5.5 导函数与构造函数法应用
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：关系式为“加”型构造....................................................2
考点二：关系式为“减”型构造.................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：f(x)与g(x)的构造.......................................................... 2
题型二：构造f(x)±一次或二次函数.............................................. 4
题型三：构造f(x)·x
n型函数.........................................................5
题型四：构造f(x)/x
n型函数........................................................ 7
题型五：指数型构造：f(x)·e
nx型函数.............................................9
题型六：构造f(x)/e
nx型函数......................................................11
题型七：构造f(x)与a
x型函数.................................................... 12
题型八：构造f(x)与lnx 型函数..................................................14
题型九：构造f(x)与三角型函数.................................................. 16
题型十：其他类型的函数构造......................................................19
题型十一：换元构造................................................................. 21
题型十二：双元构造................................................................. 23
模块三：综合巩固....................................................................... 25
5.5 导函数与构造函数法应用
模块一：基础知识
考点一：关系式为“加”型构造
关系式为“加”型的构造，一般需要依据题干已知中的关系式，反向构造成一个相乘关系的原函数。
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
考点二：关系式为“减”型构造
关系式为“减”型的构造，一般需要依据题干已知中的关系式，反向构造成一个相比关系的原函数。
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
模块二：题型分类
题型一：f(x)与g(x)的构造
【例题】设
( ), ( )
f x g x 是R 上的可导函数，( ),
( )
f
x g x
分别为
( ), ( )
f x g x 的导函数，且
( ) ( )
( )
( )
0
f
x g x
f x g x
，
则当a
x
b
时，有（
）
A．
( ) ( )
( ) ( )
f x g b
f b g x
B．
( ) ( )
( ) ( )
f x g a
f a g x
C．
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f b g b
D．
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f a g a
【答案】C
【解析】∵
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0
[
]
f x g x
f
x g x
f x g x
，
∴函数
( ) ( )
y
f x g x
是R 上的减函数．
∴当a
x
b
时，
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f a g a
f x g x
f b g b
，故选：C.
1.设函数
f x ，
g x 在R 上的导函数存在，且
f
x
g
x
恒成立，则当
,
x
a b
时，下列不等式中一
定成立的是（
）
A．
f x
g x
B．
f x
g x
C．
f
x
g a
g x
f a
D．
f
x
g b
g x
f b
【答案】C
【解析】令
F x
f x
g x
，则
0
F
x
f
x
g
x
，
则
F x
f x
g x
在区间
,a b 上是增函数，故
F a
F x
F b
，
即
f a
g a
f
x
g x
f b
g b
，
则
f
x
g a
g x
f a
，
f x
g b
g x
f b
，
所以C 正确，D 错误，A，B 不一定正确.故选：C．
2.设函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0 时，( ) ( )
( )
( )
0
f
x g x
f x g x
，且(3)
0
g
，
则不等式f(x)g(x)>0 的解集是（
）
A．
3,0
3,
B．
3,0
0,3
C．
, 3
3,
D．
, 3
0,3
【答案】A
【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当x<0 时，
( )
0
F x
，
所以F(x)在
,0
上单调递增．
又因为f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，
(
)
(
) (
)
( ) ( )
( )
F
x
f
x g
x
f x g x
F x
，所以F(x)是定义在R 上的奇函数，
从而F(x)在
0,
上单调递增．
而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，
当
0
x
时，f(x)g(x)>0 的解为
3
x
；当
0
x
时，f(x)g(x)>0 的解为3
0
x
；
综上可知不等式f(x)g(x)>0 的解集为
3,0
3,
.故选：A.
3.设
,
f
x
g x 在R 上的导函数均存在，
0
f x
，且
f
x g x
f x g
x
，当
,
x
a b
时，下列结论一
定正确的是（
A．
f x
g x
B．
f x
g x
C．
g x f b
f x g b
D．
g x f a
f x g a
【答案】C
【解析】因为
0
f x
，不妨设
g x
F x
f x
，
,
x
a b
，
则
2
0
g
x f x
f
x g x
F
x
f x
，所以
F x 在
,a b 上单调递增，
因为
g x
F x
f
x
与1 的大小不确定，
所以无法比较
,
f
x
g x 的大小关系，故A、B 无法判断；
则
F x
F a
，即
g x
g a
f
x
f a
，
且
0
f x
，则
g x f a
f
x g a
，故D 错误；
由
F x
F b
，即
g x
g b
f
x
f b
，
且
0
f x
，则
g x f b
f x g b
，C 正确；故选：C．
4.已知函数
f
x 、
g x 是定义域为R 的可导函数，且
x
R ，都有
0
f x
，
0
g x
，若
f
x 、
g x
满足
f
x
g
x
f x
g x
，则当
1
2
x
x
x
时下列选项一定成立的是（
）
A．
2
1
1
2
f x
g x
f x
g x
B．
1
1
f x g x
f x
g x
C．
2
2
2
1
1
1
f x
g x
g x
f x
g x
g x
D．
2
1
2
2
1
2
f x
f x
f x
g x
g x
g x
【答案】D
【解析】由题意：
0
f
x
g
x
f
x g x
f x g
x
f x
g x
，
设
f x
F x
g x
，则
2
f
x g x
f x g
x
F
x
g
x
，
由
0
f
x g x
f x g
x
得
0
F
x
，
因为
1
2
x
x
x
，所以
2
1
2
1
f x
f x
f x
g x
g x
g x
，
又
f
x 、
g x 是定义域为R 的恒大于0 的可导函数，
故
1
1
f x g x
f x
g x
，B 错误，
2
1
1
2
f x
g x
f x
g x
，A 错误；
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
f x
f x
f x
f x
f x
g x
f x
g x
g x
g x
g x
g x
g x
g x
，
因为
2
2
f x
g x
，
1
1
f x
g x
不知道正负，所以C 不一定成立；
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
f x
f x
g x
f x
g x
g x
f x
f x
g x
g x
g x
f x
g x
f x
，
即
2
1
2
2
1
2
f x
f x
f x
g x
g x
g x
，D 正确.故选：D.
题型二：构造f(x)±一次或二次函数
1.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且对任意
R
x
都有
2
f
x
，
2
0
f
，则不等式
2
4
0
f x
x
的解集为（
）
A．
2,
B．
1,
C．
,1
D．
,2
【答案】A
【解析】令
2
4
g x
f
x
x
，则
2
0
g
x
f
x
，所以
g x 在R 上递增，
又
2
2
2 2
4
0
g
f
，
则不等式
2
4
0
f x
x
等价于
2
g x
g
，所以
2
x
，故选：A
2.已知函数
f
x 是定义在R 上的可导函数，且满足
0
f
x
f x
，
1
f
x
，
1
2
f
，则不等式
1
f x
x
的解集是（
）
A．
1,
B．
1,
C．
2,
D．
3,
【答案】C
【解析】构造函数
F x
f
x
x
，因为
1
f
x
，所以
1
0
F
x
f
x
，
可知函数
F x 在R 上单调递增，
1
1
1
1
1 1
F
f
f
，
不等式
1
f x
x
化为
1
1
1
f x
x
，即
1
1
F x
F
，
由单调递增可得
1
1
x ，即
2
x
.故选: C.
3.已知函数
( )(
)
f x xR 满足
1
1
f
，且
f
x 的导函数
1
( )
2
f
x
，则
1
( )
2
2
x
f x
的解集为（
）
A．
,0
B．
,1
C．
0,
D．
1,
【答案】D
【解析】设
1
2
F x
f
x
x
，则
1
2
F
x
f
x
，
因为
1
( )
2
f
x
，所以
1
0
2
F
x
f
x
，即函数
F x 在R 上单调递减，
则
1
( )
2
2
x
f x
，即
1
1
2
2
x
f x
f
，即
1
F x
F
，
所以
1
x ，即
1
( )
2
2
x
f x
的解集为
1,.故选：D
4.已知函数
f
x ，对任意的xR ，都有
2
f x
f
x
x
，当
0,
x
时，
1
0
f
x
x
，若
2
4
4
f
a
f a
a
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
1,
C．
,0
D．
,1
【答案】B
【解析】令
2
1
2
g x
f x
x
x
，则
2
1
2
g
x
f
x
x
x
，
可得
2
0
g x
g
x
f x
f
x
x
，
即
g
x
g x
，所以
g x 为R 上的奇函数，
因为
0,
x
时，
1
0
f
x
x
，可得
1
0
g
x
f
x
x
，
所以
g x 在
0,
为单调递减函数，且
0
0
g
，
所以函数
g x 在
,
上为单调递减函数，
由不等式
2
4
4
f
a
f a
a
，
可得
2
2
1
1
2
(2
)
(2
)
4
4
(2
)
(2
)
2
2
f
a
a
a
f a
a
a
a
整理得到
2
2
1
1
2
(2
)
(2
)
2
2
f
a
a
a
f a
a
a
，
即
2
g
a
g a
，可得2
a
a
≤，解得
1
a ，
所以实数a 的取值范围为
1,.故选：B.
题型三：构造f(x)·x
n型函数
1.若函数
y
f x
满足
xf
x
f x
在R 上恒成立，且a
b
，则（
）
A．
af b
bf a
B．
af a
bf b
C．
af a
bf b
D．
af b
bf a
【答案】B
【解析】设
g x
xf
x
，则
0
g
x
xf
x
f
x
，
由
xf
x
f x
，可知
0
xf
x
f x
，所以
g x 在R 上是增函数，
又a
b
，所以
g a
g b
，即
af a
bf b
，故选：B.
2.设函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
( )
f
x
为其导函数．当
0
x
时，
( )
( )
0
xf
x
f x
，且
(1)
0
f
，则不
等式
( )
0
f x
的解集为（
）
A．
, 1
(
)
,
)
1(
B．(
, 1)
(0,1)
C．( 1,0)
(0,1)
D．( 1,0)
(1,
)
【答案】A
【解析】令
F x
xf x
，因为
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，则
F x
xf x
在R 上为奇函数，
0
F
x
f
x
xf
x
在
0,
上恒成立，故
F x
xf x
在
0,
上单调递增，
又
F x
xf x
在R 上为奇函数，故
F x
xf x
在
,0
上单调递增，
又
(1)
0
f
，则
( 1)
0
f
，故
1
1
0,
1
1
0
F
f
F
f
，
当
0
x
时，不等式
( )
0
f x
等价于
0
F x
，即
1
F x
F
，解得
1
x ，
当
0
x
时，不等式
( )
0
f x
等价于
0
F x
，即
1
F x
F
，解得
1
x ，
所以不等式
( )
0
f x
的解集为
, 1
(
)
,
)
1(
.故选：A
3.定义在R 上的偶函数
f
x 的导函数为
f
x
，且当
0
x
时，
2
0
xf
x
f
x
．则（
）
A．
2
e
2
4
e
f
f
B．
9
3
1
f
f
C．
4
2
9
3
f
f
D．
2
e
3
9
e
f
f
【答案】D
【解析】由当
0
x
时，
2
0
xf
x
f
x
，得
2
2
0
x f
x
xf
x
，
设
2
g x
x f x
，则
2
2
0
g
x
x f
x
xf
x
，
所以
2
g x
x f x
在
,0
上单调递增，
又函数
f
x 为偶函数，所以
2
g x
x f x
为偶函数，
所以
2
g x
x f x
在在
,0
上单调递增，在
0,
上单调递减，
所以
e
2
g
g
，即
2
2
e
e
2
2
f
f
，所以
2
e
2
4
e
f
f
，A 选项错误；
3
1
g
g
，即
2
2
3
3
1
1
f
f
，所以
9
3
1
f
f
，B 选项错误；
2
3
g
g
，即
2
2
2
2
3
3
f
f
，所以
4
2
9
3
f
f
，C 选项错误；
e
3
3
g
g
g
，即
2
2e
e
3
3
f
f
，所以
2
e
3
9
e
f
f
，D 选项正确；故选：D.
4.函数
f
x 是定义在区间(0,
)
上的可导函数，其导函数为
( )
f
x
，且满足
2
0
f
x
f
x
x
，则不等式
2023
2023
2
2
2
2023
x
f
x
f
x
的解集为（
）
A．
|
2021
x x
B．
|
2021
x x
C．
| 2023
0
x
x
D．
| 2023
2021
x
x
【答案】D
【解析】根据题意，
2 ( ),
0
g x
x f x x
，则导函数
2
2
g
x
x f
x
xf x
，
函数
f
x 在区间
0,
上，满足
2
0
f
x
f
x
x
，则有
2
2
0
x f
x
xf
x
，
所以
0
g
x
，即函数( )
g x 在区间
0, 上为增函数，
2
2
2023
2023
2
2
2023
2023
2
2
2
2023
x
f
x
f
x
f
x
f
x
，
所以
2023
(2)
g x
g
，
则有0
2023
2
x
，解得2023
2021
x
，
即此不等式的解集为
| 2023
2021
x
x
.故选：D
5.若
f
x 为R 上的奇函数，
f
x
为其导函数，当
0
x
时，
3
0
xf
x
f x
恒成立，则不等式
3
3
2
1
1 2
0
x f x
x
f
x
的解集为（
）
A．1,1
3
B．
1,3
C．
,1
3,
D．
1
,
1,
3
【答案】D
【解析】令
3
g x
x f
x
，则
2
3
2
3
3
g
x
x f x
x f
x
x
xf
x
f x
，
由题意知当
0
x
时，
0
g
x
，故
g x 在
0,
上单调递增．
因为
f
x 为奇函数，所以
3
3
3
g
x
x
f
x
x
f
x
x f
x
g x
，
即
g x 为偶函数，所以原不等式变为
2
1
g x
g
x
，所以
2
1
g x
g
x
，
所以
2
1
x
x
，解得
1
3
x
或
1
x ，
故原不等式的解集为
1
,
1,
3
.故选：D．
题型四：构造f(x)/x
n型函数
1.已知
f
x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，且
1
0
f
，则不等式
0
f
x
x
的解
集是
.
【答案】
, 1
0,1
【解析】令
f
x
g x
x
，所以
2
f
x x
f
x
g
x
x
，
因为当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，
0
g
x
，
g x 单调递增，
因为
f
x 为偶函数，所以
=
f x
f
x
，
所以
f
x
f
x
g
x
g x
x
x
，所以
g x 为奇函数，
所以
g x 在
,0
，
0,
上单调递增，
因为
1
0
f
，所以
1
0
f
，所以
1
1
0
g
g
，
若
0
x
，则
0
f
x
x
等价于
1
g x
g
，所以0
1
x
，
若
0
x
，则
0
f
x
x
等价于
1
g x
g
，所以
1
x .
综上所述，不等式
0
f
x
x
的解集是
, 1
0,1
.
2.已知
f
x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
0
xf
x
f x
，且
2
0
f
，则不等式
0
f
x
x
的
解集是（
）
A．
2,0
0,2
B．
, 2
2,
C．
2,0
2,
D．
, 2
0,2
【答案】C
【解析】∵
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
当
0
x
时，
'
2
( ) -
( )
0
xf
x
f x
x
，
∴
( )
f x
x
为增函数，
( )
f x 为偶函数，
( )
f x
x
为奇函数，
∴
( )
f x
x
在
,0
上为增函数，
∵
2
2
0
f
f
，
若
0
x
，
2
0
2
f
，所以
2
x
；
若
0
x
，
-2
0
-2
f
，
( )
f x
x
在
,0
上为增函数，可得2
0
x
，
综上得，不等式
( )
0
f x
x
的解集是
2,0
2,
.故选：C.
3.已知函数
f
x 的定义域为
,0
,其导函数
'f
x 满足
'
2
0
xf
x
f x
,则不等式
2
2023
2023
1
0
f x
x
f
的解集为（
）
A．( 2024, 2023)
B．( 2024,0)
C．(
, 2023)
D．(
, 2024)
【答案】A
【解析】由题意知，当
(
,0)
x
时，
'( )
2 ( )
0
xf
x
f x
，
设
2
( )
( )
f x
g x
x
，则
2
'
'
'
4
3
( )
2
( )
( )
2 ( )
( )
0
x f
x
xf x
xf
x
f x
g x
x
x
，
所以
g x 在(
,0)
上单调递减，
不等式
2
(
2023)
(
2023)
( 1)
0
f x
x
f
等价于
2
2
(
2023)
( 1)
(
2023)
1
f x
f
x
，
即为
(
2023)
( 1)
g x
g
，所以
2023
1
2023
0
x
x
，解得2024
2023
x
.故选：A.
4.已知奇函数
0
f x
x
的导函数为
f
x
，且满足
2
0
f
．当
0
x
时，
3 f x
xf
x
，则使得
0
f x
成立的x 的取值范围为（
）
A．
, 2
0,2
B．
2,0
2,
C．
, 2
2,
D．
2,0
0,2
【答案】A
【解析】令
3
f
x
F x
x
，则
3
2
6
4
3
3
x f
x
x f x
xf
x
f x
F
x
x
x
，
故当
0
x
时，
4
3
0
xf
x
f
x
F
x
x
恒成立，故
3
f
x
F x
x
在
0,
上单调递减，
又
0
f x
x
为奇函数，
2
0
f
，故
2
0
f
且
3
f
x
F x
x
定义域为
,0
0,
U
，
3
3
3
f
x
f x
f x
F
x
F x
x
x
x
，
故
3
f
x
F x
x
为偶函数，则
3
f
x
F x
x
在
,0
单调递增，且
2
2
0
F
F
，
当
0
x
时，要想使得
0
f x
，则要
0
F x
，故0
2
x
，
当
0
x
时，要想使得
0
f x
，则要
0
F x
，故<
2
x
，
故使得
0
f x
成立的x 的取值范围为
, 2
0,2
.故选：A
5.已知
g x 是定义域为R 的偶函数，
2
0
g
，当
0
x
时，
5
0
xg
x
g x
（
g
x
是
g x 的导函数），
则不等式
0
g x
的解集为（
）
A．
, 2
2,
B．
2, 1
1,2
C．
2, 1
1,2
D．
2,0
0,2
【答案】A
【解析】当
0
x
时，由
5
0
xg
x
g x
得
0
0
g
．当
0
x
时，
设
5
g x
f
x
x
，则
5
4
10
6
( )
5
( )
( )
5 ( )
( )
x g x
x g x
xg x
g x
f
x
x
x
．
∵当
0
x
时，
5
0
xg
x
g x
，
∴当
0
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，∴
f
x 在
0,
上单调递增．
∵
g x 是偶函数，∴
5
5
(
)
( )
(
)
( )
(
)
g
x
g x
f
x
f x
x
x
，
∴
f
x 是奇函数，∴
f
x 在
,0
上单调递增．
∵
2
0
g
，∴
5
(2)
( 2)
(2)
0
2
g
f
f
，
作出
f
x 的大致图象如图所示．
由
5
0
g x
x f
x
，得
0
0
x
f x
或
0
0
x
f x
，
数形结合可知不等式
0
g x
的解集为
, 2
2,
．
综上，不等式
0
g x
的解集为
, 2
2,
，故选：A．
题型五：指数型构造：f(x)·e
nx型函数
1.设函数
( )
f x 的定义域为R，
( )
f
x
是其导函数，若
( )
( )
0
f x
f
x
，(1)
1
f
，则不等式
1
( )
e
x
f x
的解集是
（
）
A．(0,
)
B．(1,
)
C．(
,0)
D．(0,1)
【答案】B
【解析】构造函数( )
( ) ex
g x
f x
，则
( )
[
( )
( )] e
0
x
g x
f
x
f x
，
故( )
g x 在R 上单调递增，(1)
e
g
，
1
( )
e
x
f x
可化为( )
e
(1)
g x
g
，
故原不等式的解集为(1,
)
，故选：B
2.已知
f
x
是定义在R 上的函数
f
x 的导函数，对于任意的实数x，都有
2e x
f
x
f x
，当
0
x
时，
0
f x
f
x
．若
2
1
1
e
3
a
f a
f
a
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1 1
,
2 4
B．
1 1
,
4 2
C．
1
1
,
,
2
4
D．
1
1
,
,
4
2
【答案】B
【解析】因为
2e x
f
x
f x
，所以
e
e
e
x
x
x
f
x
f
x
f
x
，
令
ex
g x
f
x
，则
g
x
g x
，所以
g x 为偶函数，
当
0
x
时，
0
f x
f
x
，
所以
e
0
x
g
x
f x
f
x
，所以函数
g x 在
0,
上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知
g x 在
,0
上单调递减，
因为
2
1
1
e
3
a
f a
f
a
，所以
1
3
e
1
e
3
a
a
f a
f
a
，
所以
1
3
g a
g
a
，即
1
3
a
a
，即
2
2
1
9
a
a
，
即
2
8
2
1
0
a
a
，则
4
1 2
1
0
a
a
，解得
1
1
4
2
a
.
故数a 的取值范围为：
1 1
,
4 2
故选：B.
3.已知
f
x
是函数
f
x 的导函数，
1
2e
2
f
，其中e是自然对数的底数，对任意xR ，恒有
2
0
f
x
f x
，则不等式
2 2
2e
0
x
f
x
的解集为（
）
A．
,e
B．
1
, 2
C．1 ,
2
D．
e,
【答案】C
【解析】依题意，令函数
2
( )
e
( )
x
g x
f x ，xR ，求导得
2
( )
e [
( )
2 ( )]
0
x
g x
f
x
f x
，
则函数( )
g x 在R 上单调递增，
2 2
2
2
2e
0
e
( )
2e
x
x
f x
f x
，
而
1
( )
2e
2
f
，则
2
1
1
( )
e
( )
2e
2
2
g
f
，因此有
1
( )
( )
2
g x
g
，解得
1
2
x
，
所以原不等式的解集为1
(
,
)
2 .故选：C
4.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且
3
0,
ln2
1
f
x
f
x
f
，则不等式
3e
8
x
f x
的
解集为（
）
A．
,2
B．
,ln2
C．
ln2,
D．
2,
【答案】B
【解析】令
3e ,
R
x
g x
f x
x
，
3
0
f x
f
x
，
3
3
3
e
3
e
e
3
0
x
x
x
g x
f
x
f
x
f
x
f
x
，
3e x
g x
f x
在R 上单调递减，
又
ln2
1
f
，
3ln2
ln2
ln2 e
8
g
f
，
不等式
3e
8
x
f x
可化为
ln2
g x
g
，
ln2
x
，故选：B.
题型六：构造f(x)/e
nx型函数
1.已知函数
f
x 及其导函数
f
x
定义域均为R ，且
0
f x
f
x
，
0
e
f
，则关于x 的不等式
1
ex
f x
的解集为（
）
A．
0
x x
B．
0
x x
C．
e
x x
D．
e
x x
【答案】B
【解析】设
( )
ex
x
f
g
x
，则
( )
( )
0
ex
f
x
f x
g
x
，所以
g x 在R 上单调递减，
又
0
(0)
0
e
e
f
g
，原不等式
1
ex
f x
可化为
1
e
e
x
x
g x
，即
e
0
g x
g
，
所以
0
x
，即不等式
1
ex
f x
的解集为
0
x x
.故选：B.
2.已知
f
x 是可导函数，且
f
x
f x
对于xR 恒成立，则（
）
A．
(1)
e (0)
f
f
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
B．
(1)
(0)
f
ef
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
C．
(1)
(0)
f
ef
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
D．
(1)
e (0)
f
f
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
【答案】D
【解析】设
( )
( )
ex
f x
g x
，则
( )
( )
( )
ex
f
x
f x
g x
，
由已知
f
x
f x
得
( )
0
g x
，所以( )
g x 是R 上的减函数，
∴(0)
(1)
(2023)
g
g
g
，即
2023
(1)
(2023)
(0)
e
e
f
f
f
，
即
(1)
e (0)
f
f
，
2023
(2023)
e
(0)
f
f
，故选：D．
3.已知
f
x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为
f
x
，对
x
R 时，有
2
0
f
x
f x
，则不等式
2
4042
2023
e
2
0
x
f x
f
（其中e 为自然对数的底数）的解集为（
）
A．
2021,
B．
2025,
C．
, 2021
D．
, 2025
【答案】C
【解析】设
2e x
f
x
g x
，x
R
，因为
2
0
f
x
f x
，
所以
2
2
2
2
2
e
2e
2
0
e
e
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
g
x
，
所以
2e x
f
x
g x
在xR 上单调递增，
因为
2
4042
2023
e
2
0
x
f x
f
，
所以
2
4046
4
2023
2
e
e
x
f
x
f
，即
2023
2
x
，解得
2021
x
.故选：C.
4.已知定义在
2,2
上的函数
f
x 导函数为
f
x
，若
4
2
e
0,
1
e
x
f
x
f
x
f
且当
0
x
时，
2
f
x
f x
，则不等式
2
4
e
2
e
x f
x
的解集为（
）
A．
1,4
B．
2,1
C．
0,4
D．
0,1
【答案】A
【解析】令
2e x
f
x
g x
则由
4e
0
x
f x
f
x
得
4
2
2
2
e
0
e
e
e
x
x
x
x
f x
f
x
f x
f
x
g x
g
x
，
所以
g x 为奇函数，
又
2
2
x
f
x
f
x
g
x
e
，所以当
0
x
时，
0,
g
x
g x
单调递增，
所以
g x 在
2,2
上单调递增，
又
2
1
1
1
e
f
g
，所以
2
4
2 2
2
e
2
e
1
2
1
e
x
x
f
x
f
x
g
x
g
，
所以
2
2
2
2
1
x
x
，解得1
4
x
，故选：A
题型七：构造f(x)与a
x型函数
1.已知函数
f
x 是R 上的奇函数，对任意的xR 均有
ln3
f
x
f
x
成立.若
1
1
f
，则不等式
1
3x
f
x
的解集为（
）
A．{
1}
x x
∣
B．{
1}
∣
x x
C．{
1}
x x
∣
D．{
1}
x x
∣
【答案】B
【解析】由
ln3
f
x
f
x
，得
( )
( )ln 3
0
f
x
f x
，
设
3x
f
x
g x
，则
ln3
0
3x
f
x
f
x
g
x
，
g x
在R 上单调递增.
又
1
1,
f
f
x
为奇函数，
1
1
1
1
1
1.
1
1,
1
3
3
f
f
f
f
g
.
1
1
3
1
1
3
3
x
x
f
x
f
x
g x
g
x
.故选：B.
2.已知定义在R 上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，
ln 2
0
f
x
f
x
，则下列不等关系成立的是（
）
A．
2
1
0
f
f
B．
1
2
2
f
f
C．
2
5
log 5
4
2
f
f
D．
2
3
log 3
2
1
f
f
【答案】C
【解析】设
2x
h x
f x
，则
2
2
ln 2
2
ln 2
x
x
x
h x
f
x
f x
f
x
f x
，
又
ln 2
0
f
x
f
x
，2
0
x
，所以
0
h x
，所以
h x 在
,
上单调递减，
由1>0 可得
2
1
0
f
f
，故A 错；
由2>1 可得
2
2
2
2
1
f
f
，即
2
2
1
f
f
，故B 错；
由
2
log 5
2
，∴
2
log 5
2
h
h
∴
2
5 log 5
4
2
f
，故C 正确；
因为
2
log 3
1
，所以
2
log 3
1
h
h
．得
2
3
log 3
2
1
f
f
，故D 错误故选：C
3.函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，对任意的xR ，都有
ln 2
f
x
f x
成立，则（
）
A．
4
3
5
f
f
B．
4
3
5
f
f
C．
4
3
5
f
f
D．
4
3
f
与
(5)
f
大小关系不确定
【答案】B
【解析】构造函数
2x
f
x
h x
，则
'
2
2
2 ln2
ln2
0
2
2
x
x
x
x
f
x
f x
f
x
f x
h x
，
故函数
h x 是R 上的增函数，∴
3
5
h
h
，即
3
5
3
5
2
2
f
f
，则
4
3
5
f
f
．故选：B
4.已知
f
x 是R 上的奇函数，且对任意的xR 均有
0
ln 3
f
x
f
x
成立．若
1
1
f
，则不等式
13
x
f x
的解集为（
）
A．
, 1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
【答案】B
【解析】由
0
ln 3
f
x
f
x
得
ln3
0
f
x
f x
．
令
3x
g x
f x
，则
3
ln 3
0
x
g
x
f
x
f
x
，
所以
g x 在R 上单调递增，
又
1
1
f
，
f
x 为奇函数，所以
1
1
f
，
1
3
1
3
g
f
，
则
13
3
3
1
1
x
x
f x
f x
g x
g
x
．故选：B.
5.（多选）定义在R 上的函数
f
x 使不等式
2
2
ln3
2
0
f
x
f
x
恒成立，其中
f
x
是
f
x 的导函数，
则(
)
A．
2
3
0
f
f
B．
2
3
0
f
f
C．
2
9
2
f
f
D．
0
3
2
f
f
【答案】AC
【解析】令
2
3x
f
x
g x
，则
2
2
2
3
3
2
ln 3
3
x
x
x
f
x
f
x
g
x
2
2
2
ln 3
3x
f
x
f
x
，
由
2
2
ln3
2
0
f
x
f
x
可得
0
g
x
，故
g x 在R 上单调递增，
故
1
0
1
g
g
g
，即
0
1
2
0
2
3
3
3
f
f
f
，
故
2
3
0
9
2
f
f
f
，
又
0
f
、
2
f
与0 的大小关系不确定，∴B、D 不一定正确，故选：AC．
题型八：构造f(x)与lnx 型函数
1.已知函数
f
x
是奇函数
f x
xR 的导函数，且满足
0
x
时，
1
ln
0
x f
x
f
x
x
，则不等式
985
0
x
f x
的解集为（
）
A．
985,
B．
985,985
C．
985,0
D．
0,985
【答案】D
【解析】令函数
ln
g x
x f x
，则
1
ln
0
g
x
f
x
x f
x
x
，即当
0
x
时，函数
g x 单调递减，
因为1
0
g
，所以当0
1
x
时，
0
g x
，当
1
x 时，
0
g x
.
因为当0
1
x
时，ln
0
x
，当
1
x 时，ln
0
x
，所以当
0,1
1,
x
时，
0
f x
.
又
1 ln1
1
0
f
f
，
1
0
f
，所以当
0
x
时，
0
f x
；
又
f
x 为奇函数，所以当
0
x
时，
0
f x
，
所以不等式
985
0
x
f x
可化为
0
985
0
x
x
或
0
985
0
x
x
，解得0
985
x
，
所以不等式的解集为
0,985 ，故选：D.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
2.设
f
x
是定义在R 上的连续奇函数
f
x 的导函数，当
0
x
时，
1
ln x f
x
f x
x
，则使得
2
2
0
x
x f x
成立的x 的取值范围是（
）．
A．
,0
2,
B．
,2
C．
0,2
D．
2,
【答案】B
【解析】令
ln
,
0
g
x
x
f
x
x
.
则
1
ln
0
g
x
x f
x
f x
x
，所以
g x 在
0,
上单调递减.
又1
0
g
，所以当
0,1
x
时，
0
g x
，而ln
0
x
，所以
0
f x
；
所以当
1,
x
时，
0
g x
，而ln
0
x
，所以
0
f x
.
在
1
ln x f
x
f
x
x
中，令x=1 可得：
1
0
f
.
所以当
0,
x
时都要
0
f x
.
又
f
x 是定义在R 上的连续奇函数，所以
0
0
f
，当
,0
x
时，
0
f x
.
所以
2
2
0
x
x f
x
可化为：
2
0
2
0
x
x
x
或
0
x
或
2
0
2
0
x
x
x
，
解得：0
2
x
或
0
x
或
0
x
.
综上所述：
2
x
.故选：B
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
3.函数
f
x 的导函数
f
x
，对任意
0,
x
，
3
ln
3
x
x
f
x
f x
，则（
）
A．
2
2
e
e
f
f
B．
2
2
e
e
f
f
C．
2
2
e
e
f
f
D．
2
e
f
与
2e
f
的大小不确定
【答案】C
【解析】∵
3
ln
3
0
x
x
f
x
f x
，
∴
3 ln
3
0
x
xf
x
f x
，∴
ln
0
f
x
xf
x
x
，
令
ln
f
x
F x
x
，则
2
ln
ln
0
ln
x
f
x
x
x
F
x
x
，
∴
F x 在
0,
上单调递增，
∴
2
e
e
F
F
，即
2e
e
ln e
2ln e
f
f
，∴
2
2
e
e
f
f
，故选：C.
4.已知函数
f
x 的定义域为
0,
，
f
x
为函数
f
x 的导函数，若
2
1
x f
x
xf x
，
1
0
f
，则
不等式
2
3
x
f
的解集为（
）
A．
0,2
B．
2
log 3,2
C．
2
log 3,
D．
2,
【答案】D
【解析】由题意得，
1
xf
x
f
x
x
，即
ln
xf
x
x
c
，
所以
ln
xf x
x
c
，即
ln x
c
f
x
x
x
，
又
1
0
f
，所以
0
c =
，故
ln x
f
x
x
，
2
1
ln
( )
0
x
f
x
x
，可得
e
x，
在(0,e)上，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增；在(e,
)
上，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减，
所以
( )
f x 的极大值为
1
(e)= e
f
.简图如下：
所以
0
f x
，2
3
1
x
，
2
x
.故选：D.
5.已知定义在
0,
上的函数
f
x 的导数为
f
x
，且满足
2
ln
2
f
x
x x
f x
，则（
）
A．
3
2
6
e
2
e
3
e
f
f
f
B．
2
3
6
e
3
e
2
e
f
f
f
C．
2
3
6
e
3
e
2
e
f
f
f
D．
3
2
6
e
2
e
3
e
f
f
f
【答案】B
【解析】令
2
ln
f
x
g x
x
，则
2
2
2
ln
2
ln
f
x
x x
f x
g
x
x
x
，
2
ln
2
f
x
x x
f
x
，
0
g
x
，故函数
g x 在
0,
递增，
故
2
3
e
e
e
g
g
g
，故
2
3
6
e
3
e
2
e
f
f
f
，故选：B.
题型九：构造f(x)与三角型函数
1.已知偶函数
y
f x
满足
cos
sin
0
x f
x
x f x
对
π
0, 2
x
恒成立，下列正确的是（
）
A．
π
π
2
4
3
f
f
B．
π
6
π
4
2
6
f
f
C．
π
3
π
6
3
3
f
f
D．
π
2
0
4
f
f
【答案】A
【解析】因为
y
f x
为偶函数，则
f
x
f x
，
令
cos
g x
x f x
，则
cos
cos
g
x
x
f
x
x f x
，
所以
cos
g x
x f x
为偶函数，
又
cos
sin
g
x
x f
x
x f x
，则当
π
0, 2
x
时
0
g
x
，
所以
g x 在
π
0, 2
上单调递增，则
π
π
π
0
6
4
3
g
g
g
g
，
所以
c
3
π
π
π
π
cos
os
4
4
3
f
f
，即
π
π
2
4
3
f
f
，故A 正确；
π
π
π
π
cos
cos
6
4
4
6 f
f
，即
3
π
2
π
2
6
2
4
f
f
，
则
π
6
π
4
2
6
f
f
，即
π
6
π
4
2
6
f
f
，故B 错误；
π
π
π
π
cos
cos
6
3
3
6 f
f
，即
3
3
π
1
π
2
6
2
f
f
，
则
π
3
π
6
3
3
f
f
，即
π
3
π
6
3
3
f
f
，故C 错误；
π
π
cos0
0
cos 4
4
f
f
，即
2
π
0
2
4
f
f
，
则
π
2
0
4
f
f
，即
π
2
0
4
f
f
，故D 错误；故选：A
2.设
f
x
是函数
f
x 的导函数，当
π π
,
2 2
x
时，
cos2
sin2
x f
x
x f
x
f
x
，则（
）
A．
π
0
6
f
B．
π
π
0
6
6
f
f
C．
π
π
3
2
3
4
f
f
D．
1
1
0
f
f
【答案】B
【解析】
cos2
sin2
,
x f
x
x f
x
f
x
，
2
(2cos
1)
2sin cos
( )
0
x
f x
x
x f
x
f x
，
cos
sin
0
x f
x
x f
x
设
sin
,
0,
g x
x f x
g
x
g x
在
π π
,
2 2
单调递增，
π
π
0
0
0
6
6
g
g
f
，所以A 错误；
π
π
π
π
π
π
1
π
1
π
sin
sin(
)
6
6
6
6
6
6
2
6
2
6
g
g
f
f
f
f
，
所以
π
π
0
6
6
f
f
，所以B 正确；
π
π
π
π
π
π
π
π
sin
sin
3
2
3
4
3
3
4
4
3
4
g
g
f
f
f
f
，所以C 错误；
0
1
sin 0
0
sin( 1)
1
0
sin1
1
1
0,
g
g
f
f
f
f
，
1
0
sin1
1
sin 0
0
1
0
g
g
f
f
f
，所以D 错误.故选：B
3.已知
f
x
是函数
f
x 的导函数，
0
f x
f
x
，且对于任意的
π
0, 2
x
有
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是
（
）
A．
3
1
π
1
cos
2
2
6
2
f
f
B．
π
6
π
6
2
4
f
f
C．
π
1
2
cos1
4
f
f
D．
2
π
π
2
4
3
f
f
【答案】A
【解析】令
( )
( )
cos
f x
g x
x
，
π
0, 2
x
，则
2
( )cos
( )sin
( )
0
cos
f
x
x
f x
x
g x
x
，故( )
g x 在
π
(0,
)
2 上单调递增，
而
( )
(
)
0
f x
f
x
，故
(
)
( )
(
)
( )
cos(
)
cos
f
x
f x
g
x
g x
x
x
，故( )
g x 是偶函数，
故
1
1
π
π
π
π
π
π
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( 1)
1
(
)
( )
2
2
6
6
4
4
3
3
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
，
即
π
π
1
π
π
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( 1)
6
3
2
4
4
1
1
cos1
3
2
2
cos 2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
f
，
故A 正确，BCD 错误，故选：A．
4.记函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，若
( )
f x 为奇函数，且当
π ,0
2
x
时恒有
( )
( ) tan
f x
f
x
x
成立，则（
）
A．
π
π
2
6
4
f
f
B．
π
π
3
3
6
f
f
C．
π
π
2
3
3
4
f
f
D．
π
π
3
3
6
f
f
【答案】B
【解析】由
( )
( ) tan
f x
f
x
x
，得
sin
( )
( ) cos
x
f x
f
x
x
，
因为
π ,0
2
x
，所以cos
0
x
，所以
( )cos
( )sin
f x
x
f
x
x
，所以
( )sin
( )cos
0
f
x
x
f x
x
，
令
( )
( )
sin
f x
g x
x
，
π ,0
2
x
，则
2
( )sin
( )cos
( )
0
sin
f
x
x
f x
x
g x
x
，
所以
( )
( )
sin
f x
g x
x
在
π ,0
2
x
上单调递增，
对于A，因为
π
π
π
0
2
4
6
，所以
π
π
4
6
g
g
，
所以
π
π
4
6
π
π
sin
sin
4
6
f
f
，
π
π
4
6
1
2
2
2
f
f
，所以
π
π
2
6
4
f
f
，所以A 错误，
对于C，因为
π
π
π
0
2
3
4
，所以
4
π
π
3
g
g
，
所以
π
π
3
4
π
π
sin
sin
3
4
f
f
，
π
π
3
4
3
2
2
2
f
f
，所以
π
π
2
3
3
4
f
f
，
因为
( )
f x 为奇函数，所以
π
π
2
3
3
4
f
f
，所以
π
π
2
3
3
4
f
f
，所以C 错误
对于BD，因为
π
π
π
0
2
3
6
，所以
π
π
3
6
g
g
，
所以
π
π
3
6
π
π
sin
sin
3
6
f
f
，
π
π
3
6
1
3
2
2
f
f
，所以
3
π
3
π
6
f
f
，
因为
( )
f x 为奇函数，所以
π
π
3
3
6
f
f
，所以B 正确，D 错误，所以D 错误，故选：B
5.已知函数
( )
f x 及其导函数
f
x
的定义域均为R ，且
( )
f x 为偶函数，
π
2
6
f
，
3 ( )cos
sin
0
x
f
x
f
x
x
，则不等式
3
π
1
cos
0
2
4
f
x
x
的解集为（
）
A．
2π ,
3
B．
π ,
3
C．
2π π
,
3
3
D．
2π
,
3
【答案】A
【解析】令
3
( )
( )sin
g x
f x
x ，
则
2
3
( )
3 ( )sin
cos
( )sin
g x
f x
x
x
f
x
x
2
sin
3 ( )cos
( )sin
0
x
f x
x
f
x
x
，
所以( )
g x 在R 上单调递减.
又因为
( )
f x 偶函数，所以
π
π
2
6
6
f
f
，
所以
3
π
1
π
1
6
2
6
4
g
f
.
又
3
3
π
π
π
π
sin
cos
2
2
2
2
g x
f
x
x
f
x
x
，
所以不等式
3
π
1
cos
0
2
4
f
x
x
等价于
π
π
2
6
g x
g
，
根据函数的单调性可知
π
π
2
6
x
，解得
2π
3
x
，
所以不等式
3
π
1
cos
0
2
4
f
x
x
的解集为
2π ,
3
.故选：A.
题型十：其他类型的函数构造
1.已知可导函数
f
x 的导函数为
f
x
，若对任意的xR ，都有
1
f
x
f x
，且
0
2022
f
，则不
等式
1
2023e x
f x
的解集为（
）
A．
,0
B．
0,
C．
1
, e
D．
,1
【答案】A
【解析】构造函数
1
ex
f
x
g x
，因为对任意的xR ，都有
1
f
x
f x
，
则
1
0
ex
f
x
f x
g
x
，所以函数
g x 在R 上单调递减，
又
0
2022
f
，所以
0
2023
g
，
由
1
2023e x
f x
可得
1
2023
ex
f
x
，即
0
g x
g
，所以
0
x
.故选：A
2.已知定义在
0,
上的函数
f
x 满足
1
0
f x
f
x
x
，且
1
1
f
，则不等式
e
1 e
0
x
x
f
x
的
解集为（
）
A．
0,
B．
1,
C．
,0
D．
,1
【答案】A
【解析】设
ln
f x
g x
x
x
，则
2
2
1
xf
x
f x
xf
x
f x
x
g
x
x
x
x
．
因为
1
0,
0
f x
f
x
x
x
，所以
0
xf
x
f
x
x
，
所以
0
g
x
，所以
g x 在
0,
上单调递增．
不等式
e
1 e
0
x
x
f
x
可转化为
e
lne
1
e
x
x
x
f
，
又
e
e
lne
e
x
x
x
x
f
g
，且
1
1
ln1 1
1
f
g
，
即
e
1
x
g
g
，所以e
1
x ，解得
0
x
，
即不等式
e
1 e
0
x
x
f
x
的解集为
0,
．故选：A．
3.定义在R 上的函数
f
x 满足
1
f x
为偶函数，当
1
x 时，
1
0
x
f
x
f x
，其中
f
x
是
f
x
的导数.若关于x 的不等式
2
2
e
e
1
2
2
1
x
x
f
x
a f
x
a
恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
,ln2
2
B．
ln2
2,
C．
, 1
D．
1,
【答案】D
【解析】记
1
F x
xf x
，则
1
1
F
x
xf
x
f x
,
由题意，知当
0
x
时，
1
1
0
xf
x
f x
，即
0
F
x
，
则
F x 在
0,
上单调递增，所以
0
0
F x
F
,
因为
1
f x
是偶函数，所以
F x 是奇函数，所以
F x 在R 上单调递增,
又
2
2
e
e
1
2
2
1
x
x
f
x
a f
x
a
，即
2e
2
x
F
F
x
a
，
所以
2e
2
x
x
a
，即
2
2
e x
a
x
对任意xR 恒成立.令
2
2
e x
g x
x
，
则
2
2
2e x
g
x
，由
0
g
x
，得
0
x
；当
0
x
时，
0
g
x
，
g x 单调递增，
当
0
x
时，
0
g x
，
g x 单调递减，所以
g x 在
0
x
处取得极大值，也是最大值，
所以
max
0
1
g x
g
，所以
1
a ，即实数a 的取值范围为
1,
，故选：D.
4.定义在
0,
上的函数
f
x 的导函数为
f
x
，且
3
2
2
3
2
1
x
x
x f
x
x
x
f x
恒成立，则必
有（
）
A．
2
3
1
2
7
f
f
f
B．
2
3
3
1
2
7
f
f
f
C．
2
3
1
2
7
f
f
f
D．
2
3
3
1
2
7
f
f
f
【答案】D
【解析】由
3
2
2
3
2
1
x
x
x f
x
x
x
f x
，得
3
2
3
2
x
x
x f
x
x
x
x
f
x
．
设函数
3
2
,
0
f
x
g x
x
x
x
x
，则
3
2
3
2
2
3
2
0
x
x
x f
x
x
x
x
f x
g
x
x
x
x
，
所以
g x 在
0,
上单调递减，从而
1
2
3
g
g
g
，
即
1
2
3
1
6
21
f
f
f
，即
2
3
3
1
2
7
f
f
f
．故选：D
5.设偶函数
( )
f x 在R 上的导函数为
( )
f
x
，当
0
x
时，有
3
2
1
( )
( )
4
x f
x
f x
x
，则下列结论一定正确的是
（
）
A．16 ( 2)
(1)
f
f
B．16 (2)
(1) 1
f
f
C．
3
(1)
16 ( 2)
2
f
f
D．
3
( 1)
14 (2)
2
f
f
【答案】C
【解析】当
0
x
时，有
3
2
1
( )
( )
4
x f
x
f x
x
，即
2
3
4
( ) 1
( )
0
x f x
x f
x
，
令
4
2
1
( )
( )
2
g x
x f x
x
，则
2
3
( )
[4
( )
( ) 1]
0
g x
x
x f x
x f
x
，即( )
g x 在(0,
)
上单调递增，
又
( )
f x 为偶函数，则
4
2
1
)
)
(
(
(
)
2
g
x
x f
x
g
x
x
，即( )
g x 为偶函数，
故
( 2)
(2)
(1)
g
g
g
，即16 ( 2)
2
1
(1)
2
f
f
，
即16 ( 2)
3
(1)
2
f
f
，故A 错误，C 正确；
由(2)
(1)
g
g
，即16 (2)
2
1
(1)
2
f
f
，即16 (2)
3
(1)
2
f
f
，B 错误；
而
( 1)
(1)
f
f
，故16 (2)
3
( 1)
2
f
f
，则
3
( 1)
14 (2)
2
f
f
不一定成立，D 错误，故选：C
题型十一：换元构造
1．已知函数
( )
( e
e )(e
e )
x
x
f x
a
x
x
与
2
( )
e x
g x
的图象恰有三个不同的公共点（其中e 为自然对数的底数），
则实数a 的取值范围是（
）
A．
1 ,1
2
B．
1
2
,
2
2
C．
2 ,1
2
D．(1,
2)
【答案】A
【分析】
由两图象有三个公共点可得
( )
( )
f x
g x
有三个实根，变形得
e
e
1
1
e
e
x
x
x
x
a
，设
e
( )
ex
x
t
h x
，则关于
t 的方程(
)(1
)
1
a
t
t
有两个不同的实数根1
2
,
t t 且
1
2
( )
, ( )
h x
t h x
t
共有三个实数根，结合二次方程根的分
布和( )
h x 的图象性质可得答案.
【详解】令
( )
( )
f x
g x
，可得
2
( e
e )(e
e )=e
x
x
x
a
x
x
，可得
e
e
1
1
e
e
x
x
x
x
a
.设
e
( )
ex
x
t
h x
，则
(
)(1
)
1
a
t
t
，即
2
(
1)
1
0
t
a
t
a
.
e(1
)
( )
ex
x
h x
，当
1
x 时，( )
h x 单调递增且( )
(
,1)
h x
；
当
1
x 时，( )
h x 单调递减且( )
(0,1)
h x
.作出
( )
t
h x
的图象如图所示.
对于
2
(
1)
1
0
t
a
t
a
，
2
2
=( +1)
4(
1)
(
1)
4
0
Δ
a
a
a
，
设该方程有两个不同的实根1
2
,
t t ，由题意得
1
2
( )
, ( )
h x
t h x
t
共有三个实数根.
若
1
t 是方程的根，则1
+1
1
0
a
a
，即
1
2
a
，则方程的另一个根为
3
2
t
，不合题意.
若
0
t
是方程的根，则0
0
1
0
a
，即
1
a ，则方程的另一个根为
2
t ，不合题意.
所以关于t 的方程的两根1
2
,
t t (不妨令1
2
t
t
)满足1
2
0
1
t
t
.
所以
0
0
1
0,
1
1
1
0,
a
a
a
解得
1
1
2
a
.故选A.
2.已知函数
ln
2
f x
x
ax
，
2
4
2
ln
ax
g x
x
x
，若方程
f x
g x
恰有三个不相等的实根，则a 的
取值范围为（
）
A．
0,e
B．
1
0, 2e
C．
,e
D．
1
0, e
【答案】B
【详解】由题意知方程
f
x
g x
在
0,1
1,
上恰有三个不相等的实根，即
2
4
ln
2
2
ln
ax
x
ax
x
x
，①.
因为
0
x
，①式两边同除以x ，得ln
4
2
2
ln
x
ax
a
x
x
.所以方程ln
4
2
2
0
ln
x
ax
a
x
x
有三个不等的
正实根.
记
ln x
t x
x
，
0,1
1,
x
，则上述方程转化为
4
2
2
0
a
t x
a
t x
.
即
2
2
0
t x
t x
a
，所以
2
t x
或
2
t x
a
.因为
2
1
ln x
t
x
x
，当
0,1
1,
x
e
时，
0
t
x
，所以
t x 在
0,1 ，
1,e 上单调递增，且
0
x
时，
t x .当
,
x
e
时，
0
t
x
，
t x 在
,e 上单调递减，且x 时，
0
t x
.所以当x
e
时，
t x 取最大值1
e
，当
2
t x
，
有一根.
所以
2
t x
a
恰有两个不相等的实根，所以
1
0
2
a
e
.故选：B.
3.设大于1 的两个实数a，b 满足
2
2
ln
a
n
b
b
e
a
，则正整数n 的最大值为（
）．
A．7
B．9
C．11
D．12
【答案】B
【分析】将已知条件变形为
2
2
ln
a
n
n
b
e
b
a
，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出n 的最大值
即可.
【详解】解：易知
2
2
ln
n
a
n
b
b
e
a
等价于
2
2
ln
a
n
n
b
e
b
a
．令
2
ln
1
n
x
f x
x
x
，则
1
2
1
ln
2
ln
ln
2
ln
n
n
n
x
x
n
x
x
n
x
f
x
x
x
．
令
0
f
x
得
2
n
x
e
．当
0
f
x
时
2
1,
n
x
e
；当
0
f
x
时
2,
n
x
e
．
所以
f x 在
2
1,
ne
上单调递增，在
2,
ne
上单调递减，则
f x 有最大值
2
2
2
2
n
n
f e
e
．
令
2
1
x
n
e
g x
x
x
，则
2
1
2
x
n
e
x
n
g
x
x
．当
1
2
n 时不符合，舍去，所以
1
2
n ．
则
0
g
x
，
2
n
x
．当
0
g
x
时
2
n
x
；当
0
g
x
时1
2
n
x
．
所以
g x 在1, 2
n
上单调递减，在
,
2
n
上单调递增，则
g x 有最小值
2
2
n
n
n
e
g
n
．
若
2
2
ln
a
n
n
b
e
b
a
成立，只需
2
2
n
n
f e
g
，即
2
2
2
2
n
n
e
n
e
n
，即
2
2
2
n
n
n
e
．两边取自然对数可得
2
2 ln 2
n
n
n
．
当
2
n
时等式成立；当
3
n
时有
2
ln
2
2
n
n
n
．
令
2
ln
2
2
x
x
x
x
，本题即求
0
x
的最大的正整数．
2
4
1
0
2
x
x
x
恒成立，则
x
在
3,上单调递减．
因为
5
8
ln 4
0
3
，
11
9
9
ln
1.5714 1.51
0
7
2
，
3
10
ln5
0
2
，
所以
0
x
的最大正整数为9．故选：B．
题型十二：双元构造
1.对于任意
1x ，
2
[1,
)
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2(
)
x
a
x
x
x
成立；则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,0]
B．(
,1]
C．(
,2]
D．(
,3]
【答案】C
【分析】
对于任意
1x ，
2
1,
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2
x
a
x
x
x
成立，可得
2
2
1
1
ln
2
ln
2
a
x
x
a
x
x
成立，令
ln
2
f x
a
x
x
，可知函数
f x 在
1,上单调递减，求导，令
0
f
x
恒成立，即可
求出a 的取值范围．
【详解】
对于任意
1x ，
2
1,
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2
x
a
x
x
x
成立，
即
2
2
1
1
ln
2
ln
2
a
x
x
a
x
x
成立，
令
ln
2
f x
a
x
x
，∴
2
1
f x
f x
，
∴
f x 在
1,上单调递减，
∴
2
0
a
f
x
x
在
1,恒成立，∴
2
a
x
在
1,恒成立，
∵当
1
x ，2
2
x
，∴实数a 的取值范围为
,2
，故选C.
【注意】双元构造，就是借助相同结构来构造对应“统一函数”
2.对于任意
1x ，
2
[1,
)
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2(
)
x
a
x
x
x
成立；则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,0]
B．(
,1]
C．(
,2]
D．(
,3]
【答案】C
【分析】
对于任意
1x ，
2
1,
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2
x
a
x
x
x
成立，可得
2
2
1
1
ln
2
ln
2
a
x
x
a
x
x
成立，令
ln
2
f x
a
x
x
，可知函数
f x 在
1,上单调递减，求导，令
0
f
x
恒成立，即可
求出a 的取值范围．
【详解】对于任意
1x ，
2
1,
x
，当
2
1
x
x
时，恒有
2
2
1
1
ln
2
x
a
x
x
x
成立，
即
2
2
1
1
ln
2
ln
2
a
x
x
a
x
x
成立，
令
ln
2
f x
a
x
x
，∴
2
1
f x
f x
，
∴
f x 在
1,上单调递减，
∴
2
0
a
f
x
x
在
1,恒成立，∴
2
a
x
在
1,恒成立，
∵当
1
x ，2
2
x
，∴实数a 的取值范围为
,2
，故选C.
3.已知变量
1
2
,
0,
x x
m
(m>0)，且
1
2
x
x
，若
2
1
1
2
x
x
x
x
恒成立，则m 的最大值________．
【答案】e
【详解】不等式两边同时取对数得
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
，即x2lnx1＜x1lnx2，又
1
2
,
0,
x x
m
即
1
2
1
2
ln
ln
x
x
x
x
成
立，
设f（x）＝ln x
x
，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，
函数的导数
2
2
1 x
ln x
1 ln x
x
( )
x
x
f
x
，由f′（x）＞0 得1﹣lnx＞0 得lnx＜1，得0＜x＜e，
即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m 的最大值为e 故答案为：e
4.若对于任意的
1
2
0
x
x
a
，都有
2
1
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，则a 的最大值为（
）
A．1
B．e
C．1
e
D．1
2
【答案】C
【分析】问题转化为
1
2
1
2
2
2
lnx
lnx
x
x
，构造函数
2
( )
lnx
f x
x
，易得
( )
f x 在定义域(0, )
a 上单调递增，所以
( )
0
f
x
在(0, )
a 上恒成立，进而可求出a 的最大值．
【详解】解：
1
2
0
x
x
a
，
1
2
0
x
x
，
2
1
1
2
1
2
2(
)
x lnx
x lnx
x
x
，
1
2
1
2
2
1
2
2
lnx
lnx
x
x
x
x
，
1
2
1
2
2
2
lnx
lnx
x
x
，函数
2
( )
lnx
f x
x
在定义域(0, )
a 上单调递增，
2
2
1
(
2)
1
( )
0
lnx
lnx
f
x
x
x
在(0, )
a 上恒成立，由
1
0
lnx
，解得
1
0
x
e
，故a 的最大值是1
e .
故选：C．
模块三：综合巩固
1.已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(
)．
A．af(b)≤bf(a)
B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b)
D．bf(b)≤f(a)
【答案】A
【详解】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以
( )
f x
x
′＝
2
'( )
( )
xf
x
f x
x
≤
2
2 ( )
f x
x
≤0，
则函数
( )
f x
x
在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a<b，则
( )
( )
f a
f b
a
b
，即af(b)≤bf(a)
2.设a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，则a＞b
D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b
【答案】A
【详解】若
2
2
3
a
b
e
a
b
，必有
2
2
a
b
e
a
e
b
．
构造函数：
2
x
f
x
e
x
，则
f a
f b
，
则
2
0
x
f
x
e
恒成立，
故有函数
2
x
f
x
e
x
在x＞0 上单调递增，
所以a＞b 成立．故选A．
3.已知9
10,
10
11,
8
9
m
m
m
a
b
，则（
）
A．
0
a
b
B．
0
a
b
C．
0
b
a
D．
0
b
a
【答案】A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
9
log 10
1
m
，再利用基本不等式，换底公式可得
lg11
m
，
8
log 9
m
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由9
10
m
可得
9
lg10
log 10
1
lg9
m
，而
2
2
2
lg9
lg11
lg99
lg9lg11
1
lg10
2
2
，所以
lg10
lg11
lg9
lg10
，即
lg11
m
，所以
lg11
10
11 10
11
0
m
a
．
又
2
2
2
lg8
lg10
lg80
lg8lg10
lg9
2
2
，所以lg9
lg10
lg8
lg9
，即
8
log 9
m
，
所以
8
log 9
8
9
8
9
0
m
b
．综上，
0
a
b
．
故选：A.
4.设函数
'( )
f
x 是奇函数
( )
f x （x R ）的导函数，( 1)
0
f
，当
0
x
时，
'( )
( )
0
xf
x
f x
，则使得
( )
0
f x
成立的x 的取值范围是
A．(
, 1)
(0,1)
B．( 1,0)
(1,
)
-
È
+¥
C．(
, 1)
( 1,0)
D．(0,1)
(1,
)
【答案】A
【详解】构造新函数
f x
g x
x
,
2
'
xf
x
f x
g
x
x
，当
0
x
时
'
0
g
x
.
所以在
0,
上
f x
g x
x
单减，又
1
0
f
，即1
0
g
.
所以
0
f x
g x
x
可得0
1
x
,此时
0
f x
，
又
f x 为奇函数，所以
0
f x
在
,0
0,
上的解集为：
, 1
0,1
.
故选A.
5.若定义在R 上的函数
f x 满足
0
1
f
，其导函数
f
x
满足
1
f
x
k
，则下列结论中一定错误的
是（）
A．
1
1
f
k
k
B．
1
1
1
f
k
k
C．
1
1
1
1
f
k
k
D．
1
1
1
k
f
k
k
【答案】C
【详解】试题分析：令
g( )x
f x
kx
，则
'( )
0
g x
f
x
k
，因此
1
1
1
1
g(
)
(0)
(0)
1
1
1
1
1
1
1
k
k
g
f
f
f
k
k
k
k
k
k
，所以选C.
考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构
造辅助函数常根据导数法则进行：如
( )
( )
f
x
f x
构造
( )
( )
x
f x
g x
e
，
( )
( )
0
f
x
f x
构造( )
( )
x
g x
e f x
，
( )
( )
xf
x
f x
构造
( )
( )
f x
g x
x
，
( )
( )
0
xf
x
f x
构造
( )
( )
g x
xf x
等
6.设函数
f x 满足
2
2
2
,
2
,
8
xe
e
x f
x
xf x
f
x
则
0
x
时，
f x
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【详解】函数
( )
f x 满足
2
'( )
2
( )
xe
x f
x
xf x
x
，
2
'
xe
x f x
x
，令
2
F x
x f
x
，
则
2
'
,
2
4·
2
2
xe
e
F
x
F
f
x
，
由
2
'
2
xe
x f
x
xf x
x
，得
3
2
'
xe
F x
f
x
x
，令
2
x
x
e
F x
，
则
2
'
2
'
,
x
x
e
x
x
e
F
x
x
x
在
0,2 上单调递减，在
2,上单调递增，
x
的最小值为
2
2
2
2
0,
0
e
F
x
.
又
0,
'
0,
x
f
x
f x
在
0,
单调递增，
f x
既无极大值也无极小值，故选D.
7.已知函数
f x 的定义域为
,
2 2
，其导函数是
( )
f
x .有
( )cos
( )sin
0
f
x
x
f x
x
，则关于x 的不等式
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
的解集为（
）
A．
,
3 2
B．
,
6 2
C．
,
6
3
D．
,
2
6
【答案】B
【分析】令
cos
f x
F x
x
，根据题设条件，求得
F'
0
x
，得到函数
cos
f x
F x
x
在
,
2 2
内的单调递减
函数，再把不等式化为
6
cos
cos 6
f
f
x
x
，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数
f x 满足
'
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
，令
cos
f x
F x
x
，则
2
'
cos
sin
'
0
cos
f
x
x
f x
x
F
x
x
函数
cos
f x
F x
x
是定义域
,
2 2
内的单调递减函数，
由于cos
0
x
，关于x 的不等式
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
可化为
6
cos
cos 6
f
f
x
x
，
即
6
F x
F
，所以
2
2
x
且
6
x
，解得2
6
x
，
不等式
3 ( )
2
cos
6
f x
f
x
的解集为
,
6 2
.故选：B
8.设定义在
0,上的函数
0
f x
恒成立，其导函数为
f
x
，若
1
ln
1
0
f x
x
f
x
x
，则
（
）
A．
2
1
3
0
f
f
B．
2
1
3
0
f
f
C．
2
3
1
0
f
f
D．
2
3
1
0
f
f
【答案】B
【分析】
由题设构造
ln(
1)
( )
( )
x
g x
f x
，易知
0,上
( )
0
g x
，即( )
g x 单调递减，进而可比较
(1)
f
、
(3)
f
的大小.
【详解】
由题意，在
0,上的函数
0
f x
恒成立，
若
ln(
1)
( )
( )
x
g x
f x
，则
2
( )
( )ln(
1)
1
( )
( )
f x
f
x
x
x
g x
f
x
，
∵
0,上
ln
1
0
1
f x
f
x
x
x
，即
( )
0
g x
，
∴( )
g x 在
0,上单调递减，而
(0)
0
g
，故0
(1)
(3)
g
g
∴
ln 2
ln 4
0
(1)
(3)
f
f
，可得2 (1)
(3)
0
f
f
.
故选：B
9.已知定义域为R 的函数
f x 的图象是连续不断的曲线，且
2 2
2
e
x
f
x
f x
，当
1
x 时，
f
x
f x
，
则下列判断正确的是
A．
1
e
0
f
f
B．
4
3
e
1
f
f
C．
3
2
e
1
f
f
D．
5
3
e
2
f
f
【答案】C
【分析】先根据题意，构造函数
( )
( )
x
f x
g x
e
，判断出函数g（x）的单调性，再利用
2 2
2
e
x
f
x
f x
求
得函数g（x）的对称轴，然后判断
2
1
(2)
( 1)
(2)
( 1)
f
f
g
g
e
e
，得出答案即可.
【详解】构造函数
( )
( )
x
f x
g x
e
，因为当
1
x 时，
f
x
f x
，所以
( )
( )
( )
0
x
f
x
f x
g x
e
可得在
1
x 时，( )
g x
是单调递增的；因为
2 2
2
e
x
f
x
f x
，化简得
2
(2
)
( )
x
x
f
x
f x
e
e
即
(2
)
( )
g
x
g x
可得图像关于x=1 对称，则
1
3
( 1)
(3)
( 1)
(3)
f
f
g
g
e
e
，
2
(2)
(2)
f
g
e
因为
2
1
(2)
( 1)
(2)
(3)
( 1)
f
f
g
g
g
e
e
化简可得
3
2
e
1
f
f
，故选C
10.已知定义域为R 的函数
( )
f x 满足
( )
( )
1
f x
xf
x
（
( )
f
x 为函数
( )
f x 的导函数），则不等式
2
(1
) (1
)
(1
)
x f
x
f
x
x
的解集为（
）
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(0,
)
D．(0,1)
(1,
)
【答案】C
【分析】
构造函数
( )
( )
g x
xf x
x
，由题意可知( )
g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数( )
g x 的单调性
即可求出不等式的解集.
解：由
2
(1
) (1
)
(1
)
x f
x
f
x
x
，
当
1
x 时，可得
2
(1
)(1
) (1
)
(1
) (1
)
(1
)
x
x f
x
x f
x
x x
，
即
2
2
2
(1
) (1
)
(1
) (1
)
x
f
x
x f
x
x
x
，
即
2
2
2
(1
) (1
)
(1
)
(1
) (1
)
(1
)
x
f
x
x
x f
x
x
，
构造函数
( )
( )
,
( )
( )
( ) 1
0
g x
xf x
x g x
f x
xf
x
，所以函数( )
g x 递增，
则
2
1
1
x
x
，此时0
1
x
，即0
1
x
满足；
当
1
x 时，可得
2
2
2
(1
) (1
)
(1
)
(1
) (1
)
(1
)
x
f
x
x
x f
x
x
，
由函数( )
g x 递增，则
2
1
1
x
x
，此时
0
x
或
1
x ，即
1
x 满足；
当
1
x 时，2 (0)
(0)
1
f
f
，即
(0)
1
f
满足
( )
( )
1
f x
x f
x
.
综上，
(0,
)
x
.故选：C.
