文档内容
§4.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)
课标要求 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，
φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体
会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( × )
(2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.( × )(3)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y＝sin.( × )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
( √ )
2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t
的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
答案 1
解析 当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1，
即12点时潮水的高度是1 m.
4．将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 sin
解析 将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 y＝
sin 2x的图象，再向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2023·淄博模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，得到
函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案 C
解析 因为函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，
故函数的最小正周期为T＝，所以ω＝3；
故函数f(x)＝Asin，
为得到g(x)＝Acos 3x的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移个单位，
得到g(x)＝Asin＝Asin＝Acos 3x的图象．
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω>0，所以ω ＝.
min
思维升华 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单
位而非φ个单位．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1 (1)已知曲线C ：y＝cos x，C ：y＝sin，为了得到曲线C ，则对曲线C 的变换
1 2 2 1
正确的是( )
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位
C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位
D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位
答案 C
解析 C ：y＝sin＝cos
2
＝cos＝cos
＝cos 2.
故把y＝cos x的图象横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x的图象向
右平移个单位即得到C 的图象．
2
(2)若函数y＝sin的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数ω不可能是( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 A
解析 依题意，＝kT，即＝k·，
即ω＝3k，k∈Z，
∴ω不可能为2.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(多选)(2024·邢台模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的
图象如图所示，则( )A．A＝4 B．ω＝2
C．φ＝ D．k＝1
答案 BD
解析 由图象可知，A＝2，k＝＝1，故A错误，D正确；
又由图象可得T＝2×＝π，∴＝π，又ω>0，∴ω＝2，故B正确；
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，又f ＝3，
∴2sin＋1＝3，
∴sin＝1，又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1，故C错误．
(2)如图所示为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，其中|AB|＝5，则此函数的解析式为
________．
答案 y＝2sin
解析 由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，
设A(x,2)，B(x，－2)，其中x0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
答案 B
解析 由图象知π0，ω>0)，
由
解得又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP ＝，所以ω＝，φ＝－，
0
所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所
以此时点P距离水面2米，故C正确；
将H＝1＋代入H＝2sin＋1中，
得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋，
解得t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)．
所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确．
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位得到，则y＝f(x)
的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 因为y＝cos向左平移个单位所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而直线y＝x－显然过与(1,0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，
考虑2x＝－，2x＝，2x＝，
即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，
当x＝－时，f ＝－sin＝－1，
y＝×－＝－<－1；
当x＝时，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝<1；
当x＝时，f ＝－sin ＝1，
y＝×－＝>1.
所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.
思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结
合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题
抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3 (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．如表所示是今年前四个月的统计情况．
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为
__________________．
答案 y＝sin＋6(答案不唯一)
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，
因为T＝，所以ω＝，
所以y＝sin＋6.
因为当x＝1时，y＝6，
所以6＝sin＋6，
结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，
可取φ＝－，
所以y＝sin＋6.
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围
是____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
即直线y＝和函数y＝sin t，t∈的图象有两个不同的交点，作出y＝，y＝sin t的图象，如图
中实线部分所示．
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
课时精练一、单项选择题
1．(2024·屯昌模拟)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案 D
解析 函数y＝2sin的周期为T＝＝π，图象向右平移个周期，即平移个单位后，所得图象对
应的函数为y＝2sin，即y＝2sin.
2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝－
D．ω＝，φ＝－
答案 C
解析 由题图可得＝－＝，
∴T＝π＝，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f ＝sin＝1，
且－<φ<，则<φ＋<，
∴φ＋＝，解得φ＝－.
3．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平
移个单位，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到
原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin的图象―――――――――――→
y＝sin的图象――――――――――――――――→f(x)＝sin的图象．
4．(2023·梅河口模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只
需将g(x)＝cos 3x的图象( )A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案 D
解析 由题图得，＝－＝，
∴T＝＝，∴ω＝3，
又f ＝0，即sin＝0，
则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，
∴φ＝，f(x)＝sin，
故把g(x)＝cos 3x＝sin的图象向右平移个单位，
可得到f(x)＝sin＝sin的图象．
5．(2023·大理模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f(x)≤对∀x∈R恒成立，且
f(x)的图象关于x＝对称，则ω的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由已知得＝＝1，
又0<φ<π，故＋φ＝，得φ＝，
∵f(x)的图象关于x＝对称，
∴＋＝＋kπ，k∈Z，
则ω＝2＋8k>0，k∈Z，
∴当k＝0时，ω的最小值为2.
6．(2023·莆田模拟)已知函数f(x)＝sin x，将其图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象．
△ABC的顶点都是f(x)与g(x)图象的公共点，则△ABC面积的最小值为( )
A. B.π C．2 D．2π
答案 B
解析 函数f(x)＝sin x，将其图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象．所以g(x)＝sin，
两个函数的图象如图所示．由f(x)＝g(x)，可得
sin x＝sin＝sin x＋cos x，
可得tan x＝，x＝kπ＋，k∈Z，
如图所示就是△ABC面积的最小值情况之一，此时|AB|＝2π，此时点C到AB的距离为，三角
形的面积的最小值为××2π＝π.
二、多项选择题
7.如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
答案 BC
解析 由题图可知，函数的最小正周期
T＝2×＝π，
∴＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，
sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
故y＝sin.
由于y＝sin＝sin＝sin，故B正确；
y＝sin＝cos＝cos，故C正确；
对于A，当x＝时，sin＝1≠0，故A错误；
对于D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，故D错误；
当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，
得sin＝0，
结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，
但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去．
8．(2023·鞍山模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(x)的图象
过点(0，)，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)图象的一条对称轴为x＝
C．f(x)在上单调递减
D．把f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)＝cos的图象
答案 AC
解析 f(x)＝sin，
∵函数f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，解得ω＝2，
∴f(x)＝sin，
∵f(x)的图象过点(0，)，
∴f(0)＝sin＝，
即sin＝1，
∴φ＋＝2kπ＋，解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
∵|φ|<，
∴当k＝0时，φ＝，
则f(x)＝sin
＝sin＝cos 2x，
则f(x)的最大值为，故A正确；
f ＝cos ＝0≠±，
则x＝不是f(x)图象的一条对称轴，故B错误；
当00，f(x)＝Asin，函数y＝f(x)的部分图象如图所示，
若该函数的最小正零点是，则ω＝________.答案 2
解析 由图象知，A＝2，
因为该函数的最小正零点是，
所以2sin＝0，
则ω＋＝π，解得ω＝2.
10．(2023·厦门模拟)将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位，得到函数g(x)的图象，若
g(x)是奇函数，则φ＝________.
答案
解析 将函数f(x)的图象向左平移φ个单位，得到函数g(x)＝sin的图象，
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(0)＝sin＝0，
则2φ－＝kπ，k∈Z，
则φ＝＋，k∈Z，
因为0<φ<，
所以φ＝.
11.已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2
024π]内有________条对称轴．
答案 8 096
解析 f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin＝2sin(2ωx＋2φ)，
由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝，
由于点(0，)在单调递增的区间内，
故2φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝；
由图象过点，
则ω＋＝2π，解得ω＝2.故f(x)＝2sin，
令4x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z.
令0≤＋≤2 024π，k∈Z，
则－≤k≤8 096－，k∈Z.
所以f(x)在[0,2 024π]内有8 096条对称轴．
12.风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶
片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方
向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P
离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式
为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒．
答案 S＝60－30cos t(t>0) 4
解析 因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为 rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心
角为t，此时离地面的高度为30＋30，
故S＝60－30cos t(t>0)．
由S＝60－30cos t≥45，得cos t≤，
因为0≤t≤6，cos t≤，所以≤t≤，解得1≤t≤5，
故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒．
四、解答题
13．(2023·长沙模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)先将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个
单位，最后得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．
解 (1)由图可知，A＝＝2，
函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝π，∴ω＝＝2，
∵f ＝2sin＝2，
∴sin＝1，则φ＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的，
可得到函数y＝2sin的图象，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数y＝g(x)的
图象，
则g(x)＝2sin＝2sin，
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
则－≤sin≤1，－≤g(x)≤2，
所以g(x)在区间上的值域为[－，2]．
14．把函数f(x)＝2sin x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的
图象关于直线x＝对称，记函数h(x)＝f(x)g(x)．
(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)画出函数y＝h(x)在区间上的大致图象．
解 (1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，
根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0<φ<，所以φ＝，则g(x)＝2sin，
则h(x)＝f(x)g(x)＝4sin xsin
＝4sin x
＝2sin2x＋2sin xcos x
＝1－cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1，
则函数y＝h(x)的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h(x) 2 1 －1 1 3 2故y＝h(x)在区间上的大致图象如图所示．
15.(2023·大连模拟)如图，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π) 的图象与坐标轴交于点A，
B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，点O(坐标原点)为△ABD的重心(三条边中线的交点)，
其中A(－π，0)，则|OB|等于( )
A. B．1 C. D.
答案 C
解析 根据题意可知，点C是f(x)的一个对称中心，又直线BC交f(x)的图象于点D，利用对
称性可知B，D两点关于C点对称．
不妨设B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，
B B C C D D
由重心坐标公式可得＝0，
又x ＋x ＝2x ，即可得x ＝，
B D C C
由最小正周期公式可得－(－π)＝＝，
解得ω＝，即f(x)＝2sin，
将A(－π，0)代入f(x)可得2sin＝0，
又0<φ<π，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
所以|OB|＝y ＝f(0)＝2sin＝.
B
16．(2023·长沙模拟)将函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸
长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位后，得到一个奇函数图象，则＝________.
答案 －解析 将函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2
倍，得到函数g(x)＝f ＝asin x＋bcos x(a，b∈R)的图象，再将所得图象向左平移个单位后，
得到函数h(x)＝g＝asin ＋bcos(a，b∈R)的图象，因为h(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以有h(0)＝asin ＋bcos ＝a＋b＝0，解得＝－.
