4.6二分法求方程的近似解（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_指数函数与对数函数矢量版PDF

4.6 二分法求方程的近似解
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：二分法...............................................................................................2
考点二：用二分法求函数零点的一般步骤..................................................... 2
考点三：关于精确度....................................................................................... 3
考点四：运用二分法求函数的零点应具备的条件..........................................3
考点五：利用二分法求方程的近似解的步骤................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：二分法概念的理解............................................................................3
题型二：用二分法求近似解的条件.................................................................5
题型三：用二分法求方程近似解的过程.........................................................6
题型四：用二分法求方程的近似解.................................................................8
模块三：综合巩固....................................................................... 10
4.6 二分法求方程的近似解
模块一：基础知识
考点一：二分法
对于区间

,a b 上图象连续不断且


0
f a
f b


的函数

f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为
二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
考点二：用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数

y
f x

定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x0 的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D 内取一个闭区间

0
0
,
a b
D

，使


0
f a
与


0
f b
异号，即




0
0
0
f a
f b


，零点位于区
间

0
0
,
a b
中．
第二步：取区间

0
0
,
a b
的中点，则此中点对应的坐标为




0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
x
a
b
a
a
b





．
计算


0
f x
和


0
f a
，并判断：
①如果


0
0
f x

，则
0x 就是

f x 的零点，计算终止；
②如果




0
0
0
f a
f x


，则零点位于区间

0
0
,
a x
中，令
1
0
1
0
,
a
a b
x


；
③如果




0
0
0
f a
f x


，则零点位于区间

0
0
,
x b
中，令
1
0
1
0
,
a
x b
b


第三步：取区间

1
1
,
a b 的中点，则此中点对应的坐标为




1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
x
a
b
a
a
b





．
计算


1
f x
和


1
f a
，并判断：
①如果


1
0
f x

，则
1x 就是

f x 的零点，计算终止；
②如果




1
1
0
f a
f x


，则零点位于区间

1
1
,
a x
中，令
2
1
2
1
,
a
a b
x


；
③如果




1
1
0
f a
f x


，则零点位于区间

1
1
,
x b 中，令
2
1
2
1
,
a
x b
b


；
……
继续实施上述步骤，直到区间

,
n
n
a b
，函数的零点总位于区间

,
n
n
a b
上，当
na 和
nb 按照给定的精确
度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数

y
f x

的近似零点，计算终止．这时函数

y
f x

的近似零点满足给定的精确度．
知识点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②
( )
f a 、
( )
f b 的值比较容易计算且
( )
( ) <0
f a
f b

．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方
程
( )
( )
f x
g x

的根，可以构造函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x


，函数
( )
F x 的零点即为方程
( )
( )
f x
g x

的根．
考点三：关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即a
b



；“精确到”是指某讴歌数的数位
达到某个规定的数位．
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用
该区间内的任意一个数值作零点近似值．
考点四：运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
考点五：利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M 的一个端点．
模块二：题型分类
题型一：二分法概念的理解
1．判断正误（正确的打正确，错误的打错误）
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．(
)
（2）精确度就是近似值．(
)
（3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(
)
（4）在一定精确度下，近似值是唯一的．(
)
2.（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（
）
A．

3
1
f x
x


B．

ln
3
f
x
x


C．

2
2 2
2
f x
x
x



D．

2
4
1
f x
x
x



3.(多选)若函数
(
=
)
y f x 在区间

,a b 上的图象不间断，则下列结论中错误的是（
）
A．若
( ) ( )
0
f a f b 
，则
( )
f x 在

,a b 上不存在零点
B．若
( ) ( )
0
f a f b 
，则
( )
f x 在

,a b 上至少有一个零点
C．若
( )
f x 在( , )
a b 内有且只有一个零点，则
( )
( )
0
f a
f b


D．若
( )
f x 在

,a b 上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
4.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.(多选)下列函数图象与x 轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.用二分法求函数

3
5
f x
x


的零点可以取的初始区间是（
）
A．

2,1

B．

1,0

C．

0,1
D．

1,2
7.用二分法求方程
lg
3
0
x
x



的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（
）
A．[1,2]
B．[2,3]
C．[3,4]
D．[4,5]
8.用“二分法”求方程
3
2
5
0
x
x



在区间

2,3 内的实根，取区间中点为
0
2.5
x 
，那么下一个有根的区间是
（
）
A．

2,2.5
B．

2.5,3
C．

2,2.25
D．

2.75,3
9.已知函数
2
( )
3
1
f x
x

在区间(0,1)上有唯一零点
0x ，如果用“二分法”求这个零点(精确度
0.05

)的近似
值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是
.此时规定只要零点的存在区间( , )
a b 满足a
b



，则可用
2
a
b

作为零点的近似值，由此求得
0x 
.
题型二：用二分法求近似解的条件
1.下列函数中，不能用二分法求零点的是（
）
A．
2
y
x

B．


2
2
y
x


C．
1
3
y
x
x



D．
ln
y
x

2.下列函数中不能用二分法求零点的是（
）
A．

3
1
f x
x


B．

3
f x
x

C．

2
f x
x

D．

ln
f x
x

3.用二分法求函数

3
5
f x
x


的零点可以取的初始区间是（
）
A．

2,1

B．

1,0

C．

0,1
D．

1,2
4.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因
此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
题型三：用二分法求方程近似解的过程
1.若用二分法求方程
3
2
3
3
0
x
x



在初始区间

0,1 内的近似解，则第三次取区间的中点
3x 
.
2.下列是函数

f x 在区间[1,2] 上一些点的函数值. 由此可判断：方程

0
f
x 
的一个近似解为
(精
确度0.1)．
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438

f
x
2

0.984

0.260

0.052

0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2

f x
0.625
1.982
2.645
4.35
6
3.用二分法求方程
2
0.9
0
21
x
x


的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
4.用二分法求方程
1
ln x
x

在

1,2 上的近似解，取中点
1.5
c 
，则下一个有根区间是
．
5.用“二分法”求方程
3
4
0
x
x


在区间

1,3 内的实根，首先取区间中点
2
x 
进行判断，那么下一个取的
点是x 
．
6.求方程
3
2
5
0
x
x



在区间

2,3 内的实根，取区间中点
0
2.5
x 
，那么下一个有根区间是
．
7.已知函数

3
3
f x
x
x



在区间

1,2 内有零点，求方程
3
3
0
x
x



在区间

1,2 内的一个近似解．（精确
度为0.1）
8.利用计算器，求方程lg
3
x
x


的近似解（精确到0.1）.
【方法技巧与总结】
（1）依据图象估计零点所在的初始区间

,
m n （这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的
小，区间的端点尽量为整数）．
（2）取区间端点的平均数c ，计算

f c ，确定有解区间是

,
m c 还是

,c n ，逐步缩小区间的“长度”，直
到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），
才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表
法）．
题型四：用二分法求方程的近似解
1.判断方程
3
1
0
x
x


在区间

1,1.5 内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
2.已知函数

y
f x

的表达式为

2
5
x
f x
x


，用二分法计算此函数在区间

1,2 上零点的近似值，第一
次计算

1
f
、

2
f
的值，第二次计算

1
f x
的值，第三次计算


2
f x
的值，则
2x 
．
3.在用二分法求方程
( )
0
f x 
在[0,1] 上的近似解时，经计算，
(0.5)
0
f

，
(0.75)
0
f

，
(0.625)
0
f

，即可
得出方程的一个近似解为
（精确度为0.2）.
4.若

3
2
2
2
f x
x
x
x




的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
( )
1
2
f
= -


1.5
0.625
f



1.25
0.984
f



1.375
0.260
f



1.438
0.165
f



1.4065
0.052
f

那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x




的一个近似根（精确到0.1）为（
）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
5.若函数
3
2
( )
2
2
f x
x
x
x




的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
(1)
2
f

(1.5)
0.625
f

(1.25)
0.984
f

(1.375)
0.260
f

(1.4375)
0.162
f

(1.40625)
0.054
f

那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x




的一个近似根（精确度0.1）为（
）
A．1.2
B．1.4
C．1.3
D．1.5
6.下表是连续函数

f
x 在区间

1,2 上一些点的函数值:
x
1
1.25
1.375
1.5
2

f
x
2

0.984

0.260

0.625
6
由此可判断，方程

0
f
x 
的一个近似解为
（误差不超过0.1）.
7.已知函数
3
( )
1
f x
x
x


在(0,1)内有一个零点，且求得
( )
f x 的部分函数值数据如下表所示：
x
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
( )
f x
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
要使
( )
f x 零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（
）
A．6 次0.7
B．6 次0.6
C．5 次0.7
D．5 次0.6
8.(多选)已知函数

ex
f x
x
a



，其中xR ，a 为某确定常数，运用二分法研究函数

f
x 的零点时，
若第一次经计算

0
0
f

且

1
0
f

，则（
）
A．可以确定

f
x 的一个零点
0x ，满足


0
0,1
x 
B．第二次应计算
1
2
f 




，若
1
0
2
f 





，第三次应计算
1
4
f 





C．第二次应计算
1
2
f 




，若
1
0
2
f 





，第三次应计算
1
4
f 





D．第二次应计算
3
2
f 




，若
3
0
2
f 





，第三次应计算
5
4
f 





9.一块电路板的AB 线段之间有60 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分
法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（
）
A．4 次
B．6次
C．8次
D．30次
模块三：综合巩固
1.用二分法求方程
4
1
log
0
2
x
x


近似解时，所取的第一个区间可以是（
）
A．

0,1
B．

1,2
C．

2,3
D．

3,4
2.若函数

3
2
2
2
f x
x
x
x




的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
(1)
2
f

(1.5)
0.625
f

(1.25)
0.984
f

(1.375)
0.260
f

(1.4375)
0.162
f

(1.40625)
0.054
f

那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x




的一个近似解（误差不超过0.02）为（
）
A．1.437 5
B．1.375
C．1.25
D．1.422
3.若函数
( )
f x 的零点与
3
( )
512
125
g x
x


的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数
( )
f x 可以是（
）
A．
( )
4
1
f x
x


B．
( ) | 2
1|
f x
x


C．
3
( )
2
f x
x
x



D．
2
( )
(3
1)
f x
x


4.已知函数
( )
f x 在(10,12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度
来考虑，则对区间(10,12)至少需要二等分（
）
A．8 次
B．9 次
C．10 次
D．11 次
5．在使用二分法计算函数

2
2
2
x
f x
x




的零点的近似解时，现已知其所在区间为

1,2 ，如果要求近
似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（
）次区间中点的函数值．
A．2
B．3
C．4
D．5
6．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（
）
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
7．已知定义在[
]
,a b 上的增函数

f
x ，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[
]
,a b ，
,
2
a
b
a






，
1 ,
2 4
b
a







，又
2
3
5
0
3
a
b
f








，则函数

f
x 的零点为（
）
A．
7
3

B．
4
3

C．
7
9

D．
4
9

8．用二分法求方程x3＋3x－7＝0 在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（
）
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
9．(多选)已知函数

f
x 在区间

0,3 上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若

0
0
f

，

1
2
3
0
f
f
f

，则下列命题正确的是（
）
A．函数

f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
0,1 和(
)
1,2 内
B．函数

f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
1,2 和

2,3 内
C．函数

f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
0,1 和

2,3 内
D．函数

f
x 的两个零点不可能同时在区间(
)
1,2 内
10．(多选)已知函数
( )
f x 的图象是连续的，且函数
( )
f x 的唯一零点同在
3
5 3
0 4
0 2
1
(
) (
) (
) (
2
4 2)
，，，，，，，，内，则与
(0)
f
符号不同的是（
）
A．
5
( )
4
f
B．
(2)
f
C．
(1)
f
D．
3
( )
2
f
11．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．(多选)某同学求函数

ln
2
6
f x
x
x



的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

2
1.307
f



2.5
0.084
f



2.5625
0.066
f



2.625
0.215
f



2.75
0.512
f


3
1.099
f

则方程ln
2
6
0
x
x



的近似解（精确度0.1）可取为（
）
A．2.51
B．2.56
C．2.66
D．2.78
13．已知函数

y
f x

的表达式为

2
5
x
f x
x


，用二分法计算此函数在区间

1,2 上零点的近似值，第
一次计算

1
f
、

2
f
的值，第二次计算

1
f x
的值，第三次计算


2
f x
的值，则
2x 
．
14．用二分法求函数



ln
1
1
f x
x
x



在区间

0,1 上近似解，要求精确度为0.01 时，所需二分区间次
数最少为
次．
15．函数
lg
2
3
y
x
x



的零点


0
1,5
x 
，对区间

1,5 利用两次“二分法”，可确定
0x 所在的区间为
．
16．用二分法求函数
( )
y
f x

在区间( , )(
)
a b a
b

内的零点近似值时，验证了
( )
( )
0
f a
f b


，取区间( , )
a b 的
中点
2
a
b

，得
( )
0
2
a
b
f
f b








，那么此时零点
0x 
（填区间）．
四、解答题
17．根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程
3
2x
x

至少有两个实数根．用
二分法求方程
3
2x
x

的一个近似解．（精确度为0.01）
18．在26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请
问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
19．判断函数

3
1
f
x
x
x


在区间

1,1.5 内有无零点，如果有，求出一个近似零点（精确度0.1）？
20．函数
2
log
2
g x
x
x



在区间

1,2 内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不
超过0.2）；若没有零点，说明理由.
（参考数据: 1.25
1.18

，1.5
1.225

，1.75
1.323

，
2
log 1.25
0.32

，
2
log 1.5
0.585

，
2
log 1.75
0.807

）
21．判断方程
3
1
0
x
x


在区间

1,1.5 内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
22．已知函数



2
1
1
x
x
f
x
a
a
x





.
(1)求证：
( )
f x 在( 1
)
,

上为增函数.
(2)若
3
a 
，求方程
( )
0
f x 
的正根（精确度为0.01）.