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§2.12 函数与方程的综合应用
重点解读 函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通
过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较
大，一般出现在压轴题位置．
题型一 由零点分布求值(范围)
命题点1 二次函数的零点分布
例1 (1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值
范围是( )
A．(－5，－4]∪[4，＋∞)
B．(－5，－4]
C．(－5，＋∞)
D．[－4，－2)∪[4，＋∞)
答案 B
解析 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的
图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，
根据图象得，方程的判别式Δ≥0；
f(2)>0；
函数图象的对称轴－>2.
即解得－50，
1 2 3 4 1 2 3 4
又xxxx＝e4xx＝e4(－x)(－x)2时，t＝f(x)有两个不同的解；
当－10，则9x＝t2，
由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.
则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根．
由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋，
由均值不等式得－(a＋4)＝t＋≥2＝4，
当且仅当t＝2时，等号成立，
所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.
因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]．
3．(2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－
mf(x)有7个零点，则m的取值范围是( )
A．(－2,0)∪(0,16)
B．(0,16)
C．(0,2)
D．(－2,0)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 f(x)的图象如图所示，
由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，
当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝，
即y＝f(x)与y＝有4个交点，
所以0<<1，解得00)，则t是增函数，令y＝t＋，
由对勾函数的性质知y＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，y ＝2，此时x＝0，
min
因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0，
f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0.
综上，m≤.
5．已知f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log x)
2
＝3，则函数y＝2f(x)－的零点为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的 x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－
log x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－log x＝C，所以f(x)
2 2
＝log x＋C，
2
所以f(C)＝log C＋C＝3，则log C＝3－C，
2 2
由于函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减，
2
又log 2＝1＝3－2，所以C＝2，
2
故f(x)＝log x＋2＝log (4x)，
2 2
再令2f(x)－＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－＝0，
解得x＝(负值舍去)．
则函数y＝2f(x)－的零点为.
6．(2024·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且
当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内方程f(x)－log (x＋2)＝0(a>1)有三个不同的
a
实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，2)
答案 D
解析 根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4，
由f(x)是定义在R上的偶函数，
当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1可得
当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)，
所以f(－x)＝－x－1＝2x－1＝f(x)，
画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示，若在区间(－2,6]内方程f(x)－log (x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与y
a
＝log (x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点，
a
y＝log (x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示，
a
则需满足
即解得－
C．当m>0时，2－，故B正确；
对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位
得到，则x<2<30，h＝1－<0，
由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C正确；
对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，
所以方程有实数解，故D正确．
三、填空题
9．若存在正实数x，使得ax2＋(a2－1)x＋a＝0成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－－1]∪(0，－1]
解析 依题意，关于x的方程ax2＋(a2－1)x＋a＝0有正实数解，
当a＝0时，方程的解为x＝0，不符合题意，故a≠0，该方程是关于x的一元二次方程，且
有正实数解，注意到xx＝1，所以由
1 2
解得a≤－－1或00)的图象，此时有两个“优美
点”(x，f(x))，满足f(x)＋f(－x)＝0，如图①.
0 0 0 0
若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)，在同一直角坐标系中画出
g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象，此时有两个“优美点”(x，f(x))，满足f(x)＋
0 0 0
f(－x)＝0，如图②.
0
综上可知，满足题意的“优美点”有4个．
