7.4 复数的乘、除运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：复数的乘法运算............................................................. 2
考点二：复数代数形式的乘方....................................................... 2
考点三：共轭复数的性质............................................................. 2
考点四：复数的除法................................................................... 2
考点五：复数运算的常用技巧....................................................... 2
考点六：复数范围内方程的根....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：复数的乘法运算............................................................. 3
题型二：复数的除法运算............................................................. 4
题型三：复数的乘方运算............................................................. 5
题型四：复数范围内分解因式....................................................... 6
题型五：复数范围内方程的根....................................................... 7
题型六：复数乘除法运算求参数.................................................... 9
题型七：复数的四则运算求复数特征...............................................9
题型八：求共轭复数的特征........................................................ 10
题型九：复数四则运算的创新应用................................................11
模块三：综合巩固....................................................................... 12
7.4 复数的乘、除运算
模块一：基础知识
考点一：复数的乘法运算
1.复数的乘法法则
设
=a+bi，
=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把
换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
对于任意
,
,
∈C，有
①交换律：
=
；②结合律：(
)
=
(
)；③分配律：
(
+
)=
+
.
考点二：复数代数形式的乘方
1.复数的乘方
复数的乘方就是相同复数的乘积
2.复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的
1
2
,
,
z z z
C
，
,
m n
N
，有：
①
m
n
m n
z z
z
②(
)
m
n
mn
z
z
③
1 2
1
2
(
)n
n
n
z z
z z
考点三：共轭复数的性质
设z
a
bi
，z
a
bi
（,a b
R
）
1
2
3
,
,
,
n
z z
z
z
C
①( )z
z
；②z
z
z
为实数；③z
z
且
0
z
z 为纯虚数
④
1
|
| 1
z
z
z
；⑤
2
z
z
a
，
2
z
z
bi
，
2
2
z z
a
b
考点四：复数的除法
1.定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除
以复数c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或
(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
2.复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=
=
=
=
+
i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
考点五：复数运算的常用技巧
1.复数常见运算小结论
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
2.常用公式
；
（a±bi）2=a2-b2±2ab；
.
考点六：复数范围内方程的根
若一元二次方程
+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当
>0 时，方程有两个不相等的实根
，
=
；当
=0 时，方程有两个相等的实根
=
=-
；当
<0 时，
方程有两个虚根
=
，
=
，且两个虚数根互为共轭复数.
模块二：题型分类
题型一：复数的乘法运算
1．已知复数
2
3i
4i
7
z
，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（
）
A．26
B．26
C．13
D．13
2．复数
1
2
2
i,
3 i
z
z
，则
1
2
z
z
（
）
A．7
i
B．7
i
C．5 5i
D．5 5i
3．复数
1z ，
2z 满足
1
2
2
z
z
，
1
2
2i
z
z
，则
1 2
z z （
）
A．2i
B．3i
C．2
D．3
4．若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足
1 i 1 2i
2
z
，则点A 在复平面内对应
坐标为（
）
A．
1,5
B．
5, 1
C．
1,1
D．(
)
1, 1
-
5．计算：
（1）
1 i
3
4i
；
（2）
1
2i
1
2i
；
（3）
3
i
3
2i
1 i
；
（4）
5
4i
1 3i
5
2i
．
6.已知
2
i
z
，则
i
z z
的虚部是（
）
A．2
B．2
C．2i
D．2i
7.已知复数
3
1 i
1 2i
z
(i 为虚数单位)，则z 的模等于
.
8.若复数z 满足
1
1
i z
i
，则复数z 的虚部是（
）
A．
2
2
B．
2
2 i
C．
2
2
D．
2
2 i
题型二：复数的除法运算
1．已知复数
3
2i
3
2i
z
，则z 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.复数
3
2i
1 i
z
，在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.i 是虚数单位，若复数
1
i
R
1
i
b
z
b
为纯虚数，则b
．
4．若复数1
i
2
i
a
为纯虚数，则实数a 的值为
．
5.计算．
(1)
6
1
i
2
3i
1 i
3
2i
；
(2)
4
1
3
2
2 i
．
(3)
1 4i 1 i
2
4i
3
4i
；
(4)
5
5
1 i
1 i
1 i
1 i
；
(5)
2022
2
2
4
8i
4
8i
2 3
i
2
1 i
1
2 3i
11
7i
.
6.已知i 是虚数单位，若复数�=
�+i
1+i �∈�的实部是虚部的2 倍，则�=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．−
1
2
D．
1
2
7．已知复数
i
1
3i
2i
z
，则复数z 的虚部是（
）
A．1
4
B．
1
4
C．1 i
4
D．
1 i
4
8.若
2021
i
2
i
z
，则z =（
）
A．1
2i
B．1
2i
C．1
2i
D．1
2i
9.若复数z 满足(1
2i)
3
i
z
，则z
10．设
,
m n 为实数，i 为虚数单位，已知复数
i
3
i
i
m
n
，
2 i
z
n
m
，则z
题型三：复数的乘方运算
1.设
2023
i
1
i
z
（i 为虚数单位），则z （
）
A．
2
2
B．
2
C．
1
2
D．2
2．若
1
i
z ，则
2z
z
（
）
A．1
i
B．1
3i
C．1 i
D．1
3i
3．已知复数
2
2023
1
i
i
i
z
，则z （
）
A．0
B．1
C．
2
D．
3
4.复数
3
1
i
2
i
z
的虚部是（
）
A．i
B．1
C．3i
D．-3
5．复数
3
3
i
1 i
z
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四像限
6.已知复数z 满足：
2023
3
i
3
i
z
，则z （
）
A．1
B．5
C．2 5
D．5
7.设复数z 对应的点在第四象限，则复数
1016
(1 i)
z
对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．
2003
1 i
1
i
（
）
A．1
B．i
C．1
D．i
9．已知
7
2
2
i
(1 i)
z
，则z 在复平面内对应的点的坐标为（
）
A．
1 ,1
2
B．
1 ,1
2
C．1 , 1
2
D．
1
1, 2
10．已知复数
2
3i
3
2i
z
，则复数
2
3
4
z
z
z
z
（
）
A．1
B．i
C．0
D．i
11.已知复数z 满足
2023
i
1
2i
z
（i 为虚数单位），则z （
）
A．3
B．
3
C．5
D．5
题型四：复数范围内分解因式
1.在复数范围内分解因式：
(1)x2＋4
(2)x4－4
2.（1）已知复数�满足�1 + i = 3 + i，求�；
（2）在复数范围内因式分解：�2 −2�+ 2.
3.在复数范围内分解因式：
(1)�2 + 8；
(2)�2 −2�+ 3；
(3)3�2 −2�+ 1.
4.在复数范围内分解因式：
(1)�4 −�4
(2)�2 + 4
(3)�2 + 2�+ 5
(4)�2 + �2 + �2 + 2��
5．多项式
2
2
4
x
x
在复数集中因式分解的结果是（
）
A．
1
3i
1
3i
x
x
B．
1
3i
1
3i
x
x
C．
1
3i
1
3i
x
x
D．
1
3i
1
3i
x
x
6．在复数范围内分解因式：
4
2
6
7
x
x
．
题型五：复数范围内方程的根
1.方程
2
1
0
x
的一个解可以是（
）
A．0
B．i
C．1
D．1
2．已知i 为虚数单位，i
2
是关于x 的方程
2
5
0
x
px
的一个根，则实数p （
）
A．2
B．3
C．4
D．5
3.已知复数z 是一元二次方程
2
2
4
0
x
x
的一个根，则|z|的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．
2
4.在复数范围内方程
2
2
2
0
x
x
的根为
1
x ，
2
x ，则
1x （
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．1
5.已知2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
x
px
q
的一个根，则实数p，q 的值分别为
.
6.已知i 是虚数单位，2i
3
是关于x 的方程
2
2
0
,
x
px
q
p q
R 的一个根，则p
q
.
7．若z 是方程
2
1
0
x
x
的一个虚数根，则
2z
z
（
）
A．0
B．-1
C．
3i
D．-1 或
3i
8．在复数范围内，
1
2
,
z z 是方程
3
2
1
0
z
z
z
的两个不同的复数根，则
1
2
z
z
的值为（
）
A．1
B．
2
C．2
D．
2 或2
9．若
1
3 i
2
2
是关于x 的实系数方程
2
1
0
ax
bx
的一个复数根，且
i
z
a
b
，则1
z
z
（
）
A．1
3i
5
5
B．1
3
5
5i
C．3
1 i
5
5
D．3
1 i
5
5
10.已知复数�1，�2在复平面内对应的点分别为�2,3 ，��, −4 ，其中�∈�．
(1)若m＝1，求�1 −�2 ；
(2)若�2是关于x 的方程�2 + 2�+ 17 = 0 的一个复数根，求m 的值及�2．
11.已知复数�= 4 + �i，其中�是正实数，�是虚数单位．
(1)如果�3�+ �i 为纯虚数，求实数�的值；
(2)如果�= 2，�1 =
�
1−i是关于�的方程�2 + ��+ �= 0(�, �∈R)的一个复根，求�+ �的值．
12.设常数�∈R，已知关于�的方程�2 + ��+ 2 = 0.
(1)若�= 2，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为�、�，且�−�= 1，求�的值.
13.在①�2�2 = 10 �> 0 ；②复平面上表示
�1
�2的点在直线�+ 2�= 0 上；③�1 �−i > 0 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数�1 = 1 + i，�2 = �+ 3i �∈R （i 为虚数单位），满足____.
(1)若�= �1 + �2，求复数�以及�；
(2)若�2是实系数一元二次方程�2 + ��+ 4 −3�= 0 的根，求实数�的值.
题型六：复数乘除法运算求参数
1.若1 + i
�+ i =−5 + �i，其中�, �∈�，则�=（
）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
2.已知复数�= �+ �i（�,�∈R），且
�i
1+i = 1 + 2i，则ab=（
）
A．-9
B．9
C．-3
D．3
3.已知i 为虚数单位，若
1
1+i = �−�i �, �∈�，则��=（
）
A．1
B．
2
2
C．2
D．2
4.设复数
1 2i
i
R ,
z
a
a
z
的实部与虚部互为相反数，则
a
（
）
A．3
B．
1
3
C．2
D．3
5.已知i 是虚数单位，若复数
i
1 i
a
z
a
R 的实部是虚部的2 倍，则
a
（
）
A．
1
3
B．1
3
C．
1
2
D．
1
2
6.（1）若复数
2
2
2
3
5
6
i
z
m
m
m
m
是纯虚数，求实数m 的值；
（2）若复数z 满足：
i
1
i
z z
z
z
，求复数z .
题型七：复数的四则运算求复数特征
1.设复数z 的共轭复数为�、复数z 满足1 + i =
2−4i
�（i 为虚数单位），则�的虚部为（
）
A．3
B．−3
C．3i
D．−3i
2．设复数z 的共轭复数为z 、复数z 满足
2
4i
1
i
z
（i 为虚数单位），则z 的虚部为（
）
A．3
B．3
C．3i
D．3i
3．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若
2 i
z
，则
i
z
z
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．设复数
1 2i
i
R ,
z
a
a
z
的实部与虚部互为相反数，则
a
（
）
A．3
B．
1
3
C．2
D．3
5．已知复数z 满足
2
2
1
i
1
i
z
a
，a R ，则z 为实数的一个充分条件是（
）
A．
2
a
B．
2
a
C．
1
a
D．
2
a
6．已知a，b 为实数，复数
2i
z
a
，若
2 i
z
b
a
z
，则|
|
a
b
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
7.解答下列各题：
(1)已知z 是复数，
3i
z
为实数，
5i
2
i
z
为纯虚数（i 为虚数单位），求复数z；
(2)已知复数
2
1 i
3i
2i 1
z
m
m
，实数m 为何值时，复数z 表示的点位于第四象限．
8.已知复数
i
R
z
b
b
（
，i 是虚数单位），
3
1
i
z
是实数.
(1)求b 的值；
(2)若复数
2
8
m
z
m
在复平面内对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.
题型八：求共轭复数的特征
1．已知复数
|
3
i |
3
i
z
，则z （
）
A．3
1i
5
5
B．
3
1 i
5
5
C．6
2 i
5
5
D．
6
2 i
5
5
2.已知
3
4
1 i
z
（i 为虚数单位），则z
z
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
3.已知复数
i
R
z
a
a
满足
2
z z
，则a 的值为
.
4．已知
1
i
z
i
，复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型九：复数四则运算的创新应用
1.已知集合
i
i
,
N
n
n
M
x x
n
∣
（其中i 为虚数单位），则满足条件的集合M 的个数为
.
2.复平面上两个点
1
2
,
Z Z 分别对应两个复数
1
2
,
z z ，它们满足下列两个条件：①
2
1 2i
z
z
；②两点
1
2
,
Z Z 连
线的中点对应的复数为3
4i
，若O为坐标原点，则
1
2
Z OZ
△
的面积为
3.欧拉公式
ie
cos
isin
（其中e
2.718
,i
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建
立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉
公式，下列结论中正确的是（）
A．
iπ
e 的实部为1
B．
iπ
e 的共轭复数为1
C．
2i
e 在复平面内对应的点在第一象限
D．
2i
e 的模长为1
4.已知复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R ，其中i 为虚数单位，且满足
2
z
，且
1
z 为纯虚数.
(1)若复数
i
z
x
y
，
,
x
y
R
R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求
3
2i
z
；
(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程
2
0
,
R
x
mx
n
m n
的一个根，求实数m，n 的值.
5．在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real 的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary
Quantity，一般取Imaginary 的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：
Re 1 2i
1,Im 1 2i
2
.已知复
数是方程
2
1
0
x
x
的解.
(1)若
Im
0
，求证
2
；
(2)若
Im
0
，复数
i
,
R
z
a
b a b
且满足
3
z
，在复平面内z 对应的点为Z ，当
2
z
取得最大值
时，求点Z 的坐标.
6．设
1z ，
2z ，
3z ，L，
nz 为n个复数．
(1)如果
1
2
1
n
z
z
z
，求证：
1
2
1
2
1
1
1
n
n
z
z
z
z
z
z
；
(2)若
1
2
0
n
z
z
z
，则有什么样的结果？
模块三：综合巩固
1.设�=
2+i
i 1+i ，则�+ �=（
）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
2.已知复数z 满足
2i 1 i
2
z
，则z （
）
A．13
B．10
C．3
D．2
3.复数
1
i
i
1
i
z
，则z （
）
A．1
B．
2
C．2
D．4
4.已知2
i
1
i
z
，则z （
）
A．1
i
B．1 i
C．3 i
D．3
i
5.若复数2
i
5
i
i
m
为纯虚数，则m （
）
A．5
B．5
C．3
D．3
6.已知
R
a
，
R
b
，且
3i
1
2i
1
i
a
b
，则
i
a
b
（
）
A．
2
B．2
C．10
D．10
7.已知复数z 满足
1
i
5i
z
z
，则
1
z
（
）
A．3
B．2
C．
2
D．1
8.若复数
3
4i
1
2i
z
，则z （
）
A．5
B．5 5
C．10
D．10 5
9.设复数
i
0
R
z
x
y
x
y
，
，且满足
2
18i
z
，则z （
）
A．3
2i
B．3
3i
C．3
2i
D．3
3i
10.已知复数
2π
3
cos
i
3
2
z
（i 为虚数单位），则复数
3z （
）
A．1
B．1
C．i
D．i
11.已知,
R
a b
，
2i
1
则“
1
a
b
”是“
2
i
2i
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
12.(多选)已知复数
2
i
z
，
1
i
z
x
y
（x ，y R ）（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正
确的是（
）
A．z 的虚部为i
B．
2
2
|
|
z
z
C．|
|
1
|
|
z
z
D．若
1
1
z
z
-
£ ，则在复平面内
1z 对应的点形成的图形的面积为π
13.(多选)若复数z 满足
2023
2
i
i
2
z
（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（
）
A．
5
2
z
B．z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第四象限
C．z 的虚部为i
2
D．
2
5
i
4
z
14.已知复数2
i
2i 1
a
是纯虚数，则实数
a
.
15.已知a 为实数，若复数
2
1
1 i
z
a
a
为纯虚数，则
2023
i
1
i
a
的值为
.
16.若复数：
2
3
10
i
i
i
i
z
，则z z
．
17.已知复数
1
2
1 i,
2 cos15
isin15
Z
Z
，则
1
2
Z
Z
.
18.计算：
(1)
1 i 1 i
1 i
；
(2)
2
1
2i
3 1 i
2
i
.
19.计算下列各题:
(1)
1
3
3
1
i
i
1
i
2
2
2
2
；
(2) 3
2i
3
2i
2
3i
2
3i
.
20.（1）已知复数
2 1 i +
3-5i + 2-14i
z
m
m
，
R
m
．i 是虚数单位，若z 是纯虚数，求m 的值；
（2）i 是虚数单位，
1
1
2
z
i
，
2
2
i
z
，若
1
2
2
1
1
z
z
z
，求复数z．
21．已知关于x 的方程
2
(6
i)
9
i
0(
R)
x
x
a
a
有实数根b .
(1)求实数,a b 的值；
(2)若复数z 满足|
i | 2 |
| 0
z
a
b
z
，求当z 为何值时，|
|
z 有最小值，并求出|
|
z 的最小值.
