§2.12 函数与方程的综合应用
重点解读 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通
过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较
大，一般出现在压轴题位置．
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1 (1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值
范围是( )
A．(－5，－4]∪[4，＋∞)
B．(－5，－4]
C．(－5，＋∞)
D．[－4，－2)∪[4，＋∞)
答案 B
解析 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的
图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，
根据图象得，方程的判别式Δ≥0；
f(2)>0；
函数图象的对称轴－>2.
即解得－5<m≤－4.
(2)(2023·苏州模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间
(1,2)内，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 根据题意有，
解得<m<.
命题点2 其他函数的零点分布
例2 已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log x，若函数
2
F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是( )
A．[3.5,4) B．(3.5,4]
C．(5,5.5] D．[5,5.5)
答案 A解析 由f(2－x)＋f(x)＝0 f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数，
当x∈(0,1]时，f(x)＝－log⇒2 x，
因此f ＝－log ＝1，f(1)＝0，
2
所以f(0)＝0，f ＝－1，f(－1)＝0，
且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2，
且g(－1)＝0，g＝－1，g(0)＝0，g＝1，g(1)＝0，
求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数，
即求f(x)与g(x)图象的交点个数，
如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象，
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，
若在区间[－1，m]上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为
(4,0)，因此3.5≤m<4.
思维升华 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值．
跟踪训练1 (1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，
则a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(－1,0)
C.
D.∪(1，＋∞)
答案 C
解析 令g(x)＝x2－2ax＋a，
由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得
即或解得－<a<0.
(2)(2023·郴州模拟)(多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，它们从
小到大依次记为x，x，x，x，则( )
1 2 3 4
A．0<k<1 B．x＋x＝－1
1 2
C．e<x<e2 D．0<xxxx<e4
3 1 2 3 4
答案 ACD
解析 画出函数f(x)与函数y＝k的图象如图所示，
f(x)在(－∞，－1]上单调递减，值域为[0，＋∞)；
在[－1,0)上单调递增，值域为[0,1)；
在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)；
在[e2，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)．
则有x＋x＝－2，ln x－2＋ln x－2＝0，
1 2 3 4
即xx＝e4，故B错误；
3 4
方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，
则有0<k<1，故A正确；
由f(x)在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)，
f(e)＝|ln e－2|＝1，f(e2)＝|ln e2－2|＝0，
可知e<x<e2，故C正确；
3
由x<x<0<x<x，可知xxxx>0，
1 2 3 4 1 2 3 4
又xxxx＝e4xx＝e4(－x)(－x)<e42＝e4.
1 2 3 4 1 2 1 2
则有0<xxxx<e4，故D正确．
1 2 3 4
题型二 复合函数的零点
命题点1 复合函数的零点个数判定
例3 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 令t＝f(x)，g(x)＝0，
则f(t)－2t＋1＝0，
即f(t)＝2t－1，
分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为t，t，
1 2
则t＝0,1<t<2，
1 2
对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t 的图象，如图所示，
2
由图象可得，
当f(x)＝t＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根，
1
当t＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t 有三个交点，即方程t＝f(x)有三个不相等的根，
2 2 2
综上可得g(x)＝0的实根个数为5，
即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5.
命题点2 根据复合函数零点求参数
例4 (2024·驻马店模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取
值范围是( )
A．(2,4] B．(2，＋∞)
C. D.
答案 C
解析 设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝h(t)＝t2－at＋1，
画出f(x)的图象，如图，
由图可知，当t<－1时，t＝f(x)有且仅有一个解；
当t＝－1或t>2时，t＝f(x)有两个不同的解；
当－1<t≤2时，t＝f(x)有三个不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因为函数g(x)有6个
零点，故需t2－at＋1＝0在(－1,2]内有两个不同的根，
所以 解得2<a≤，
即a的取值范围是.
思维升华 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝u(i＝1,2,3，…，n)；
i
(3)确定直线 u＝u(i＝1,2,3，…，n)与内层函数 u＝g(x)图象的交点个数分别为 a ，a ，
i 1 2
a，…，a，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a＋a＋a＋…＋a.
3 n 1 2 3 n
跟踪训练2 已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实
数解，则实数m的取值范围为______．
答案 (0,1]
解析 由题意，f(x)的图象如图所示，
因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解，
设 f(x)＝t，则方程 t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0 有 2 个不相等的实根 t ＝m，t ＝m＋1 且
1 2
0<t<1≤t<2或1≤t<2，t＝2.
1 2 1 2
当 1≤t<2，t ＝2 时，m＝1，满足题意；当 0<t<1≤t<2 时，0<m<1≤m＋1<2，解得
1 2 1 2
m∈(0,1)．
综上，m∈(0,1]．
课时精练
一、单项选择题
1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(
)
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 A
解析 令f(x)＝－x2＋ax＋4，
则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，
由二次函数的图象可知，
即解得0<a<3.
2．若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，－8]
C．(－∞，－8]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－8)∪(0，＋∞)
答案 B
解析 令t＝3x>0，则9x＝t2，
由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.
则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根．
由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋，
由基本不等式得－(a＋4)＝t＋≥2＝4，
当且仅当t＝2时，等号成立，
所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.
因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]．
3．(2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－
mf(x)有7个零点，则m的取值范围是( )
A．(－2,0)∪(0,16)
B．(0,16)
C．(0,2)
D．(－2,0)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 f(x)的图象如图所示，
由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，
当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝，
即y＝f(x)与y＝有4个交点，
所以0<<1，解得0<m<2.
4．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(
)
A. B．(－∞，0]C. D.
答案 A
解析 令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋，
由对勾函数的性质知y＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，y ＝2，此时x＝0，
min
因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0，
f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0.
综上，m≤.
5．已知f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log x)
2
＝3，则函数y＝2f(x)－的零点为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的 x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－
log x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－log x＝C，所以f(x)
2 2
＝log x＋C，
2
所以f(C)＝log C＋C＝3，则log C＝3－C，
2 2
由于函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减，
2
又log 2＝1＝3－2，所以C＝2，
2
故f(x)＝log x＋2＝log (4x)，
2 2
再令2f(x)－＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－＝0，
解得x＝(负值舍去)．
则函数y＝2f(x)－的零点为.
6．(2024·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且
当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内方程f(x)－log (x＋2)＝0(a>1)有三个不同的
a
实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，2)
答案 D
解析 根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4，
由f(x)是定义在R上的偶函数，
当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1可得
当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)，
所以f(－x)＝－x－1＝2x－1＝f(x)，
画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示，若在区间(－2,6]内方程f(x)－log (x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与y
a
＝log (x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点，
a
y＝log (x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示，
a
则需满足
即解得<a<2.
二、多项选择题
7．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x ，x ，且x<x ，则下列结论正确的
1 2 1 2
是( )
A．当m＝0时，x＝2，x＝3
1 2
B．m>－
C．当m>0时，2<x<x<3
1 2
D．二次函数y＝(x－x)(x－x)＋m的零点为2和3
1 2
答案 ABD
解析 对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为x＝2，x＝3，故A正确；
1 2
对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝2－≥－，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m
有两个交点，所以m>－，故B正确；
对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位
长度得到，则x<2<3<x，故C错误；
1 2
对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系得x ＋x ＝5，xx
1 2 1 2
＝6－m，代入y＝(x－x)(x－x)＋m可得y＝x2－(x＋x)x＋xx＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－
1 2 1 2 1 2
5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x)(x－x)＋m的零点为2和3，故D正确．
1 2
8．(2023·湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下
列式子中可以为g(f(x))的是( )
A．x2＋2x B．x＋1
C．ecos x D．ln(|x|＋1)
答案 ACD
解析 由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，
再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解．
对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确；
对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误；
对于C，当ecos x＝x时，令h(x)＝ecos x－x，因为h(0)＝e>0，h＝1－<0，
由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C正确；
对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，
所以方程有实数解，故D正确．
三、填空题
9．若存在正实数x，使得ax2＋(a2－1)x＋a＝0成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－－1]∪(0，－1]
解析 依题意，关于x的方程ax2＋(a2－1)x＋a＝0有正实数解，
当a＝0时，方程的解为x＝0，不符合题意，故a≠0，该方程是关于x的一元二次方程，且
有正实数解，注意到xx＝1，所以由
1 2
解得a≤－－1或0<a≤－1.
10．(2023·永州模拟)对于函数y＝f(x)，若存在非零常数 x ，使f(x)＋f(－x)＝0，则称点
0 0 0
(x，f(x))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为________．
0 0
答案 4
解析 若x≤0，f(x)＝－x2－2x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)，
在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－(x>0)的图象，此时有两个“优美
点”(x，f(x))，满足f(x)＋f(－x)＝0，如图①.
0 0 0 0
若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)，在同一直角坐标系中画出
g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象，此时有两个“优美点”(x，f(x))，满足f(x)＋
0 0 0
f(－x)＝0，如图②.
0
综上可知，满足题意的“优美点”有4个．
