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训练 14 三角函数的图象与性质
一、单项选择题
1．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是( )
A. B. C．π D．2π
答案 C
解析 f(x)＝|sin x＋cos x|＝，
函数图象是将g(x)＝sin的图象在x轴下方的部分向上翻折形成的，如图所示，
根据图象知函数f(x)的最小正周期为π.
2.(2024·上饶模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin的图象，只需
将f(x)的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 A
解析 由题意知，＝－＝，所以T＝＝，解得ω＝3.f＝sin＝0，
所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin.
因为＝－，所以只需将f(x)的图象向右平移个单位长度．
3．将函数g(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x的图象，
则函数g(x)的图象的一个对称中心是( )
A．(π，0) B．(π，)
C. D.
答案 B解析 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋(cos 2x＋1)＝sin 2x＋cos 2x＋
＝2sin＋，
将g(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，
∴g(x)＝2sin＋＝2sin 2x＋，
∴g(x)的对称中心为(k∈Z)，
当k＝2时为(π，)．
4．(2023·长春模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图，BC∥x轴，当x∈时，
不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，则m的取值范围是( )
A. B.
C．(－∞，] D．(－∞，1]
答案 A
解析 因为BC∥x轴，所以f(x)图象的一条对称轴为x＝×＝，
所以＝－＝，则T＝π，所以ω＝＝2，
又2×＋φ＝π＋kπ，k∈Z，且0<φ<π，
所以φ＝，故f(x)＝sin，
因为当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，
所以m≤f(x)＋sin 2x＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，x∈恒成立，
令g(x)＝sin，x∈，
则2x＋∈，
所以g(x)＝sin的最小值为，
所以m≤，即m的取值范围是.
二、多项选择题
5．(2024·武汉模拟)先将函数f(x)＝2sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原
来的，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A．在上单调递增
B．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]
C．其图象关于直线x＝对称
D．最小正周期为π，其图象关于点对称
答案 BC解析 由题可得g(x)＝2sin，
当x∈时，2x－∈，故函数g(x)在上不单调，故A错误；
当x∈时，2x－∈，
sin∈，g(x)＝2sin∈[－2,1]，故B正确；
当x＝时，2x－＝，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；
由g(x)＝2sin可知，最小正周期为π，又x＝，2x－＝，故函数g(x)的图象不关于点对称，故
D错误．
6．(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x，g(x)＝sin x＋cos x，则( )
A．f(x)与g(x)均在上单调递增
B．f(x)的图象可由g(x)的图象平移得到
C．f(x)图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴
D．函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋
答案 AD
解析 f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
选项A，由x∈知，2x∈，x＋∈，
又函数y＝sin x在上单调递增，
所以f(x)与g(x)均在上单调递增，故A正确；
选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，故B错误；
选项C，令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，
1 1 1
所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，
1
令x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，
2 2 2 2
所以g(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ，k∈Z，
2 2
所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，故C错误；
选项D，因为f(x) ＝，g(x) ＝，
max max
而当x＝时，f(x) ＝与g(x) ＝可同时成立，
max max
所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋，故D正确．
三、填空题
7．(2024·江南十校模拟)已知函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为，则ω＝________.
答案 2
解析 函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为，故＝，
∴ω＝2.
8．函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)图象的一
条对称轴是直线x＝－，则ω的最小值为________．
答案解析 ∵g(x)＝f
＝sin，
又直线x＝－是g(x)图象的对称轴，
∴ω－＝－ω－＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－－3k(k∈Z)，
∵ω>0，
∴当k＝－1时，ω的最小值为.
四、解答题
9．已知函数f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋.
(1)求f 的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)，若x∈时，不等式c
