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必刷小题 5 导数及其应用
一、单项选择题
1．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 由题意知，x>0，
y′＝x－＝，
令y′<0，得0f′(1)>f′(3)
B．f′(－2)>f′(3)>f′(1)
C．f′(3)>f′(1)>f′(－2)
D．f′(3)>f′(－2)>f′(1)
答案 A
解析 由已知可得，函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1,1]上单调递减，在(1,2]上
单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，函数f(x)在x＝1处取得极小值，所以f′(－2)>0，f′(1)＝0，f′(3)<0，
所以f′(－2)>f′(1)>f′(3)．
4．(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝x2－(1＋a)x＋aln x在x＝a处取得极小值，则实数a的取
值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1] D．(0,1)
答案 B
解析 因为函数f(x)＝x2－(1＋a)x＋aln x，x>0，
则f′(x)＝x－(1＋a)＋＝，
要使函数f(x)在x＝a处取得极小值，则a>1.
5．已知函数f(x)＝3x＋2sin x，若a＝ ，b＝f(2)，c＝－f ，则a，b，c的大小关系是
( )
A．a0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数，
因为f(－x)＝3(－x)＋2sin(－x)＝－(3x＋2sin x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
所以c＝－f ＝f ＝f(log 7)，
2
又由2＝log 40，
当r∈(3,8]时，f′(r)<0，
因此函数f(r)在(0,3)上单调递增，在(3,8]上单调递减，即当r＝3时，f(r)取最大值，
所以当每瓶液体材料的利润最大时，r＝3.7．(2023·商洛统考)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数
f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间
(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的
“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中
值点”的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 f′(x)＝1＋ln x－，
设x 为函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，
0
则1＋ln x－＝＝0，
0
令g(x)＝1＋ln x－，1≤x≤2，
则g′(x)＝＋>0在[1,2]上恒成立，
故g(x)＝1＋ln x－在[1,2]上单调递增，
又g(1)＝1－2＝－1<0，g(2)＝1＋ln 2－1＝ln 2>0，
由零点存在定理可得，存在唯一的x∈[1,2]，使得g(x)＝0.
0 0
8．(2023·山东多校联考)已知函数f(x)＝xex，若f(x)≥ax－a恒成立，则实数a的最大值为(
)
A. B．e＋1
C．2e D．e＋4
答案 C
解析 由题意可得f(x)＝xex，
则f′(x)＝(x＋1)ex，
当x>－1时，f′(x)>0；
当x<－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
当f(x)＝xex的图象与直线y＝a相切时，
设切点为 ，
则切线斜率a＝f′(x)＝ ，
0
所以该切线方程为y－ ，
注意到切线过点，
则0－ ，整理得2x－x－1＝0，
0
解得x＝1或x＝－，
0 0
当x＝1时，a＝f′(1)＝2e；
0
当x＝－时，a＝f′＝ .
0
结合图象可得，实数a的取值范围为 ，
即实数a的最大值为2e.
二、多项选择题
9．下列函数中，存在极值点的是( )
A．y＝x＋ B．y＝2x2－x＋1
C．y＝xln x D．y＝－2x3－x
答案 ABC
解析 由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋
∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1；
对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标 x
＝；
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈时，y′<0，函数单调递减，当 x∈时，
y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x在x＝处取得极小值；
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x是减函数，没有极值点．
10．(2024·运城模拟)下列不等式恒成立的是( )
A．ex≥x＋1 B．ln x≤x－1
C．sin x≤x D．ex≥2x＋1
答案 AB
解析 对于A，设f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x) ＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正确；
min
对于B，设g(x)＝ln x－x＋1，x>0，g′(x)＝－1＝，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝g(1)＝0，即ln x≤x－1，故B正确；
max
对于C，当x＝－时，sin＝－1，此时sin>－，故C错误；
对于D，当x＝1时，e<2＋1，故D错误．
11．函数f(x)满足f′(x)f(1) D．ef(1)>>>，
即ef(2)>f(3)，e2f(－1)>f(1)，
ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2)．
12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
答案 AC
解析 因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)>0得
x>或x<－；由f′(x)<0得－0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R
上有且只有一个零点，故B错误；
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3
－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心
故C正确；
假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点坐标为(x ，y)，则f′(x)＝3x－1＝2，解得x ＝
0 0 0 0
±1；若x ＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x ＝－1，则切点坐标为
0 0
(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．
三、填空题13．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
答案 y＝－
解析 令y＝f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，
令f′(x)＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝－，
所以函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
14．若函数f(x)＝ax＋ex在(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－e]
解析 由题意知，
f′(x)＝a＋ex≤0在(－∞，1]上恒成立，
得a≤(－ex) ，
min
又函数y＝－ex在(－∞，1]上单调递减，
所以(－ex) ＝－e，所以a≤－e.
min
15．设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(x)－f(－x)＝2sin x，且在[0，
＋∞)上，f′(x)>cos x．若f －f(t)>cos t－sin t，则实数t的取值范围为____________．
答案
解析 因为f(x)－f(－x)＝2sin x，
所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)，
设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R，
可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数，
在[0，＋∞)上有f′(x)>cos x，
所以g′(x)＝f′(x)－cos x>0，x∈[0，＋∞)，
故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减，
由f －f(t)>cos t－sin t，得
f(t)－sin t0，解得t<.
16．(2023·郑州模拟)若关于x的不等式m≤x有正整数解，则实数m的最小值为________．
答案 9
解析 因为不等式有正整数解，
所以x>0，于是m≤x转化为≥3ln 3，x＝1显然不符合题意；
当x>1时，ln x>0，m>0，
所以≥3ln 3可变形为≥.
令f(x)＝，x>1，则f′(x)＝，所以当10；当x>e时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而2
