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§4.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象
课标要求 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，
φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体
会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )
(2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )(3)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y＝sin.( )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
( )
2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t
的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
4．将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝_____________________.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2023·淄博模拟)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，得到
函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关
于y轴对称，则ω的最小值是( )
A. B. C. D.
跟踪训练1 (1)已知曲线C ：y＝cos x，C ：y＝sin，为了得到曲线C ，则对曲线C 的变换
1 2 2 1
正确的是( )
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
(2)若函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正数ω不可能是( )
A．2 B．3 C．6 D．9
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(多选)(2024·邢台模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的
图象如图所示，则( )A．A＝4 B．ω＝2
C．φ＝ D．k＝1
(2)如图所示为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，其中|AB|＝5，则此函数的解析式为
________________________________________________________________.
思维升华 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的
两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用例3 (1)(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业
生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理
(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒
逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P)开始计时，则下列结论
0
正确的是( )
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝
f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪训练3 (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复
出现．如表所示是今年前四个月的统计情况．
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为
__________________．
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围
是____________________．
