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§2.11 方程解的存在性及方程的近似解
课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应
用.3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
使得f(x)＝0的 数 x 称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．
0 0
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有公共点．
(3)函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一
负，即 f ( a )· f ( b )<0 ，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相
应的方程f(x)＝0至少有一个解．
2．二分法
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，
则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近
似解的方法称为二分法．
常用结论
若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( × )
(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．( × )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．( × )
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．y＝2x B．y＝(x－2)2
C．y＝x＋－3 D．y＝ln x
答案 B
解析 对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求
零点．3．(2023·太原模拟)函数f(x)＝－log x的零点所在的区间是( )
2
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 函数f(x)＝－log x在(0，＋∞)上单调递减，
2
又f(1)＝3－log 1＝3>0，f(2)＝－log 2＝>0，f(3)＝－log 3＝1－log 3<0，
2 2 2 2
所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内．
4．函数f(x)＝的零点是________．
答案 1，－2
解析 根据题意，函数f(x)＝
若f(x)＝0，即或
解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2.
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2023·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)
( )
A．(1,2) B．(2，e) C．(e,3) D．(3,4)
答案 B
解析 对于方程－＋1＝0，
有x>0，可得x＋ln x－e＝0，
令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0，
因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0，
由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程－＋1＝0的根所在的区
间是(2，e)．
(2)用二分法求方程－＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确
度达到0.1( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ∵开区间(2,3)的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为，
故有<0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有
f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1 (1)若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－
b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
(2)函数 f(x)＝log x＋2x－6，函数 f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且 n∈N，则 n＝
2
________.
答案 2
解析 函数f(x)＝log x＋2x－6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，
2
f(2)＝log 2＋22－6＝－1<0，
2
f(3)＝log 3＋23－6＝log 3＋2>0，
2 2
即f(2)f(3)<0，
因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；
当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log |x|，则函数g(x)的零点个数为( )
7
A．6 B．8 C．12 D．14
答案 C
解析 依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，
即函数f(x)是以2为周期的偶函数，
令g(x)＝f(x)－log |x|＝0，即f(x)＝log |x|，
7 7
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log |x|的图象，如图所示．
7
由图象可知，两函数图象共有12个交点，
即函数g(x)共有12个零点．
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
跟踪训练2 (1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log x|－1的零点个数为( )
2
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 函数f(x)＝3x|log x|－1的零点，
2
即3x|log x|－1＝0的解，即|log x|＝x的解，
2 2
即y＝|log x|与y＝x图象的交点，如图所示，
2
从函数图象可知，y＝|log x|与y＝x有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
2
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________．
答案 6
解析 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
所以f(x)的定义域为[－6,6]．令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－6,6]，所以x的取值为－，－，，.
故f(x)共有6个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的
取值范围是( )
A. B．(0，＋∞)
C. D．(0,2]
答案 D
解析 如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x，
由k－x＝x2＋2x＋2可得，
x2＋3x＋2－k＝0，
Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－，
故当k＝－时，直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切；
当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点；
当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)，
且与f(x)的图象有3个不同的交点．
由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点．
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x∈(－∞，－1)，使得f(x)＝0，则实数a
0 0
的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，0) D.
答案 B
解析 由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，
由于存在x∈(－∞，－1)，使得f(x)＝0，
0 0
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数
形结合法求解.
跟踪训练3 (1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值
范围为( )
A．(0,4) B．(0,3)
C．(0,2) D．(0,1)
答案 A
解析 作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示，
g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点，
所以实数a的取值范围为(0,4)．
(2)(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(
2
)
A．a<－ B．a<－
C．－0时，由于函数y＝2alog x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，
2
此时函数f(x)在上单调递增；
当a<0时，由于函数y＝2alog x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，
2
此时函数f(x)在上单调递减．
因为函数f(x)在区间上有零点，所以f f(1)<0，
即3(4a＋3)<0，解得a<－.
课时精练
一、单项选择题
1．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是( )
答案 C
解析 由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这
个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.
2．(2023·临沂模拟)函数f(x)＝ln x＋2x－5的零点所在的区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 由于y＝ln x，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f(x)＝ln x＋2x－5在(0，
＋∞)上为增函数，
又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，即f(2)f(3)<0，
故f(x)＝ln x＋2x－5在(2,3)内有唯一零点．
3．(2023·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一
个近似值(精确度为0.1)为( )
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007
A.0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7
答案 B
解析 易知f(x)在[0,1]上单调递增，由表格得f(0.562 5)f(0.625)<0，
且|0.625－0.562 5|＝0.062 5<0.1，
∴函数零点在(0.562 5,0.625)内，
∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.
4．(2023·濮阳模拟)设函数f(x)＝log －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( )
3
A．(－1，－log 2) B．(0，log 2)
3 3
C．(log 2,1) D．(1，log 4)
3 3
答案 C
解析 令f(x)＝0得a＝log ，
3
令h(x)＝log ＝log ，
3 3
由复合函数单调性可知，h(x)在(1,2)上单调递减，
h(2)＝log 2，h(1)＝log 3＝1，
3 3
故当x∈(1,2)时，h(x)∈(log 2,1)，
3
要使f(x)＝log －a在区间(1,2)内有零点，
3
则a∈(log 2,1)．
3
5．(2023·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表
示数值的算法，其理论依据是：设实数 x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，
d∈N )，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道＝2.236 067…，令<<，则
+
第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即<<，若每次都取最简分数，则用
“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为( )
A．五 B．四 C．三 D．二
答案 A
解析 第一次用“调日法”后得<<，不符合题意；
第二次用“调日法”后得<<，不符合题意；
第三次用“调日法”后得<<，不符合题意；
第四次用“调日法”后得<<，不符合题意；
第五次用“调日法”后得<<，且<0.01，符合题意，
即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五．
6．(2024·安庆模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|x2－kx|恰有3个零点，则实数k的取值
范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪[1，＋∞)答案 A
解析 由题意得，方程＝|x－k|有三个不相等的实数根．
而y＝＝
分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象，
当k＝1时，y＝|x－1|；
当x≥1时，y＝＝ln x，对其求导得y′＝，
所以当x＝1时，y′＝1，所以曲线y＝ln x在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，
如图，直线y＝x－1与曲线y＝ln x在点(1,0)相切．
所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
二、多项选择题
7．(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是( )
A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝
C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2)
答案 BCD
解析 对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，
∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；
对于B，∵f(x)＝ 在[－1，＋∞)上为增函数，
且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，
即f(－1)f(3)<0，
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；
对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；
∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，
且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，
即f(－1)f(3)<0，
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确．
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]
时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－log (x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，
a
则实数a的值可以是( )A.log 2 B.log 2 C．3log 3 D．9log 3
3 3 2 2
答案 AD
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，
又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，
则f(x)的图象关于直线x＝1对称，
且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，
又由函数g(x)＝f(x)－log (x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，
a
得函数y＝f(x)与y＝log (x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，
a
又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1，
当a>1时，由图可得log (5＋2)<1＝log a，解得a>7；
a a
当0－1＝log a－1，
a a
解得00，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0，
由f(1)f(2)<0知根所在区间为(1,2)．
10．(2023·南充模拟)设正实数a，b，c分别满足a·2a＝b·log b＝c·log c＝1，则a，b，c的大
3 2
小关系为________．答案 b>c>a
解析 由已知可得＝2a，＝log b，＝log c，
3 2
作出y＝，y＝2x，y＝log x，y＝log x的图象如图所示，
3 2
则y＝2x，y＝log x，y＝log x的图象与y＝的图象的交点的横坐标分别为a，b，c，
3 2
由图象可得b>c>a.
11．如果关于 x 的方程 2x＋3x＋4x＝ax(a∈N )在区间(1,2)内有解，a 的一个取值可以为
+
________．
答案 6(答案不唯一)
解析 因为2x＋3x＋4x＝ax在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝ax可化为
x＋x＋x－1＝0，
令f(x)＝x＋x＋x－1，
因为a>4，所以f(x)在R上单调递减，
所以即
解得0，且x＝－x≠0，
1 2 3 1 3
所以sin x＋2 023xx＝－2 023x<0.
2 1 3
16．(2023·永州模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m有4个不同的根，记为x ，x ，
1 2
x，x(xx－x＋恒成立，则λ的取值范围是______．
3 4 1 2 3 4 1 2
答案 (2，＋∞)
解析 f(x)＝
＝
作出函数的图象如图所示，
则可得－2x－x＋恒成立，
1 2
所以λx>2x－，
3
所以λ>＝－＋＝－2＋2，对任意x∈(0,1)恒成立，即λ> ，
3 max
所以当x＝时，函数y＝－2＋2取到最大值2，所以λ>2，
3
即λ的取值范围为(2，＋∞)．
