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§2.10 函数的图象
课标要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析
法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数
与不等式解的问题．
知识梳理
1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝ － f ( x )．
②y＝f(x)―――――→y＝ f ( － x ) ．
③y＝f(x)―――――→y＝ － f ( － x )．
④y＝ax (a>0，且a≠1)―――――→y＝log x ( a >0 ，且 a ≠ 1) ．
a
(3)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝ | f ( x ) |.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝ f ( | x |) ．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．
如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对
称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
⇔
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( × )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( × )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
2．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 C
解析 由于f ＝<0，故D错误，
当x→＋∞时，f(x)→0，A，B错误．
3．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，
函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，
故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象
如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．
4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长
度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 e－x＋1
解析 由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e
－x＋1的图象.题型一 作函数图象
例1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－4x－5|；
(3)y＝|x－1|－1.
解 (1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度得到，如图所示．
(2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方
的部分翻折到x轴上方得到，如图所示．
(3)y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单
位长度得到，
而y＝|x|＝其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
则y＝|x－1|－1的图象如图所示．
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，
则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：(1)y＝x2－2|x|－3；
(2)y＝|log (x＋1)|.
2
解 (1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示．
(2)y＝|log (x＋1)|，其图象可由y＝log x的图象向左平移1个单位长度，
2 2
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)(2024·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为( )
答案 C
解析 由题意知函数f(x)的定义域为，
因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A；
因为f(1)＝>0，故排除B；
因为f(2)＝>＝f(1)，故排除D.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函
数是( )A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 A
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y
＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当02f(x)的解集为( )
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
则或
解得x<－2或0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示．由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1)．
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象
可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上
单调递增，则a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图
象，
则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，
又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的
取值范围是________．
答案
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，
斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实
数k的取值范围为.
(3)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，若对任意
x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－2)，且当x∈(0,2]时，f(x)＝x(2－x)，
所以当x∈(2,4]时，f(x)＝2(x－2)[2－(x－2)]＝2(x－2)(4－x)，
当x∈(4,6]时，f(x)＝4[(x－2)－2][4－(x－2)]＝4(x－4)(6－x)，
函数部分图象如图所示，由4(x－4)(6－x)＝3，得4x2－40x＋99＝0，
解得x＝或x＝，
因为对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤3，
所以由图可知m≤.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个
单位长度，所得的函数图象对应的解析式为( )
A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6
C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2
答案 C
解析 函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象，
再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象．
2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为( )
答案 A
解析 方法一 (特值法)
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0；
取x＝－1，则y＝cos(－1)
＝－cos 1<0.结合选项知A正确．方法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故A正确．
3．(2023·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可
能是( )
A．y＝(x＋2)sin 2x
B．y＝
C．y＝
D．y＝
答案 B
解析 A选项，设f(x)＝(x＋2)sin 2x，
则当x∈时，2x∈(π，2π)，
则f(x)<0，不符合图象，排除A；
C选项，设f(x)＝，
当x∈(0，π)时，f(x)＝，
且20的解集是( )
2
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．∅
答案 B
解析 不等式f(x)>0 log (x＋1)>|x|，
2
分别画出函数y＝log⇔2 (x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示，由图象可知y＝log
2
(x＋1)和y＝|x|有
两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，
由图象可知log (x＋1)>|x|的解集是(0,1)，
2
即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．
6．(2024·天津模拟)定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是
最优解．若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最优解，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
答案 D
解析 |x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|0时，要存在唯一的整数x，满足f(x)0
D．abc<0
答案 BCD
解析 由图知f(0)＝>0，所以b<0，B正确；
当x＝－c时，函数f(x)无意义，
由图知－c<0，所以c>0，C正确；
令f(x)＝0，解得x＝，
由图知<0，
又因为b<0，所以a>0，A错误；
综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确．
8．(2023·南京模拟)若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法错误
的是( )
A．函数f(x)为奇函数
B．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增
C．f(x) ＝－4
min
D．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减
答案 ABD
解析 由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，
可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
当x<1时，2－x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，则f(x)＝f(2－x)＝x2－4，
所以f(x)＝
作出f(x)＝的图象，如图所示，
所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减，
f(x) ＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D错误，C正确．
min
三、填空题
9．把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物
线解析式为____________．
答案 y＝2(x＋1)2＋3
解析 把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，得到y＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2
＋1的图象，再向上平移2个单位长度得到y＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的图象．
10．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
答案 1
解析 f(x)＝＝a＋，关于点(1，a)对称，故a＝1.
11．已知偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x－1)的单调递增区间
是_________．
答案 (－∞，2]
解析 因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]
上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向
右平移2个单位长度得到的，所以函数f(x－1)的单调递增区间是(－∞，2]．
12．(2023·赤峰模拟)若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值是－1，最大值是3，则n－m
的最大值为________．
答案 4＋
解析 作出函数
f(x)＝x(|x|－2)＝的图象，如图所示，当x≥0时，令x(x－2)＝3，
得x＝－1(舍)，x＝3，
1 2
当x<0时，令x(－x－2)＝－1，
得x＝－1－，x＝－1＋(舍)，
3 4
结合图象可得(n－m) ＝x－x＝3－(－1－)＝4＋.
max 2 3
四、解答题
13．已知函数f(x)＝
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况．
解 (1)当x≤0时，0<2x≤1，则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)，
作出函数f(x)的图象，如图所示．
(2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)，
则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数，
如图所示．
当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根；
当00，求a的最大值；
(2)当a＝3时，求函数f(x)的零点；
(3)若对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范围．
解 (1)因为函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)，
所以f(4)＝24－4a＋1>0，即a<，
又a∈Z，所以a的最大值为4.
(2)当a＝3时，f(x)＝2x－3x＋1，
由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函数y＝2x与y＝3x－1的图象，如图所示．
由图可知y＝2x与y＝3x－1的图象有两个交点，
即函数f(x)有两个零点，
又因为f(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0，
故函数f(x)的零点为1,3.
(3)因为对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，
所以2x>ax－1在(－∞，1)上恒成立，
即当x∈(－∞，1)时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方，
作出函数y＝2x，x∈(－∞，1)与y＝ax－1的大致图象，如图所示．
则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，
即a的取值范围为[0,3]．
15.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴
滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函
数y＝f(x)的判断正确的是( )
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
答案 BCD解析 由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；
当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；
当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．
此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，
故A错误；
因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在
[－2,0]上的图象相同，即f(x)在[6,8]上单调递增，故D正确．
16．(2024·抚顺联考)若函数f(x)＝恰有3个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (－5，－4)
解析 由f(x)＝0，
得a＝
作出函数g(x)＝的图象，如图所示．
由图可知，当a∈(－5，－4]时，直线y＝a与函数g(x)的图象有3个交点，
从而f(x)有3个零点，
但x2－4x－a>0对x>0恒成立，则a<－4，
故a∈(－5，－4)．
