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3.4 实际问题与一元一次方程
题型1：配套问题
1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件．
现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材制作A部件，才能使生产的A、B刚好配套？恰好
配成这种仪器多少套？
【答案】解：设x立方用来做A部件，（6－x）立方用来做B部件．
40x⋅3=240×(6−x)
解得x=4
∴6−x=2
∴4m3做A部件，2m3做B部件．
A：40×4=160
∴共能做160套仪器．
答：应用4m3做A部件，才能使生产的A、B刚好配套恰好配成这种仪器160套
【解析】【分析】 设x立方用来做A部件，（6－x）立方用来做B部件．根据“一套仪器由一个A
部件和三个B部件构成”列出方程组求解即可.
【变式1-1】用方程解答问题：某车间有22名工人，用铝片生产听装饮料瓶，每人每天可以生产1200
个瓶身或2000个瓶底，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，为使每天生产的瓶身和瓶底刚好配套，应
安排生产瓶身和瓶底的工人各多少名？
【答案】解：设安排生产瓶身的工人 x 人，则安排生产瓶底的工人 (22−x) 人，则
2000(22−x)
1200x= ，
2
整理得： 22x=220，
解得： x=10， 则 22−x=12，
答：安排生产瓶身的工人 10 人，则安排生产瓶底的工人 12 人.【解析】【分析】 设安排生产瓶身的工人x人，则安排生产瓶底的工人（22-x） 人， 根据“ 一个
瓶身和两个瓶底可配成一套”，建立关于x的一元一次方程求解即可.
【变式1-2】2020年3月，我县新冠肺炎疫情最为严重．为支持抗疫，某工厂紧急加工一批医用口
罩．已知某车间有52名工人，每名工人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面
需要配2个口罩耳绳．请问安排多少名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配
套．
【答案】解：设安排x名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套，则生产口罩
耳绳的工人有（52﹣x）名，
依题意得2×800x＝1000（52﹣x），
解得x＝20．
答：安排20名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套．
【解析】【分析】设安排x名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套，则生产
口罩耳绳的工人有（52﹣x）名，根据题意列出方程2×800x＝1000（52﹣x），再求出x的值即可。
题型2：工程问题
2.某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年
面临老化的自来水管，这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要
24天．现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工
时，乙工程队中途共离开了3天，问这项工程一共用了多少天？
【答案】解：∵甲工程队单独改造需要12天，由乙工程队单独改造需要24天，
1 1
∴甲的工作效率为： ，乙的工作效率为： ，
12 24
解：设这项工程一共用了x天，
1 1
x+ (x−3)=1
12 24
解得：x=9 ，
答：这项工程一共用了9天．
【解析】【分析】 设这项工程一共用了x天， 根据甲独干工作量+乙独干工作量=工作总量，列出方
程并解之即可.
【变式2-1】整理一批图书，由一个人做要40h完成，现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们
一起做8h，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
【答案】解：设安排x人先做4h，
4x 8(x+2)
由题意得： + =1
40 40
解得x=2，
∴应安排2人先做4h，
答：应安排2人先做4h．4x 8(x+2)
【解析】【分析】设安排x人先做4h，根据题意列出方程 + =1，再求出x的值即可。
40 40
【变式2-2】
题型3：商品销售问题
3.某商店规定，购买超过10000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付商品售价的
20%，剩下的金额在约定的时间内还清即可．王叔叔想购买价值15000元的家具，采用商店分期付款
的方式约定剩下金额12个月还清，那么他平均每月需还多少元？
【答案】解：设他平均每月需还x元，根据题意列方程，得：
15000×20%+12x＝15000，
解得：x＝1000，
答：他平均每月需还1000元．
【解析】【分析】设他平均每月需还x元，根据题意列方程15000×20%+12x＝15000求解即可。
【变式3-1】列方程解应用题：
已知A地与B地相距150千米，小华自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费是
驾驶新购买的纯电动车所需电费的4倍，如果每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的
纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
【答案】解：设每行驶1千米，新购买的纯电动车需要电费x元， 根据题意列方程，得
4×150x=150（x+0.54）.解得：x=0.18
答：新购买的纯电动汽车每行驶1千米需要电费0.18元．
【解析】【分析】先求出 4×150x=150（x+0.54），再解方程即可。
【变式3-2】列一元一次方程解应用题：用A4纸在某文印社复印，复印页数不超过20时，每页收费
0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元．在某图书馆复印同样的文件，无论复
印多少页，每页收费0.1元．若小华复印资料恰好花费了4.83元，请问小华是在文印社还是在图书馆
复印的？复印了多少页？
【答案】解：因为4.83÷0.1=48.3，48.3是小数不是整数，
所以小华不是在图书馆复印的，是在文印社复印的，
因为20×0.12=2.4<4.83，
所以小华复印的页数超过20页，
设小华复印了x(x>20)页，
由题意得：20×0.12+0.09(x−20)=4.83，
解得x=47，符合题意，
答：小华是在文印社复印的，复印了47页．
【解析】【分析】先求出小华复印的页数超过20页， 再列方程计算求解即可。
题型4：积分问题
4.在一次有12个队参加的足球循环赛中(每两队之间比赛一场)，规定胜一场记3分，平一场记1
分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分．问：该队在这次循环赛中战平了几场？
【答案】解：设该队负了x场，则胜(x＋2)场，平局的场数为[11－x－(x＋2)]场．
根据题意，得3(x＋2)＋1×[11－x－(x＋2)]＝19，
解得x＝4，
∴11－x－(x＋2)＝1.
答：该队在这次循环赛中战平了1场．
【解析】【分析】根据共积19分，列方程求解即可。
【变式4-1】一足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛了9场，得分17分．比赛规定胜一场得3
分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几
场？
【答案】解：设这个队胜了x场，则平了（9﹣2﹣x）场，由题意，得
3x+（9﹣2﹣x）+2×0=17，
解得：x=5．
故这个队胜了5场，又平了2场
【解析】【分析】设这个队胜了x场，则平了（9﹣2﹣x）场，根据三种比赛结果的得分之和为 17分
建立方程求出其解即可．
【变式4-2】为选派一支代表队参加云南省第三届“彩云杯”中华优秀传统文化知识竞赛，某中学在三
个年级中各选出5名学生组成一支代表队，并在老师的组织下先进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每
队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分，如果七年级代表队最后的得分为
190分，那么七年级代表队回答对了多少道题？
【答案】解：设七年级代表队回答对了x道题，
根据题意列方程：4x-（50-x）=190，
解这个方程得：x=48．
故七年级代表队回答对了48道题．
【解析】【分析】设七年级代表队回答对了x道题，可得答错（50-x）道题，利用答对题所得分-答错
题倒扣分数=190分，列出方程，解之即可.
题型5：分段收费问题
5.某地中国移动分公司推出两种移动手机卡，计费方式如表：
全球通卡 神州行卡
月租费 30元/月 0
本地通话费 0.10元/分钟 0.30元/分钟
设一个月累计通话t分钟，则：
（1）用全球通收费 元，用神州行收费 元(两空均用含t的式子表示).
（2）如果两种计费方式所付话费一样，则通话时间t等于多少分钟？(列方程解题)。
【答案】（1）30+0.1t；0.3t
（2）解：列方程得： 30+0.1t=0.3t
解得 t=150答：如果两种计费方式所付话费一样，则通话时间 t 等于150分钟
【解析】【分析】考查一元一次方程应用
（1）分析两种方案费用计算方式：（元）
全球通卡=30（月租费）+0.10×通话时间
神州行卡=0.30×通话时间
（2） 让两种方案收费相等，列方程、解方程，求出通话时间。
【变式5-1】本地某快递公司规定：寄件不超过 1千克的部分按起步价计费：寄件超过 1千克的部分按
千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准
实际收费
【答案】a的值为9，b的值为3．
【分析】根据费用=起步价+每千克所需费用×超过1千克的部分，即可得出关于 a（b）的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得：a=7+2×（2-1），10+6（b-1）=22，
解得：a=9，b=3．
答：a的值为9，b的值为3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式5-2】某市的出租车计价规则如下：行程不超过 3千米，收起步价12元；超过3千米，不超过
10千米，每千米路程收费 2.4元；超过10千米，每千米路程收费 3.6元．某天李老师和三位学生去探
望一位生病的学生，坐出租车付了32.4元．他们乘坐的出租车共行了多少千米？（不计等候费）
【分析】设他们乘坐的出租车共行了 x千米，先求出乘坐出租车行驶 10千米时所需的费用，将其与
32.4比较后可得出x＞10，再结合坐出租车付了 32.4元，即可得出关于 x的一元一次方程，解之即可
得出结论．
【解答】解：设他们乘坐的出租车共行了x千米，
∵12+2.4×（10-3）=28.8（元），28.8＜32.4，
∴x＞10．
依题意，得：28.8+3.6（x-10）=32.4，
解得：x=11．
答：他们乘坐的出租车共行了11千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型6：生产问题
6.某机械加工厂计划在规定期限内完成一批零件的生产任务，如果每天生产零件25个，那么到期
将比原计划少生产100个；如果每天生产零件30个，那么到期将比原计划多生产80个，求原计划几
天完成任务？
【答案】解：设原计划 x 天完成任务，由题意得： 25x+100=30x−80 ，
解得 x=36 ，
答：原计划36天完成任务.
【解析】【分析】 设原计划x天完成任务， 根据两种情况下原计划生产的零件产量相等，建立关于
x的方程求解即可.
【变式6-1】某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最
终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个.原计划几天完成订单？
【答案】解：设原计划x天完成任务，
由题意得：20x+100=23x-20，
解得：x=40，
答：原计划40天完成任务.
【解析】【分析】设原计划x天完成任务，表示出原计划x天生产的个数，实际x天生产的个数，然
后根据总订单相同建立方程，求解即可.
【变式6-2】列方程解应用题：某车间原计划13小时生产一批零件，技术革新提升了产能，实际每小
时多生产10件，用12小时不仅完成任务，而且还较原计划多生产了60件．求：原计划每小时生产的
零件数．
【答案】解：设原计划每小时生产零件为x个，由题意得：
13x＝12（x＋10）－60
x＝60
答：原计划每小时生产零件60个．
【解析】【分析】根据还较原计划多生产了60件，列方程求解即可。
题型7：行程问题
7.甲，乙两站相距 510千米，一列慢车从甲站开往乙站，速度为每小时 45千米，慢车行驶 2小时
后，另有一列快车从乙站开往甲站，速度为每小时60千米．问：快车开出几小时后与慢车相遇？
【分析】设快车开出x小时后与慢车相遇，等量关系为：慢车（x+2）小时的路程+快车x小时的路程
=510，把相关数值代入求值即可．
【解答】解：设快车开出x小时后与慢车相遇，则
45（x+2）+60x=510，
解得x=4，
答：快车开出4小时后与慢车相遇．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，得到相遇问题中的路程的等量关系是解决本题的关键．
【变式7-1】小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划
行速度8千米/时．到B地后沿原路返回，速度增加50%，回到A码头比去时少花了20分钟．求A、B
两地之间的路程．
【分析】设A、B两地之间的路程为x千米，利用时间=路程÷速度，结合回到A码头比去时少花了20
分钟，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设A、B两地之间的路程为x千米，依题意得：
解得：x=8．
答：A、B两地之间的路程为8千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式7-2】甲，乙两辆汽车同时从A地出发前往C地，甲车的速度是80km/h,乙车的速度是60km/h,甲
车行驶30分钟后到达B地，并在B地停留了45分钟，最后两车同时到达C地．
（1）当甲车从B地出发时，甲，乙两车相距多少km？
（2）求A，C两地的距离．
【分析】（1）根据当甲车从B地出发时两车间的距离=乙车的速度×行驶时间-甲车的速度×行驶时间，
即可求出结论；
（2）设A，C两地的距离为xkm,根据时间=路程÷速度结合乙车比甲车多用 45分钟（甲车停留在B地
的时间），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）
（km）．
答：当甲车从B地出发时，甲，乙两车相距35km.
（2）设A，C两地的距离为xkm,
依题意，得：
，
解得：x=180．
答：A，C两地的距离为180km.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型8：日历问题
8.如图1是2021年1月的日历，请据图回答下列问题：
（1）如图1，如果本周六对应日期用 x（2≤x≤23，且x为整数）表示，那么本周五对应日期可以表示
为 ，下周六对应日期可以表示为 ；
（2）如图2，若用a表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用 S表示这5天的日期之和，求S与
a之间的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）x-1，x+7；
（2）5a．
【分析】（1）周五是周六的前一天，下周六就是再过7天，写出对应关系式即可；
（2）分别写出五个数的代数式加在一起即可．【解答】解：（1）∵周五是周六的前一天，
∴本周五对应日期可以表示为x-1，
∵因为一星期有7天，
∴下周六对应日期可以表示为x+7；
故答案为x-1，x+7；
（2）因为一星期有 7天，则 a上面的数为 a-7，a下面的数为 a+7，a左边的数为 a-1，a右边的数为
a+1，
所以这五天的日期之和为S=（a-7）+（a+7）+a+（a-1）+（a+1）=5a.
【点评】本题考查的是用字母表示数列代数式的知识，根据数量关系正确列出代数式是解题的关键．
【变式8-1】（1）请用一个等式表示a,b,c,d之间的关系
（2）设由任意九个数形成的阴影方框中，中间一个数为x,这九个数的和为y,试用x的代数式表示y；
（3）你能发现这九个数之间有哪些关系吗？
【分析】（1）根据日历，用a表示出b、c、d,便不难得到规律．
（2）观察9个数之间的大小关系，可以看出同一行相邻的数是连续的自然数，每一列相邻的两个数之
间相差7．
（3）根据（2）的计算结果写出结论；
【解答】解：（1）：∵a、b、c、d是任意框出4个数，
∴b=a+1，c=a+7，d=b+7=a+1+7=a+8，
∵a+（a+8）=（a+1）+（a+7）=2a+8，
∴a+d=b+c.
故答案为：a+d=b+c.
（2）我们可以用含一个字母的代数式表示其他8个字母了，从左至右，从上到下，分别为x-8，x-7，
x-6，x-1，x+1，x+6，x+7，x+8．所以这9个数的和是9x,
故y=9x.
（3）由（2）知，这九个数的和是最中间的数的9倍．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和列代数式．这是一个找数据规律，然后列方程求解的题
型，其中找数据之间的关系至关重要．
【变式8-2】如图是某月的日历
（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？
（2）不改变方框的大小如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，你能得出什么结论？你知道为
什么吗？
（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？
【解答】解：（1）3+4+5+10+11+12+17+18+19=99，
99÷11=9，
则方框中9个数之和为方框正中心的9倍；
（2）移动位置，9个数字之和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，
144÷16=9，
设中心的数为x,
则（x-8）+（x-7）+（x-6）+（x-1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x,
所以9个数之和是方框中心数的9倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔 1，上下
相邻的数相隔7．
题型9：图表信息问题
9.在某县第四次党代会上，提出了“建设美丽城市、决胜全面小康”的奋斗目标，为响应县委号召，
学校决定改造校园内的一小广场．如图是该广场的平面示意图，它是由 6个正方形拼成的长方形，已
知中间最小的正方形A的边长是2米．
（1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F、E和C的边长；
（2）结合小学数学知识，观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的 MN 和
PQ）．请根据这个等量关系，求出x的值．
【答案】（1）正方形F的边长为（x-2）米，正方形E的边长为（x-4）米、正方形C的边长为（x-6）
米；
（2）x的值是14．
【分析】（1）正方形F的边长比正方形B的边长小2，正方形E的边长比正方形F的边长小2，正方
形C的边长比正方形E的边长小2，即可得到答案；
（2）用x的代数式表示PQ、MN，列方程即可得答案．
【解答】解：（1）由图可得：正方形F的边长为（x-2）米，正方形E的边长为（x-4）米、正方形C
的边长为（x-6）米；
（2）∵PQ=正方形 B 的边长+正方形 F 的边长=x+x-2，MN=正方形 E、D、C 的边长的和=x-4+2
（x-6），
而PQ=MN，
∴x+x-2=x-4+2（x-6），
解得x=14（米），
∴x的值是14．
【点评】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用x的代数式表示相关正方形的边长．
【变式9-1】如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD，其中，
GH=2cm,GK=2cm,设BF=xcm,
（1）用含x的代数式表示CM= ，cm,DM= cm.
（3）求x的值．
（3）求长方形ABCD的面积．
【分析】（1）根据正方形的性质和线段的和差关系即可得出CM和DM．
（2）由DM=2CM-GK=AF-GK，列方程求解即可；
（3）先求出长方形ABCD的长和宽，再用长×宽即可得出长方形ABCD的面积．
【解答】解：（1）CM=（x+2）cm,DM=MK=2（x+2）-2=2x+2（cm）．（2）∵AF-GK=FH=DM，
∴DM=FH=3x,
∴2x+2=3x.
解得x=2．
故x的值为2．
（3）长方形的长为：x+x+x+x+2+x+2=14cm,
宽为：3x+4=3×2+4=10cm.
所以长方形ABCD的面积为：14×10=140cm2．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，主要是能够用不同的方法表示同一个长方形的宽，注意各
个正方形的边长之间的数量关系．
【变式9-2】如图所示，一个底面为正方形的容器中盛有高度为 2cm的液体，正方形的边长为12cm,把
这些液体倒入底面半径为6cm的圆柱形容器中，求液体的高度．（结果保留π）
【分析】设圆柱形容器中液体的高度为 x厘米，分别利用长方体的体积计算公式和圆柱的体积计算公
式求得液体的体积，建立方程求得答案即可．
【解答】解：设圆柱形容器中液体的高度为x厘米，由题意得
π×62x=12×12×2，
8
解得：x=
π
8
答：液体的高度为 厘米．
π
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方体与圆柱的体积计算公式是解决问题的关键．
题型10：方案策略问题
10.某游泳场推出两种收费方式：
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡100元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳付费
25元．
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费30元．
（1）若某顾客一年内游泳次数为10次，请问这两种方式各收费多少元？
（2）如何根据游泳的次数选择省钱的收费方式？通过计算验证你的看法．
【答案】（1）解：方式一收费100+25×10＝350（元），
方式二收费30×10＝300（元）．
答：方式一收费350元，方式二收费300元．
（2）解：设顾客一年内游泳次数为x次，则方式一收费（100+25x）元，方式二收费30x元．
当100+25x＝30x时，解得：x＝20；
当x=19时，方式一收费为100+25×19=575（元）；方式二收费为30×19=570（元）；
所以，当顾客一年内游泳次数少于20次时，选项收费方式二省钱；
当x=21时，方式一收费为100+25×21=625（元）；方式二收费为30×19=630（元）；
所以，当顾客一年内游泳次数多于20次时，选项收费方式一省钱．
答：当顾客一年内游泳次数少于20次时，选项收费方式二省钱；当顾客一年内游泳次数等于20次
时，选项两种收费方式费用相同；当顾客一年内游泳次数多于20次时，选项收费方式一省钱．
【解析】【分析】（1） 当游泳次数为10次，分别求出方式一、二的费用；（2） 设顾客一年内游泳次数为x次，则方式一收费（100+25x）元，方式二收费30x元． 根据方式
一=方式二，方式一＞方式二，方式一＜方式二分别求解即可.
【变式10-1】学校由两名老师带队组织部分学生外出游学，现联系了甲、乙两家旅行社， 两家旅行社
报价均为480元/人， 同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七
五折优惠；而乙旅行社是免去两位游客的费用，其余八折优惠.
（1）若设参加游学的学生共有 x(x>8) 人， 则甲旅行社的团体费用为 元，
乙旅行社的团体费用为 元；(用含x的代数式表示)；
（2）在(1)的情况下，当参加游学的学生一共有多少人时，两家旅行社的团体费用一样.
【答案】（1）（360x+720）；384x
（2）解：令360x+720=384x
∴x=30
答： 当参加游学的学生一共有30人时，两家旅行社的团体费用一样.
【解析】【解答】解：（1）∵学生有x（x>8）人
∴共有（x+2）人，x+2>10
∴则甲旅行社的团体费用为 480 X 0.75（x+2）=（360x+720）元
乙旅行社的团体费用为 480 X 0.8x=384x 元
故答案为：（360x+720）；384x.
【分析】（1）由题意得，共有（x+2）人，x+2>10，然后由甲旅行社对每位游客七五折优惠，得到费
用，由乙旅行社是免去两位游客的费用，其余八折优惠，得到费用。
（2）由题意，列出方程360x+720=384x，得到结果。
【变式10-2】某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，票价每张为20元，售
票员说：30人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有5人可以免票．
（1）若1班有40名学生，则选择方案一需付 元，选择方案二需付 元；
（2）若2班选择方案二需付810元，则2班有 名学生；
（3）3班班长思考了一会儿，说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问3班有多少
人？
【答案】（1）640；630
（2）50
（3）解：设3班有y人，
由题意，得：20×y×0.8＝20×（y−5）×0.9，
解得y＝45．
答：3班有45人．
【解析】【解答】（1）解：若1班有40名学生，则方案一需付20×40×0.8＝640元，
方案二需付20×（40−5）×0.9＝630元．
故答案为：640，630；
（2）解：设2班有x人，
由题意，得：20×（x−5）×0.9=810，
解得：x=50，所以2班有50人，
故答案为：50；
【分析】（1）根据两种不同的优惠方案解答即可；
（2）设2班有x人，根据方案二费用810元，列方程求解即可；
（3） 设3班有y人， 根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可。
一、单选题
1．某市中学生运动会篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，已知某
篮球队在七场比赛中共得到15分，则该篮球队在这七场比赛中获胜了（ ）
A．六场 B．五场 C．四场 D．三场
【答案】C
【解析】【解答】解：设该队胜的场次是x场，则负的场次是（7-x）场，
由题意得：3x+（7-x）=15，
解得x=4，
故答案为：C.
【分析】“每场比赛都要决出胜负”表明比赛中只有胜与负没有平场.
2．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性
降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是（
）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三家都一样
【答案】B
【解析】【解答】解：降价后三家超市的售价是：甲为（1−20%）2m＝0.64m，
乙为（1−40%）m＝0.6m，
丙为（1−30%）（1−10%）m＝0.63m，
因为0.6m＜0.63m＜0.64m，
所以此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙．
故答案为：B．
【分析】根据题意把这种促销商品的原价m元看作单位“1”，甲超市连续两次降价20%的现价：
（1−20%）2m；乙超市一次性降价40%的现价为：（1−40%）m；丙超市第一次降价30%，第二次降
价10%的现价为：（1−30%）（1−10%）m，据此解答即可。
3．甲乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等，设甲班原有人数是x人，可列出方程（ ）
A．98+x=x-3 B．98-x=x-3
C．(98-x)+3=x D．(98-x)+3=x-3
【答案】D
【解析】【解答】解：设甲班原来有x人，则乙班原来有（98-x）人；
∴现在甲班有（x-3）人，乙班有（98-x）+3
∵两个班的人数相等
∴x-3=（98-x）+3
故答案为：D.
【分析】根据题意，即可表示出原来甲和乙两个班的人数，根据人数变动后两个班的人数相等，作为
等量关系列出方程即可。
4．某个商贩同时卖出两件上衣，售价都是135元．按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损
25%，在这次交易中，该商贩（ ）
A．不赔不赚 B．赚9元
C．赔18元 D．赚18元
【答案】C
【解析】【解答】解：设在这次买卖中原价都是x，
则可列方程：（1+25%）x=135
解得：x=108
比较可知，第一件赚了27元
第二件可列方程：（1﹣25%）x=135
解得：x=180，
比较可知亏了45元，
两件相比则一共亏了18元．
故选C．
【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的
等量关系列方程求解．
5．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.
现有108张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？设用 x 张白铁皮
制盒身，可列出方程（ ）A．15(108−x)=2×42x B．15x=2×42×(108−x)
C．2×15(108−x)=42x D．2×15x=42×(108−x)
【答案】D
【解析】【解答】解：设用x张铁皮制盒身，则制盒底的张数是（108−x），根据题意得：
2×15x=42×(108−x) ，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知题目中的等量关系：制盒身铁皮的张数×每张铁皮可制盒身的个数＝制盒底铁
皮的张数×每张铁皮可制盒底的个数÷2，据此解答．
6．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%.若该书的进价为21元，则标价为( )
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
【答案】C
【解析】【解答】设这本书的标价是x元，根据题意则有：0.9x=21（1+20%），
解可得：x=28，
故答案为：C．
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【分析】设这本书的标价是x元，根据售价=标价× =进价（1+利润率），列出方程，求解即可 。
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二、填空题
7．某商品按进价加20%作为定价，总卖不出去，后来老板按定价减价20%，以96元卖出，则这次生
意 （填“赚或赔多少元”）．
【答案】赔4元
【解析】【解答】
解：设进价为x元，则根据题意，得
120%x（1﹣20%）=96，解得x=100，
因为100﹣96=4，
所以这次生意亏本4元．
故答案为：赔4元．
【分析】根据折后价格=售价列方程求解。
8．某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，该商品的进价为 ．
【答案】180元
【解析】【解答】解：设商品的进价为x元，
则：220×90%-x=10%x，解得：x=180．
故答案为：180元．
【分析】设商品的进价为x元，根据题意列出方程220×90%-x=10%x，求出x的值即可。
9．眼镜店将某种眼镜按进价提高 35% ，然后打出“九折酬宾，外送50元出租费”的广告，结果每
副眼镜仍可获利208元，则每副眼镜的进价为 元.
【答案】1200
【解析】【解答】解：设每台眼镜进价为x元，根据题意得：
x（1+35%）×0.9-50=x+208，
解得：x=1200.
故答案为：1200.
【分析】设每台眼镜进价为x元，根据则标价为：x（1+35%）元，售价为：[x（1+35%）×0.9-50]列
元，根据售价等于进价+利润得售价为：（x+208）元，根据用两个不同的算式表示同一个量，则这两
个算式应该相等，从而即可列出方程求解即可.
10．小敏把一商品按标价的九折出售(即优惠10%)，仍可获利30元，若这种商品的进价为60元，则
该商品的标价为 元.
【答案】100
【解析】【解答】解：该商品的标价为x元，
x90%-60=30，
解得x=100，
故答案为：100.
【分析】该商品的标价为x元，“ 利润=标价×折扣率-进价”，列出一元一次方程组求解，即可解答.
三、计算题
11．解下列方程
（1）2(x+4)=13−3(x−5)
y−1 y−3 2y+3
（2） − = −1
3 12 6
【答案】（1）解：2（x+4）＝13－3（x－5)
解：2x+8＝13－3x+15
2x+3x＝13+15－8
5x＝20x＝4
y−1 y−3 2y+3
（2）解： － ＝ －1
3 12 6
解：去分母，得 4（y－1)－(y－3)＝2(2y+3)－12
去括号，得 4y－4－y+3＝4y+6－12
移项，得 －y＝6－12－3+4
合并同类项，得 －y＝－5
系数化为1，得y＝5
【解析】【分析】（1）利用去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可；
（2）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1进行解方程即可；
12．某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，一个
螺栓配两个螺帽，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
【答案】解：设应分配x人生产螺栓，则（28-x）人生产螺帽，由题意，得：
2×12x=18(28−x) ，
解得：x=12，
∴生产螺帽的有：28-12=16（人）.
答：应分配12人生产螺栓，则16人生产螺帽.
【解析】【分析】此题的等量关系为：生产螺帽的人数+生产螺栓的人数=28，据此设未知数；再根据
一个螺栓配两个螺帽，建立方程，然后求出方程的解.
13．某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千
克．第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上
打4折全部售出．最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少
元？
【答案】解：设进价为x元/千克，
依题意得：180（1+40%）x+70×40%×（1+40%）﹣250x=618，
解得x=15，
70×15﹣70×15×1.4×0.4=462（元）．
答：亏了462元
【解析】【分析】先设进价为x元/千克，根据前后一共获利618元，列出方程，求出x的值，然后根
据总额﹣进货总价来计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元．
14．一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价，元旦期间，欲打八折销售，以答谢新老顾客对本商厦的光顾，售价为224元，这件商品的成本价是多少元？
【答案】解：设这件商品的成本价是 元，根据题意得方程：
x(1+40%)×0.8=224
解方程得：x=200
答：这件商品的成本价是200元
【解析】【分析】根据相等关系“成本（1+提高的百分比）X折数=售价”可列方程求解。
15．有一旅客携带了25千克行李乘某航空公司的飞机，按该航空公司规定，旅客最多可免费携带20
千克的行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李托运票，现该旅客购买的飞机票和行李托运
票共645元．
（1）该旅客需要购买 千克的行李托运票；
（2）该旅客购买的飞机票是多少元？
【答案】（1）5
（2）解：设该旅客购买的飞机票是x元，
依题意，得：x+5×1.5%×x＝645，
解得：x＝600．
答：该旅客购买的飞机票是600元．
【解析】【解答】解：（1）25-20=5（千克）．
故答案为：5．
【分析】（1）根据题意求出25-20=5（千克）．即可作答；
（2）先求出 x+5×1.5%×x＝645， 再解方程即可。
16．寒假将至，某班家委会组织学生到北京旅游，现联系了一家旅行社，这家旅行社报价为4000
元/人，但根据具体报名情况推出了优惠举措：
人数 10人及以下（含10人） 超过10人不超过20人的部分 超过20人的部分
收费标准 原价（不优惠） 3500元/人 3000元/人
（1）如果一开始参加旅游的人数为13人，则预计总费用为 元；
（2）在（1）问前提下，后来又有部分同学要求参加，设这部分同学加入后总共参与旅游的人数为
x 人，若总人数 x 还是不超过20人，则总费用为 元；若总人数 x 超过了20人，
则总费用为 元；（结果均用含 x 的代数式表示）
（3）若最后家委会支付给旅行社人均费用为原价的九折，问共有多少人参加了本次旅游？
【答案】（1）50500（2）3500x+5000；3000x+15000
（3）解： 4000×0.9=3600 ，显然 x>10 .
①若 1020 ，则 3000x+15000=3600x ；
x=25
答：共有25人参加了本次旅游
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，4000×10+3500×（13-10）=50500（元），故答案为：
50500；（2） 根据题意得，
①若总人数x还是不超过20人，则总费用为：
4000×10+3500（x-10）=3500x+5000（元）；
②若总人数x超过了20人，则总费用为：
4000×10+3500（20-10）+3000（x-20）=3000x+15000（元）
故答案为：（3500x+5000）；（3000x+15000）
【分析】（1）根据优惠措施，旅游 13人的总费用为：其中 10人按4000元/人算，另3人按3500
元/人计算；
（2）分两种情况解答：
①不超过20人时，总费用=10×400+3500×（x-10）；
②超过20人时总费用=10×4000+3500×10+3000×（x-20）；
（3）先判断出x＞10，然后分两种情况解答：① 当1020 时，
