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§2.11 函数的零点与方程的解
课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应
用.3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
把使函数y＝f(x)的值为________的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与________有公共点．
(3)函数零点存在定理
函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有________，则函数y＝f(x)在区
间________上有零点．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在
区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分
法．
常用结论
若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )
(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．( )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．( )
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．y＝2x B．y＝(x－2)2
C．y＝x＋－3 D．y＝ln x
3．(2023·太原模拟)函数f(x)＝－log x的零点所在的区间是( )
2
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
4．函数f(x)＝的零点是________.题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2023·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)
( )
A．(1,2) B．(2，e) C．(e,3) D．(3,4)
(2)(2023·蚌埠模拟)已知x＝log 2，x＋ln x＝0, ＝log x，则( )
1 5 2 2 2 3
A．x<x<x B．x<x<x
1 2 3 2 1 3
C．x<x<x D．x<x<x
1 3 2 2 3 1
跟踪训练1 (1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点
分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)函数 f(x)＝log x＋2x－6，函数 f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且 n∈N，则 n＝
2
________.
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，
f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log |x|，则函数g(x)的零点个数为( )
7
A．6 B．8 C．12 D．14
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
跟踪训练2 (1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log x|－1的零点个数为( )
2
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为________．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的
取值范围是( )
A. B．(0，＋∞)C. D．(0,2]
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x∈(－∞，－1)，使得f(x)＝0，则实数a
0 0
的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，0) D.
跟踪训练3 (1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值
范围为( )
A．(0,4) B．(0,3)
C．(0,2) D．(0,1)
(2)(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(
2
)
A．a<－ B．a<－
C．－<a<－ D．a<－
