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必刷小题 7 三角函数
一、单项选择题
1．已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形的弧长为( )
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
答案 C
解析 设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇
形的弧长为9 cm.
2．(2023·银川模拟)已知sin θ＋2cos2＝，则sin 2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 因为sin θ＋2cos2＝，
所以sin θ＋cos θ＝，
两边平方得1＋2sin θcos θ＝，则sin 2θ＝－.
3．(2023·日照模拟)在平面直角坐标系中，角θ的大小如图所示，则tan θ等于( )
A. B.
C．1 D.
答案 D
解析 由图可知，tan＝＝5，
即＝5，解得tan θ＝.
4．(2024·益阳模拟)将函数f(x)＝cos(2x＋θ)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，
若g(x)的图象关于直线x＝对称，则θ等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 A
解析 由题意知，g(x)＝cos＝cos，令2x－＋θ＝kπ(k∈Z)，得函数g(x)的对称轴为x＝－
＋，又|θ|<，当k＝0时，有－＝，解得θ＝.
5．(2023·兰州模拟)已知函数f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的x∈R，都有f(x)≤f(x)≤f(x)
1 2
成立，则|x－x|的最小值为( )
1 2
A．2 B．1 C．4 D.答案 B
解析 由于函数f(x)＝2sin(πx＋1)的周期T＝＝2，对于任意x∈R，都有f(x)≤f(x)≤f(x)成立，
1 2
可知f(x)是函数的最小值，f(x)是函数的最大值，所以|x－x|的最小值为＝＝1.
1 2 1 2
6．(2023·重庆模拟)若方程sin＝－在(0，π)上的解为x，x，则sin(x＋x)的值为( )
1 2 1 2
A. B．－ C．－ D.
答案 A
解析 令2x－＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
因为sin＝－在(0，π)上的解为x，x，
1 2
则函数y＝sin的图象与直线y＝－的交点关于直线x＝对称，所以x＋x＝，
1 2
则sin(x＋x)＝sin ＝.
1 2
7．(2023·西安模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷
影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，
根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对
同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为 α，β，且tan(α－β)＝，若第二
次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
答案 B
解析 依题意，tan β＝1，
则tan α＝tan[α－β＋β]
＝＝＝2，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍．
8．(2023·长春模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图，BC∥x轴，当x∈时，
不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，则m的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，] D．(－∞，1]
答案 A
解析 因为BC∥x轴，所以f(x)图象的一条对称轴为x＝×＝，
所以＝－＝，
则T＝π，所以ω＝＝2，
又2×＋φ＝π＋kπ，k∈Z，且0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin，
因为当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，
所以m≤f(x)＋sin 2x＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，x∈恒成立，
令g(x)＝sin，x∈，
则2x＋∈，
所以g(x)＝sin的最小值为，
所以m≤，即m的取值范围是.
二、多项选择题
9．(2023·山东联考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在
第三象限，且与单位圆O交于点P，则( )
A．sin α＝－ B．tan α＝5
C．cos 2α＝－ D．sin＝－
答案 ACD
解析 由三角函数定义，得2＋y2＝1，
得y2＝.
又α是第三象限角，y<0，所以y＝－，
所以sin α＝－，cos α＝－，
tan α＝＝＝7，故A正确，B错误；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－，故C正确；
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，则sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝×＝－，故D正确．
10．(2024·梅河口模拟)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列
结论一定正确的是( )
A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α＋β)＝1
C．sin2＋sin2＝1 D．sin2α＋cos2β＝1
答案 AD
解析 因为tan(α＋β)＝
＝tan α＋tan β，
又当tan α＋tan β≠0时，
1－tan αtan β＝1，所以tan αtan β＝0，
所以tan α＝0或tan β＝0，这与α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)矛盾；
所以tan α＋tan β＝0，则α＋β＝kπ(k∈Z)，
对于A，sin(α＋β)＝sin kπ＝0，故A正确；
对于B，cos(α＋β)＝cos kπ＝±1，故B错误；
对于C，sin2＋sin2＝＋＝1－(cos α＋cos β)，不一定有cos α＋cos β＝0，故C错误；对于D，sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2(kπ－α)＝sin2α＋cos2α＝1，故D正确．
11．(2023·兰州模拟)若将函数f(x)＝cos 2x＋cos的图象向左平移个单位，再向上平移1个单
位，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的结论正确的是( )
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在区间上的最小值为－
C．g(x)在区间上单调递减
D．g(x)图象的对称中心为
答案 ACD
解析 f(x)＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋cos 2x－sin 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos，
所以g(x)＝cos＋1＝cos＋1＝－sin 2x＋1，
选项A，g(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；
选项B，由x∈，知2x∈，
所以sin 2x∈[0,1]，所以g(x)的最小值为1－，故B错误；
选项C，令2x∈，则x∈，
因为⊆，
所以g(x)在上单调递减，故C正确；
选项D，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，
所以g(x)图象的对称中心为，k∈Z，故D正确．
12．(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x，g(x)＝sin x＋cos x，则( )
A．f(x)与g(x)均在上单调递增
B．f(x)的图象可由g(x)的图象平移得到
C．f(x)图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴
D．函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋
答案 AD
解析 f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
选项A，由x∈知，2x∈，x＋∈，
又函数y＝sin x在上单调递增，
所以f(x)与g(x)均在上单调递增，故A正确；
选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，故B错误；
选项C，令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，
1 1 1
所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，
1
令x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，
2 2 2 2
所以g(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z，
2 2
所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，故C错误；选项D，因为f(x) ＝，g(x) ＝，
max max
而当x＝时，f(x) ＝与g(x) ＝可同时成立，所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋，故D正确．
max max
三、填空题
13．如果sin α＝－，α为第三象限角，则sin＝ .
答案
解析 由诱导公式可知sin＝－cos α，
又sin α＝－且α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以sin＝.
14．(2023·焦作模拟)计算：2cos 50°－＝ .
答案
解析 2cos 50°－＝2sin 40°－
＝＝
＝＝
＝＝.
15．(2024·宝鸡模拟)若a，b，c，d为实数，且＝ad－bc，定义函数f(x)＝，现将f(x)的图象
先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为 ．
答案 g(x)＝2cos 2x
解析 由题意可知，f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝2sin
－，
将f(x)的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数 g(x)的图象，则g(x)＝2sin－
＋＝2cos 2x.
16．(2023·焦作模拟)已知f(x)＝sin(3x＋φ)为奇函数，若对任意α∈，存在β∈，满足f(α)＋
f(β)＝0，则实数α的取值范围是 ．
答案 ∪
解析 因为f(x)＝sin(3x＋φ)为奇函数，所以φ＝0，f(x)＝sin 3x.
由f(α)＋f(β)＝0，可得sin 3α＋sin 3β＝0，
所以3β＝3α＋π＋2kπ，或3β＝－3α＋2kπ，k∈Z，
所以β＝α＋＋，或β＝－α＋，k∈Z，
若对任意α∈，存在β∈，满足f(α)＋f(β)＝0，
则－≤α＋＋≤α，k∈Z，
即＋≤0，α≥－－，k∈Z，
则k只能取－1，α＝，
或－≤－α＋≤α，k∈Z，则≤α≤＋，k∈Z，
则k只能取0,0≤α≤，
综上可得，实数α的取值范围是∪.
