文档内容
4.5.2 用二分法求方程的近似解
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
二分法的概念 1,2,3
二分法的步骤 4,5,6,7,12
二分法求方程的近似解或函数零点 8,9,10,11
基础巩固
1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
(A)x (B)x (C)x (D)x
1 2 3 4
【答案】C
【解析】观察图象可知,零点x 的附近两边的函数值都为负值,所以零点x 不能用二分法求.
3 3
2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的
区间为( )
(A)(0,1) (B)(0,2)
(C)(2,3) (D)(2,4)
【答案】B
【解析】因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,
所以零点在区间(0,2).
3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零
a a a
点所在的区间为(0, ),(0, ),(0, ),则下列说法中正确的是( )
2 4 8
a
(A)函数f(x)在区间(0, )内一定有零点
16
a a a a
(B)函数f(x)在区间(0, )或( , )内有零点,或零点是
16 16 8 16
a
(C)函数f(x)在( ,a)内无零点
16
a a a
(D)函数f(x)在区间（0, ）或（ , ）内有零点
16 16 8
【答案】Ba
【解析】根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,
16
a a a
）或（ , ）中或f（ ）=0.故选B.
16 8 16
4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精
确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】B
0.1
【解析】由 <0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.
2n
5.工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起,从其外形无法分辨,仅仅知道假纪念
币的质量要比真纪念币稍轻一点点,现用一台天平,通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币,则最
多只需称量( )
(A)4次 (B)5次 (C)6次 (D)7次
【答案】C
【解析】利用二分法的思想将这些纪念币不断地分成两组,根据这两组的质量确定出假的在哪里,直
至找出那枚假的为止.求解时需将64枚纪念币均分为两组,分别称其质量,假的一定在轻的那一组,
再将这一组(共32枚)均分为两组,称其质量,这样一直均分下去,6次就能找出那枚假的,即最多只需
称量6次.
6.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过 次二分后精确度能达到0.01.
【答案】7
1
【解析】因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以 ≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.
2n
1 1
7.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+ ）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（ ）>0,可得其中一个
2 2
零点x∈ ,第二次应计算 .
0
1 1
【答案】（0, ） f（ ）
2 4
1 1 1
【解析】由于f(0)<0,f（ ）>0,故f(x)在（0, ）上存在零点,所以x∈（0, ）,
0
2 2 2
1
1 0+ 1
第二次计算应计算0和 在数轴上对应的中点x= 2= .
1
2 4
2能力提升
8.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是( )
(A) (4,+∞) (B) (-∞,4) (C){4} (D) [4,+∞)
【答案】C
【解析】易知方程x2-4x+m=0有根,且Δ=16-4m=0,知m=4.
9.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.
x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5 1.61 1.875 2
f(x) -2 -0.984 0.260 -0.052 0.165 0.625 -0.315 4.35 6
由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( )
(A)至少5个 (B)5个
(C)至多5个 (D)4个
【答案】A
【解析】由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不
同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,
同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,
函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.
故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.
10.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 …
0.329 0.378 0.435 0.574 0.659 0.757 0.870
y=2x 0.5 1 …
9 9 3 3 8 9 6
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为 .
【答案】-1或-0.8
【解析】令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,
所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.
11.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1).
【答案】近似解可取为1.625和4.437 5.
【解析】设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x,
1
因为f(1.5)=0.25>0,所以1.50,f(2)<0⇒x
1
∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x
1
∈(1.5,2),
f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x
1
∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x
1
∈(1.5,1.625),
f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x
1
∈(1.562 5,1.625),
由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为1.625,用同样的方法,
可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.
素养达成
12.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是
一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个
点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎
样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
【答案】只要7次就够了.
【解析】如图.
他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC
段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……
每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m
10 000
左右,即两根电线杆附近,设需要排查n次,则有50< <100,即100<2n<200.因此只要7次就够
2n
了.
