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必刷小题 4 函数与方程
一、单项选择题
1．(2023·信阳模拟)函数f(x)＝2x＋ln x－4的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝2x＋ln x－4，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2>0，
所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)上．
2．(2023·北京模拟)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，
则(x－1)(x＋3)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－3；
当x>0时，令ex－2＝0，
解得x＝ln 2，
所以f(x)的零点个数为2.
3．(2023·大庆模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(
)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 由题意可知，函数f(x)＝2x－－a在(1,2)上单调递增，因为f(x)的一个零点在区间(1,2)
内，所以f(1)f(2)<0，
即<0，解得0<a<3.
4．(2023·无锡模拟)函数f(x)＝的部分图象大致为( )答案 A
解析 f(x)＝变形为f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，关于y轴对称．
当0<x<1时，f(x)<0，当x≥1时，f(x)≥0，故B，C错误；
又当x→＋∞时，f(x)→0，故D错误，A正确．
5．若函数y＝a·x2，y＝c·2x，y＝b·x3，则由表中数据确定f(x)，g(x)，h(x)依次对应( )
1 2 3
x f(x) g(x) h(x)
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A.y，y，y B．y，y，y
1 2 3 2 1 3
C．y，y，y D．y，y，y
3 2 1 1 3 2
答案 D
解析 因为＝25＝2，＝4＝2，所以f(x)＝y；
1
因为＝125＝3，＝8＝3，所以g(x)＝y；
3
因为＝16＝，＝32＝，所以h(x)＝y.
2
6．(2023·渭南模拟)函数f(x)＝sin－|lg x|的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 f(x)的零点个数，即为y＝sin＝cos x与y＝|lg x|图象的交点个数，
在同一平面直角坐标系下，两个函数图象如图所示，
由图可知，两函数共有4个交点，故f(x)有4个零点．
7．(2024·凉山模拟)成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设
中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约 860公里，
设计时速160公里，于2022年12月26日正式开通运营．西昌到成都的列车运行时不仅速
度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强 I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方
米面积上声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L＝10lg.若提速前列车
的声强级是100 dB，提速后列车的声强级是50 dB，则提速前列车的声强是提速后列车声强的( )
A．106倍 B．105倍
C．104倍 D．103倍
答案 B
解析 设提速前列车的声强为I，提速后列车的声强为I，由题意知，100＝10lg，
1 2
50＝10lg，
得lg＝10，lg＝5，
则lg－lg＝10－5＝5，
即lg＝lg＝5，
解得＝105.
8．若函数f(x)＝的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为( )
A．(2，3] B．[2，3]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 当x<0时，易得f(x)的零点为x＝－1；
0
当x≥0时，f(x)＝2x＋21－x－a，
∵当x∈[0,1]时，f(x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象在[0,1]上关于直线x＝对称．
又f′(x)＝，
当x>时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递增，
当0<x<时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递减，
且f(0)＝1＋2－a，f ＝2－a.
∵f(x)的所有零点之和为0，
故f(x)在[0，＋∞)上有2个不同的零点，
且解得2<a≤3.
故实数a的取值范围为(2，3]．
二、多项选择题
9．设f(x)＝2x＋3x－7，某学生用二分法求方程f(x)＝0的近似解(精确度为0.1)，列出了它的
对应值如表：
x 0 1 1.25 1.375 1.437 5 1.5 2
f(x) －6 －2 －0.87 －0.28 0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为( )
A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44
答案 BC解析 ∵y＝2x与y＝3x－7都是R上的增函数，
∴f(x)＝2x＋3x－7是R上的增函数，
∴f(x)在R上至多有一个零点，
由表格中的数据可知，
f(1.375)＝－0.28<0，f(1.437 5)＝0.02>0，
∴f(x)在R上有唯一零点，零点所在的区间为(1.375,1.437 5)，
即方程f(x)＝0有且仅有一个解，且在区间(1.375,1.437 5)内，
∵1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，
∴[1.375,1.437 5]内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
∵1.31∉[1.375,1.437 5]，1.38∈[1.375,1.437 5]，1.43∈[1.375，1.437 5]，1.44∉[1.375,1.437
5]，
∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.
10．(2023·济宁模拟)下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x＋ B．y＝x3＋x
C．y＝sin D．y＝cos
答案 BD
解析 对于A，设f(x)＝x＋，x≠0，
则f(－x)＝－x＋＝－f(x)，
得y＝x＋为奇函数，令x＋＝0，方程无解，
即函数不存在零点，故A不符合；
对于B，设f(x)＝x3＋x，x∈R，
则f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，
得y＝x3＋x为奇函数，令x3＋x＝0，
得x＝0，即函数存在零点，故B符合；
对于C，设f(x)＝sin＝cos x，是R上的偶函数，故C不符合；
对于D，设f(x)＝cos＝－sin x，是R上的奇函数，且存在零点，故D符合．
11．(2024·湛江模拟)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了
危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，
继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与
排气时间t(单位：分)之间满足函数关系y＝f(t)，其中＝R(R为常数)．若空气中一氧化碳浓
度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库，则下列说法正确的是( )
A．R＝
B．R＝－C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
答案 BD
解析 因为＝R，
所以可设f(t)＝a·eRt(a≠0)．
又
解得R＝－，a＝128，故B正确，A错误；
所以f(t)＝ ，
当f(t)≤0.5，即 ≤0.5时，得 ≤，
所以－t≤ln ，即t≥＝32，
所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误．
12．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，且x<x<x<x，则( )
1 2 3 4 1 2 3 4
A．x＋x＝－2 B．0<x<1<x<2
1 2 3 4
C．xx≥1 D．x＋x＋x＋x＝0
3 4 1 2 3 4
答案 ABD
解析 如图所示，作出
f(x)＝和y＝t的图象．
当x＝0时，f(0)＝＋2－2＝.
因为存在x，x，x，x 使得f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，所以0<t<.
1 2 3 4 1 2 3 4
由图象可知x，x 关于x＝－1对称，
1 2
所以＝－1，
所以x＋x＝－2，故A正确；
1 2
当x≥0时，令f(x)＝，
即2x－1＋21－x－2＝，解得x＝0 或x＝2.
所以由图象可知0<x<1<x<2，故B正确；
3 4
因为当x≥0时，f(x)＝2x－1＋21－x－2，
所以f(1＋x)＝2x＋2－x－2，f(1－x)＝2－x＋2x－2，
所以当0≤x≤2时，有f(1＋x)＝f(1－x)，
即f(x)的图象关于x＝1对称，所以x，x 关于x＝1对称，所以＝1，
3 4
所以x＋x＝2，即x＝2－x，
3 4 4 3
所以xx＝(2－x)x＝－(x－1)2＋1(0<x<1)．
3 4 3 3 3 3
因为x<1，所以xx<1，故C错误；
3 3 4
因为x＋x＝2.
3 4
又x＋x＝－2，
1 2
所以x＋x＋x＋x＝0，故D正确．
1 2 3 4
三、填空题
13．已知函数f(x)的表达式为f(x)＝x－4log x，用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近
2
似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x)的值，第三次计算f(x)的值，则x ＝
1 2 2
________.
答案
解析 因为f(1)＝1－4log 1＝1>0，
2
f(3)＝3－4log 3<3－4log 2＝－1<0，
2 2
根据二分法可得，x＝2，
1
且f(2)＝2－4log 2＝－2<0，
2
所以零点所在的区间为[1,2]，
所以x＝.
2
14．(2023·潍坊模拟)写出一个同时满足下列三个性质的函数f(x)＝________.
①f(x)是奇函数；②f(x)在(2，＋∞)上单调递增；③f(x)有且仅有3个零点．
答案 x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)
解析 由f(x)是奇函数，不妨取f(0)＝0，且函数图象关于原点对称，
又f(x)有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证f(x)在(2，＋∞)上单调递增，显然f(x)＝x(x＋1)(x－1)满足题意．
15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”．新的计划有以
下几点要求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐
上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩为10万元或10万元以内时奖金为0，超过10万
元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元．设业绩为x(10≤x≤300)万元时奖
金为f(x)千元，下面给出三个函数模型：①f(x)＝k·x＋b；②f(x)＝k·log x＋b；③f(x)＝k·x2＋
2
b.其中k>0，b∈R.请选择合适的函数模型，计算当业绩为100万元时，奖金为________千元．
答案 33
解析 根据题意，当k>0，b∈R时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高
而提高”，而只有模型“f(x)＝k·x2＋b”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上
升”，故选择模型③：f(x)＝k·x2＋b.
根据题意，得解得
所以f(x)＝x2－，
当x＝100时，f(x)＝×1002－＝33.
16．(2024·长春模拟)已知f(x)＝若y＝f(x)－a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是______．
答案 a＝0或a≥2
解析 由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|，作出函数y＝f(x)，y＝a|x|的图象，如图所示．
当a＝0时，满足条件，
当a≥2时，y＝a|x|与y＝f(x)有3个交点，
故a的取值范围是a＝0或a≥2.
