0, 2
t
，使得曲线
π
cos
0
4
y
x
关于直线x
t
对称，则的取值范围
是（ ）
A．3 7
,
4 4
B．3 7
,
4 4
C．3 7
,
2 2
D．3 7
,
2 2
题型三：对称轴中心与ω取值范围问题
1．已知函数
2sin
y
x
，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点
1,0 是函数的一个对称点，
则和的值可能是（ ）
A．
π
π
,
3
3
B．
π
2π
,
3
3
C．
π
π
,
3
3
D．
π
2π
,
3
3
2.已知函数f(x) = 3tan ωx
2 +
π
3 （ω > 0）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为
π
4 ，则ω =
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
3.若存在实数φ ∈(−
π
2 ,0)，使得函数y = sin ωx +
π
6 (ω>0)的图象的一个对称中心为(φ，0)，则ω
的取值范围为（ ）
A．1
3 , + ∞ B．1
3 ,1
C．1
3 , + ∞
D．1,
4
3
4.已知函数f(x) = sin(ωx + φ) (ω > 0)的图象的一个对称中心为π
2 ,0 ，且f π
4
=
1
2，则ω的最小值
为
A．
2
3 B．1
C．
4
3 D．2
5.已知函数
π
sin
(
0)
4
f x
x
图象关于直线
π
4
x
对称，且关于点
π ,0
12
对称，则的值可能是
（ ）
A．5
B．9
C．13
D．15
6.若函数
sin
4
f x
x
在区间
,0
12
内单调，且
,0
8
P
是
f x 的一个对称中心，则的值可以
是（ ）
A．6
B．10
C．9
D．4
7.已知函数
π
( )
sin
(
0)
6
f x
x
，对任意的xR ，都有
(
1)
(
)
f x
f
x
，且
( )
f x 在区间
π
π
,
4 12
上单
调，则的值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．5π
6
D．2π
3
8．记函数
π
2cos
0,
2
f x
x
b
的最小正周期为T，若
2
4
T
f
，且函数
f x 的图象关
于点π , 3
6
对称，则当取得最小值时，
π
4
f
（ ）
A．2
B．
3
C．
3
3
D．
3
9．已知函数
sin
cos
f x
x
x
图象两个相邻的对称中心的间距为π
4 ，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．
π
16
f
x
B．
π
8
f
x
C．
π
16
f
x
D．
π
8
f
x
10.已知函数
sin
cos
0
f x
x
x
的图象的一个对称中心的横坐标在区间π π
,
4 2
内，且两个相邻对
称中心之间的距离大于π
3 ，则的取值范围为（ ）
A．
0,3 B．3 ,3
2
C．
3
0, 2
D．
1,3
11.已知函数
π
( )
sin
(
0)
3
f x
x
在(π,2π) 内不存在对称中心，则的取值范围为（ ）．
A．1 2
,
3 3
B．
2
0, 3
C．
1
0, 6
D．
1
1 2
0,
,
6
3 3
题型四：平移伸缩中ω 取值范围问题
1.将函数
( )
cos
,(
0)
f x
x
的图象向右平移3
个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．1
3 B．3 C．6 D．9
2.将函数
π
cos
(
0)
4
f x
x
的图象向右平移π
4个单位长度后得到函数
g x 的图象，若函数
y
g x
在区间
3π
0, 4
上单调递增，则的最大值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．1
D．3
3.将函数
π
sin
6
f x
x
（
0
）的图象向右平移π
3 个单位长度后与函数
cos
g x
x
的图象重合，
则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4.将函数
π
4sin
(
0)
2
y
x
的图象分别向左、向右各平移π
6 个单位长度后，所得的两个图象对称轴
重合，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5.已知函数
tan
0,
0
3
f x
A
x
A
的图象向左平移3
4
个单位长度后与原图象重合，则实数的
最小值是（ ）
A．4
3
B．8
3
C．16
3
D．8
6.已知函数
sin 2
cos2
1 0
1
f x
x
x
，将
f x 的图象先向左平移π
4 个单位长度，然后再向下平
移1 个单位长度，得到函数
g x 的图象，若
g x 图象关于π ,0
4
对称，则为（ ）
A．1
4
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
7.将函数
sin
f x
x
(其中
0
)的图像向右平移π
2 个单位长度，所得图像关于
π
6
x
对称，则的最小值
是
A．6
B．2
3
C．9
4
D．3
4
8.将函数
π
cos
0
6
f x
x
的图象向左平移π
9 个单位长度得到函数
g x 的图象.若函数
g x 的图
象关于点π ,0
3
对称，则的最小值为
.
9.将函数
π
sin 2
3
y
x
的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
*
2 (
N
倍后，所得函数
( )
g x 的图像在区间(0,π) 上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为
．
10.将函数
sin
2cos
2 3sin
3
2
2
2
x
x
x
f x
(
0
)的图象向左平移π
3 个单位长度,得到曲线C .若
C 关于y 轴对称,则的最小值是
．
11.将函数f(x) = cos2x的图象向右平移
π
6 个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
ω
(ω > 1)，得到函数g(x)的图象，若在区间[0,π)内有5 个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．
23
12 ≤ω <
29
12 B．
23
12 < ω ≤
29
12
C．
29
12 ≤ω < 35
12 D．
29
12 < ω ≤35
12
题型五：零点与ω取值范围问题
1.设函数
cos
f x
x
，其中
0
，若对任意的
,
6 4
，
f x 在
0,2上有且仅有4 个零点，
则下列的值中不满足条件的是（ ）
A．
13
6
B．
11
6
C．
5
4
D．
3
4
2.已知函数
sin
sin
0
6
3
f x
x
x
，若函数
f x 在区间
0,上有且只有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．5 4
,
6 3
B．5 4
,
6 3
C．6 4
,
5 3
D．6 4
,
5 3
3．已知函数
π
( )
sin
(
0)
3
f x
x
在
π
0, 2
上没有零点，则的最大值为（ ）
A．1
B．4
3
C．3
2
D．2
3
4.已知函数
sin
0
f
x
x
在区间
2 ,
3
3
上单调递增，且
1
f x 在区间[0,2 ]
上有且仅有一解，
则的取值范围是（ ）
A．
3
0, 4
B．3 3
,
4 2
C．1 5
,
4 4
D．1 3
,
4 4
5.已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
，将
f x 的图象向左平移π
6 个单位长度得到函数
g x 的图象，若
g x 在
π
0, 2
上恰有两个零点，则下列区间中，的一个取值区间可以为（ ）
A．
7
2, 2
B．
9
3, 2
C．
11
4, 2
D．
13
5, 2
6.将函数
sin
0
f x
x
的图象向右平移π
2 个单位长度后得到函数
g x 的图象，若
π
0,
是
g x 的一
个单调递增区间，且
g x 在
0,π 上有5 个零点，则（ ）
A．1
B．5
C．9
D．13
7.已知函数
4cos
f x
x
，将函数
f x 的图象向左平移π
3 个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐
标不变，横坐标变为原来的
1
0
倍得到函数
g x 的图象，若函数
2
h x
g x
在
0,2π 上有且仅有
4 个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
2,3
B．
8
2, 3
C．
1,3
D．8 ,3
3
8．已知函数
π
sin
0
3
(
)
f x
x
，若
f x 在π 3π
,
2
2
上无零点，则的取值范围是（ ）
A．
2
8
0,
,
9
9
B．
2
2 8
0,
,
9
3 9
C．
2
8
0,
,1
9
9
D．
2 8
,
1,
9 9
9．已知函数
sin
3 cos
2
0
f x
x
x
在
0,π 内恰有一个零点，其图象在
0,π 内恰有一条对
称轴，则的取值范围是（ ）
A．
5
7
,
12 6
B．
5
5
,
12 4
C．
7
5
,
12 4
D．
7
7
,
12 6
10.已知函数f(x) = 2cos(ωx + φ) (ω > 0,0 < φ < π)的最小正周期为T，若f(T) =
3，且f(x)在
区间[0,1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．17π
6 ,
23π
6
B．17π
6 ,
23π
6
C．7π
3 ,
10π
3
D．7π
3 ,
10π
3
题型六：最值与ω 取值范围问题
1.奇函数
cos
0,
0,π
f x
x
在区间
π π
,
3 6
上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值
范围是（ ）
A．
2,6
B．
9
2, 2
C．
9
3, 2
D．3 ,6
2
2.若函数
sin
(
0)
3
f x
x
在区间
,2
内没有最值，则的取值范围是（ ）
A．
1
1 2
0,
,
12
3 3
B．
1
1 7
0,
,
12
6 12
C．
7
0,12
D．1 2
,
3 3
3.设函数
π
( )
sin(
)(
0)
4
f x
x
在π π
(
,
)
6 3 上恰有2 个零点，且
( )
f x 的图象在π π
(
,
)
6 3 上恰有2 个最高点，
则的取值范围是 .
4.已知
2π
π
π
( )
sin
(
0),
3
6
3
f x
x
f
f
，且
( )
f x 在区间π π
,
6 3
上有最大值，无最小值，则的
值为（ ）
A．22
3
B．26
3
C．34
3
D．38
3
5.已知函数
sin
(
0)
f x
x
在区间
2π 5π
,
3
6
上是增函数，且在区间
0,π 上恰好取得一次最大值，则
的取值范围是
6.已知函数
2sin
0
f x
x
在区间
,
4 3
上是增函数，若函数
f x 在0, 2
上的图像与直线
2
y
有且仅有一个交点，则的最小值为（ ）
A．4
3
B．3
4
C．3
2
D．1
7.设函数
π
2sin
0
12
f x
x
，将函数
y
f x
图像上所有点的横坐标变为原来的
1
2 倍（纵坐标
不变），得到函数
y
g x
的图像，若对于任意的实数x ，
π
3
g x
g
恒成立，则的最小值等于
（ ）
A．11
8
B．7
8
C．5
8
D．1
8
8.将函数
π
2sin 3
6
f x
x
先向右平移π
18 个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的
3
0
倍
（纵坐标不变），则所得函数
g x 图象，若
g x 在区间
π π
3 4
，上的最小值为2
，则的最小值等于
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．2
D．3
9.将函数
( )
cos
f x
x
的图象向右平移2 π
3
个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1 (
0)
，得到函数
g x 的图象，若
g x 在
π
0, 2
上的值域为
1 ,1
2
，则范围为（ ）
A．4 8
,
3 3
B．1 5
,
3 3
C．4 ,
3
D．8 ,
3
10.已知函数f(x) = 2sin ωx +
π
6 (ω > 0)在区间−
π
4 ,
π
3 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实
数ω的取值范围为（ ）
A．8
3 ,7 B．8
3 ,4
C．4,
20
3
D．20
3 ,7
11.已知f(x) = 2sin ωx +
π
3
+ (a−1)sinωx(a > 0,ω > 0)在(0,π)上存在唯一实数x0使f(x0) = −
3，
又φ(x) = f(x)−2
3，且φ(x)max = 0，则实数ω的取值范围是（ ）
A．1 < ω ≤5
3 B．1 ≤ω ≤5
3
C．5
6 < ω <
3
2 D．5
6 < ω ≤
3
2
题型七：极值与ω 取值范围问题
1.将函数
( )
sin
(
0)
f x
x
的图象向右平移12
个单位长度得到函数
( )
y
g x
的图象，若3
为( )
g x 的一个
极值点，则实数的最小值为
A．7
4
B．3
2
C．2
D．5
4
2.若函数
2sin
0
y
x
的图象在区间
,
3 6
上只有一个极值点，则的取值范围为
A．
3
1
2
B．3
3
2
C．3
4
D．3
9
2
2
3.若函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+
𝜋
6)(𝜔> 0)在(
𝜋
2,𝜋)单调，且在(0,
𝜋
3)存在极值点，则𝜔的取值范围为
4.设函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥+ 𝜑)(𝜔> 0)，已知集合𝐴= {(𝑥0,𝑓(𝑥0))|𝑥0为𝑓(𝑥)的极值点}，𝐵{(𝑥,𝑦)|𝑥2
6 +
𝑦2
2 ≤1}，
若存在实数𝜑，使得集合𝐴∩𝐵中恰好有5个元素，则𝜔的取值范围是
A．[2
3
3 𝜋,5
3
6 𝜋) B．[2
3
3 𝜋,3
3
4 𝜋)
C．[3
3
4 𝜋,5
3
6 𝜋)
D．[3
3
4 𝜋,11
3
12 𝜋)
5.定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥) = 2sin 𝜔𝑥+ π
3 (𝜔> 0)在区间−
π
6 ,
π
6 内恰有两个零点和一个极值点，则𝜔的取
值范围是 .
6.将函数𝑓(𝑥) = sin 1
2 𝜔𝑥−π
6 (𝜔> 0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
4，纵坐标不变，得到函数𝑔(𝑥)
的图象．若𝑔(𝑥)在0, π
3 上有且仅有3 个极值点，则𝜔的取值范围为（ ）
A．5
2 ,
11
2
B．5
2 ,4 C．4,
11
2
D．11
2 ,7
模块三：综合巩固
1.将函数
2sin 2
0
3
f x
x
的图象向左平移6
个单位，得到函数
y
g x
的图象，若
y
g x
在0, 4
上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.函数
π
sin
(
0)
6
f x
x
在
2π
0, 3
单调递增，在2π ,2π
3
单调递减，则的值为（ ）
A．
1
2
B．1
C．2
D．7
2
3.已知函数
2
3sin
cos
cos
0
f x
x
x
x
，若函数f(x)在
,
2
π π
上单调递减，则实数ω 的取值范
围是（ ）
A．1 3
,
3 2
B．1 2
,
3 3
C．
1
0, 3
D．
2
0, 3
4.已知函数
sin
f
x
x
π
2
0,
，
π
4
x
为
f x 的零点，
π
4
x
为
y
f x
图象的对称轴，
且
f x 在区间
π
π
,
10 5
上单调，则的最大值为（ ）
A．9
B．5
C．7
D．3
5.已知函数f(x) = cos ωx−
π
3 (ω > 0)在π
6 ,
π
4 上单调递增，且当x ∈
π
4 ,
π
3 时，f(x) ≥0恒成立，
则ω的取值范围为（ ）
A．0,
5
2
∪
22
3 ,
17
2 B．0,
4
3
∪
8,
17
2
C．0,
4
3
∪
8,
28
3
D．0,
5
2
∪
22
3 ,8
6.已知函数
( )
sin
0
4
f x
x
在区间
0,π 恰有两条对称轴，则的取值范围（ ）
A．7 13
,
4
4
B．5 9
,
4 4
C．5 9
,
4 4
D．7 11
,
4 4
7.已知函数f(x) = 2
2cosωxsin(ωx +
π
4 )的图象在0,
1
2 上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω
的取值范围为 .
8.设
R
，函数
2
2sin
,
0
6
3
1
4
,
0
2
2
x
x
f x
x
x
x
，
g x
x
，若
f x 在
1,
3 2
上单调递增，且函数
f x
与
g x 的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A．
4
1 2
,0
,
3
4 3
B．
3 2
,
3
3
C．1
3
,
4
3
D．
4
4
1 2
,0
,
3
3
9.已知函数
sin
0
4
f x
x
在
0,2上有且只有4 个零点，则取值范围是（ ）
A．15 19
,
4
4
B．15 19
,
8
8
C．17 21
,
4
4
D．17 21
,
8
8
10.将函数
sin
0
f x
x
（）
（
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2 倍（纵坐标不变），再向左平移8
个
单位长度，得到函数g x
（）的图象，若g x
（）在2
（
，）上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．
1
0
]
4
（，
B．
5
0
]
8
（，
C．1 5
4 4
，
D．1 5
4 8
，
11.已知函数
( )
sin
(
0)
f x
x
在
2
5
[
,
]
3
6
上单调递增，且存在唯一
0
[0
x
，]
，使得
0
(
)
1
f x
，则实
数的取值范围为（ ）
A．1 3
[ , ]
2 5
B．1 3
[ , )
2 5
C．11 3
[
, ]
20 5
D．11 3
[
, )
20 5
12.已知函数
π
( )
tan(
)(
0)
3
f x
A
x
，若f x
（）在区间π
π
2
，
内单调递减，则的取值范围是
（ ）
A．
1
0 6
，
B．1 7
( , )
3 6
C．
1
1 7
(0, ]
[ , ]
6
3 6
D．
1
1 7
(0, )
( , )
6
3 6
13.已知函数
sin
6
f x
x
图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1
倍后，得到的函数在
0,2上恰
有5 个不同的x 值，使其取到最值，则正实数的取值范围是（ ）
A．13 8
6 3
，
B．13 8
6 3
，
C．31 8
12 3
，
D．31 8
12 3
，
14.将函数
π
sin
0
3
f
x
x
向右平移1
4 个周期后所得的图象在
π
0, 2
内有3 个最高点和2 个最低
点，则的取值范围是 ．
15．已知函数
π
sin
0
6
f x
x
在区间
5π π
,
6
2
上单调递增，且
f x 在区间
5π
0, 6
上只取得一
次最大值，则的取值范围为（ ）
A．1 1
,
5 2
B．2 1
,
5 2
C．1 4
,
5 5
D．2 2
,
5 3
16．若函数
π
2sin
,
0
3
f x
x
>
，
π
0, 2
x
的值域为
3,2
，则的取值范围是（ ）
A．
5,4
3
B．5 10
,
6
3
C．5 5
,
6 3
D．5 10
,
3
3
17．已知函数
π
sin
(
0)
3
f x
x
在区间π ,π
2
内不存在最值，且在区间π π
,
4 3
上，满足
3
2
f x
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
1
2 5
0,
,
3
3 6
B．
1
2
0,
,1
3
3
C．
1
1 5
0,
,
6
3 6
D．
1
1
0,
,1
6
3
18.把函数
2
1
cos
2
f x
x
的图象向左平移π
6 个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的
2
倍（
0
），纵坐标不变，得到函数
g x 的图象，若函数
g x 在
0,2 上有两个极值点、两个零点，
则的取值范围为（ ）
A．7π 4π
,
12
3
B．5π 4π
,
6
3
C．7π 13π
,
12
12
D．5π 13π
,
6
12
19.已知将函数
2sin
cos
3sin
(
0)
2
2
2
x
x
x
f x
的图象向右平移π
2个单位长度，得到函数
g x
的图象，若
g x 在
0,π 上有3 个极值点，则的取值范围为（ ）
A．5 ,
3
B．8 ,4
3
C．8 11
,
3 3
D．7 10
,
3
3
20.记函数f(x) = sin ωx +
π
6 （ω > 0）的最小正周期为T，给出下列三个命题：
甲：T > 3；
乙：f(x)在区间1
2 ,1 上单调递减；
丙：f(x)在区间(0,3)上恰有三个极值点．
若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是________（填“甲”、“已”或“丙”）；ω的取值范围是
________．
