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专题 16.2 整式的乘法【十大题型】
【人教版】
【题型1 整式乘法中的求值问题】.......................................................................................................................1
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】...............................................................................................................3
【题型3 整式乘法中的错看问题】.......................................................................................................................4
【题型4 整式乘法中的遮挡问题】.......................................................................................................................6
【题型5 整式乘法的计算】...................................................................................................................................7
【题型6 整式乘法的应用】...................................................................................................................................8
【题型7 整式除法的运算与求值】.....................................................................................................................11
【题型8 整式除法的应用】.................................................................................................................................13
【题型9 整式乘法中的新定义】.........................................................................................................................16
【题型10 整式乘法中的规律探究】.....................................................................................................................20
【知识点1 整式的乘法】
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（ ）
A．7 B．﹣7 C．8 D．﹣9
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd解决此题．
【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn．
∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），
∴m﹣n＝a，﹣mn＝7．
∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1．
∴a＝m﹣n＝8或﹣8．
故选：C．
【变式1-1】（2025春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（）
A．98 B．49 C．14 D．7
【分析】根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即可求出 k和p的
值，进而即可得出答案．
【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，
∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，
∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，
∴k＝13，p＝6，
∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，
故选：B．
【变式1-2】（2025春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由
（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（
）
7 2 4 2
A．- B．- C． D．
3 3 3 3
【分析】利用给出的定义进行整式的相关运算，求出k的值．
【解答】解：由题意可令（x﹣3）（x+a）＝x2+kx﹣7，
∴x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2+kx﹣7，
7
∴﹣3a＝﹣7，a= ，
3
7 2
a﹣3＝k，k= -3=- ．
3 3
故选：B．
【变式1-3】（2025春•江都区期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可
取的值共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12，
∴当a＝1，b＝﹣12时，m＝﹣11；
当a＝﹣1，b＝12时，m＝11；
当a＝2，b＝﹣6时，m＝﹣4；
当a＝﹣2，b＝6时，m＝4；当a＝3，b＝﹣4时，m＝﹣1；
当a＝﹣3，b＝4时，m＝1；
故m的值共6个．
故选：C．
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】（2022秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含 x2项，则a的值等于
（ ）
A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14
【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照 x的降序排列，使x的二次项的系数为0即
可．
【解答】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）
＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20
＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，
∵展开式中不含x2项，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
故选：A．
【变式2-1】（2025春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和
常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．
【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有x2项和常数项求出a、m，代入方
程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．
【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m
＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m
＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．
∵化简后不含有x2项和常数项，
∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．
∴a＝2，m＝3．
∵an+mn＝﹣5，
∴2n+3n＝﹣5．
∴n＝﹣1．
∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3
＝﹣4×1+9
＝﹣4+9
＝5．
【变式2-2】（2022秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P
的值与x的取值无关，求字母a的值．
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：M•N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5
＝（10+a）x﹣2a+5，
由题意得，10+a＝0，
解得，a＝﹣10．
【变式2-3】（2025春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么
a，b一定满足（ ）
b
A．a＝0且b＝0 B．a＝2b C．ab＝0 D．a=
2
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可．
【解答】解：x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4
＝x2﹣x2﹣2bx+ax+2ab+4
＝（a﹣2b）x+2ab+4，
∵多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，
∴a﹣2b＝0，即a＝2b，
故选：B．
【题型3 整式乘法中的错看问题】
【例3】（2025春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以
（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），
结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
故选：C．
【变式3-1】（2025春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上
﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a
﹣1，
∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，
∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．
【变式3-2】（2022秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙
错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，
∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，
∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）
＝（x+2）（x+3）
＝x2+5x+6．
【变式3-3】（2025春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的
符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣
7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
{-2a+b=-7
∴ ，
a+b=2
{a=3
解得： ，
b=-1
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
【题型4 整式乘法中的遮挡问题】
【例4】（2022秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复
习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”
内应填写（ ）
A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式4-1】（2022秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂
笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内
应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积
相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
【变式4-2】（2025春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿
出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣ 3 x 3 y 2 ﹣
3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣ 3 x 3 y 3 ．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，
∴横线上应填写﹣3x3y2，
故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．
【变式4-3】（2022秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨
水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，
∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2025春•冠县期中）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2
（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y；
（2）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2）＝a4b5+8a5b4+3a4b．
【变式5-1】（2025春•西城区校级期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则把要求的式子进行整理，然后代值计算即可．
【解答】解：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
＝2x2﹣x﹣1﹣2（x2﹣3x﹣10）
＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20
＝5x+19，
把x＝﹣2代入原式得：
原式＝5×（﹣2）+19＝﹣10+19＝9．
1
【变式5-2】（2022秋•长宁区校级期中） x(4-2x)-2（3﹣2x）（4x+1）．
2
【分析】利用单项式乘多项式、多项式乘多项式法则，先算乘方，再加减．
1 1
【解答】解：原式= x•4- x•2x﹣2（3•4x+3•1﹣2x•4x﹣2x•1）
2 2＝2x﹣x2﹣2（12x+3﹣8x2﹣2x）
＝2x﹣x2﹣24x﹣6+16x2+4x
＝15x2﹣18x﹣6．
【变式5-3】（2025春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y
＝﹣4x3+10x2y；
（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy
＝﹣3x2+xy﹣6y2．
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2025春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长
为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7
【分析】由（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，得A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡
片的面积为ab，因此需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
【解答】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝
2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
故选：D．
【变式6-1】（2025春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）
的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 10米，宽减少10米，
继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【分析】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了．
【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]
平方米，
∵a＞b，
∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，
∴面积变小了，
故选：A．
【变式6-2】（2022秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准
备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求
通道的宽度是多少米？
【分析】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可；
（2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据 a＝2b，剩余
草坪的面积是162平方米，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S ＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2
通道
＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2
＝（6ab+5b2）平方米，
答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；
（2）S ＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]
草坪
＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）
＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2
＝8a2+10ab+2b2，
∵a＝2b，∴8a2+10ab+2b2
＝8×（2b）2+10×2b•b+2b2
＝32b2+20b2+2b2
＝54b2
＝162，
∴b2＝3，
∴b＝±√3（负值舍去）（米）．
答：通道的宽度是√3米．
【变式6-3】（2025春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S ，
1
S．
2
（1）S 与S 的大小关系为：S ＜ S．
1 2 1 2
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S ，试探究：S 与S 的差（即S﹣S ）是否为常数？若为常数，求出这个常数，
3 3 2 3 2
如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；
（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；
②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．
【解答】解：（1）由题意：
S＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，
1
S＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，
2
∵S﹣S＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，
1 2
∴S＜S，
1 2
故答案为：＜，
（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，
∵正方形的周长与甲的周长相等，4m+16
∴正方形的边长为 =m+4，
4
②由①可得，正方形的面积S＝（m+4）2，
3
∴S﹣S＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）
3 2
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15
＝1，
∴S 与S 的差（即S﹣S）是常数，这个常数是1．
3 2 3 2
【知识点2 整式的除法】
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
【题型7 整式除法的运算与求值】
【例7】（2024•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，
1
y= ．
25
【分析】先根据平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy
＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy
＝﹣x2y2÷xy
＝﹣xy，
1 1 2
当x＝﹣10，y= 时，原式＝﹣（﹣10）× = ．
25 25 5
【变式7-1】（2025春•秀洲区校级月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，则a的值为
4
- ．
5
【分析】根据多项式除以单项式，多项式乘以多项式的法则计算，再解关于a的方程即可求解．
【解答】解：（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）
1
a2+ a＝a2+3a+2，
2
5
- a＝2，
24
解得a=- ．
5
4
故答案为：- ．
5
1 1
【变式7-2】（2025春•萧山区月考）若A与- ab的积为-4a3b3+3a2b2- ab，则A为（ ）
2 2
3 1
A．﹣8a2b2+6ab﹣1 B．-2a2b2+ ab+
2 4
3
C．8a2b2﹣6ab+1 D．2a2b2- ab+1
2
1 1
【分析】由题意可得所求的式子为：（-4a3b3+3a2b2- ab）÷（- ab），利用整式的除法的法则
2 2
进行运算即可．
【解答】解：由题意得：
1 1
（-4a3b3+3a2b2- ab）÷（- ab）
2 2
1 1 1 1
＝﹣4a3b3÷（- ab）+3a2b2÷（- ab）- ab÷（- ab）
2 2 2 2
＝8a2b2﹣6ab+1．
故选：C．
【变式7-3】（2024·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式
A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以
单项式，再把所得的商相加，计算即可．
【解答】解：由题意可得：
A=[(2x2-4x-1)-(x-1)]÷2x
=(2x2-5x)÷2x
5
=x-
2
5
故答案为：x-
2
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2022秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①5 3
是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为： a、2a、 a，小长方体的长、宽、高
2 2
a
分别为：2a、a、 ；配件②是一个正方体，其棱长为a
2
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则
1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为 a的正方体体
积，即可得出配件②的体积；
17
（2）根据题意列出算式1000a3÷（2× a3+a3）×30，求出即可．
2
5 3 a 17
【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是： a•2a• a+2a•a• = a3；
2 2 2 2
生产配件②需要的原材料的体积是：a•a•a＝a3；
17 5000
（2）根据题意得：1000a3÷（2× a3+a3）×30= （元），
2 3
5000
答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利 元．
3
【变式8-1】（2025春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图 2
的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b【分析】根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出
宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可．
【解答】解：根据题意，得
4a2b
纸盒底部长方形的宽为 =4a，
ab
∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．
故选：D．
【变式8-2】（2025春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报
的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．
【分析】根据A÷B＝﹣3xy，可知：
1
（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=- x2+2y；
3
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，
1
∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=- x2+2y；
3
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【变式8-3】（2022秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；
②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次
数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．
所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．
（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为 2 x 2 ﹣ 7 x +1 8 ，余式为 ﹣ 4 1 ；
（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；
（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b
的值．
【解答】解：（1）（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）＝2x2﹣7x+18……﹣41，
故答案为：2x2﹣7x+18，﹣41；
（2）由题意得：
∵2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，
∴﹣5﹣（a+10）＝0，b+2（a+10）＝0
即：a＝﹣15，b＝10．【题型9 整式乘法中的新定义】
【例9】（2022秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题：
|a b
我们将四个有理数a，b，c，d写成 |的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，
c d
|a b
b，c，d为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为： |= ad﹣bc，对于两个矩阵相加我们定
c d
|a b |m n |a+m b+n
义 为 ： |+ |= |， 下 面 是 两 个 二 阶 矩 阵 的 加 法 运 算 过 程 ：
c d x y c+x d+ y
|2 -3 |-2 -4 |2+(-2) (-3)+(-4) |0 -7
|+ |= |= |=
0×4﹣4×（﹣7）＝28．
3 5 1 -1 3+1 5+(-1) 4 4
|17 -5 |-15 12 |-15 12|
（1）计算 |+ |+ 的值；
6 2 16 -8 16 -8
|2x-3 x+2 |-2x 4x+8 |-2x 4x+8|
（2）计算 |+ |+ ．
2 5x-7 6 2x+3 6 2x+3
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
|17-15 -5+12|
原式=
6+16 2-8
|2 7 |
=
22 -6
＝2×（﹣6）﹣7×22
＝﹣12﹣154
＝﹣166；
（2）根据题中的新定义得：
|2x-3-2x x+2+4x+8|
原式=
2+6 5x-7+2x+3
|-3 5x+10|
=
8 7x-4
＝﹣3（7x﹣4）﹣8（5x+10）
＝﹣21x+12﹣40x﹣80
＝﹣61x﹣68．【变式9-1】（2022秋•兰陵县期中）定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．
（1）3与 4 或 2 是关于1的单位数，x﹣3与 x ﹣ 4 是关于1的单位数．（填一个含x的式子）
3
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2( x2+3x-1)，判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由．
2
【分析】（1）根据关于1的单位数的定义，计算和确定3与x﹣3的单位数；
（2）计算A﹣B，根据关于1的单位数的定义判断．
【解答】解：（1）因为4﹣3＝1，3﹣2＝1，
所以3与4、2是关于1的单位数．
设x﹣3与M是关于1的单位数，
即x﹣3﹣M＝1，或M﹣（x﹣3）＝1
所以M＝x﹣4或M＝x﹣2．
故答案为：4或2；x﹣4．
（2）A与B是关于1的单位数．
3
∵A﹣B＝3x（x+2）﹣1﹣2（ x2+3x﹣1）
2
＝3x2+6x﹣1﹣3x2﹣6x+2
＝1
∴A与B是关于1的单位数．
【变式9-2】（2024•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们
称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两
位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，
新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回
答下列问题：
（1）计算：ω（23）＝ 5 ．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝
26 ．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝ 1 9 ．
【分析】（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出f（23）的值；
（2）根据题意，可以得到关于k的方程，从而可以求得k的值，然后即可得到b的值；
（3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出f（m）+f（n）的值．
23+32
【解答】解：（1）ω(23)= =5．
11故答案为：5；
（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，
[10k+2(k+1)]+[10×2(k+1)+k]
∴ =8，
11
解得k＝2，
∴2（k+1）＝6，
∴b＝26．
故答案为：26；
（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），
∴ω（m）+ω（n）
(10x+ y)+(10 y+x) [10(9-x)+(10- y)]+[10(10- y)+(9-x)]
= +
11 11
10x+ y+10 y+x 90-10x+10- y+100-10 y+9-x
= +
11 11
11x+11y 209-11x-11y
= +
11 11
＝x+y+19﹣x﹣y
＝19．
故答案为：19．
【变式9-3】（2024•渝中区校级模拟）阅读以下材料：
材料一：如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的
新数ba，dc，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对
“有缘数对”．
例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一对“有缘数对”，
材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使
得运算更简单．
例如：计算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，
原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8
＝x4+6x3﹣27x+8
解决如下问题：（1）①请任写一对“有缘数对” 4 3 和 6 8 ．
②并探究“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．
（2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，请求出
这两个两位数．
【分析】（1）①根据ac＝bd写出一对“有缘数对”；
②根据定义得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），化简得ac＝bd；
（2）根据定义列等式，化简解方程可得x的值，可得这两个两位数．
【解答】解：（1）①∵43×68＝2924，34×86＝2924，
∴43和68是一对“有缘数对”，
故答案为：43，68；
②“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足：ac＝bd，
理由是：由题意得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），
100ac+10bc+10ad+bd＝100bd+10bc+10ad+ac，
99ac＝99bd，
ac＝bd；
（2）∵两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，
∴（x2+2x+3）•（x2﹣2x+5）＝（x2﹣2x+4）•（x2+2x+5），
（x2+2x）（x2﹣2x）+5（x2+2x）+3（x2﹣2x）+15＝（x2﹣2x）（x2+2x）+5（x2﹣2x）+4（x2+2x）+20，
x2+2x﹣2x2+4x﹣5＝0，
x2﹣6x+5＝0，
x＝1或5，
当x＝1时，x2+2x+3＝6，x2﹣2x+4＝3，x2﹣2x+5＝4，x2+2x+5＝8，
当x＝5时，x2+2x+3＝38，不符合题意，
∴这两个两位数分别是63和48．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2025春•江都区期中）探究规律，并回答问题：
（1）运用多项式乘法，计算下列各题：
①（x+2）（x+3）＝ x 2 + 5 x + 6 ；
②（x+2）（x﹣3）＝ x 2 ﹣ x ﹣ 6 ；
③（x﹣3）（x﹣1）＝ x 2 ﹣ 4 x + 3 ；（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝ a + b ，q＝ a b ；
（3）根据此规律，直接写出以下结果：
①（x+5）（x+7）＝ x 2 +1 2 x +3 5 ；
②（t+2）（t﹣1）＝ t 2 + t ﹣ 2 ．
【分析】根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可．
【解答】解：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；
②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；
③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3；
故答案为：x2+5x+6；x2﹣x﹣6；x2﹣4x+3；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；
故答案为：a+b，ab；
（3）①（x+5）（x+7）＝x2+12x+35；
②（t+2）（t﹣1）＝t2+t﹣2．
故答案为：x2+12x+35；t2+t﹣2．
【变式10-1】（2025春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化
成整式问题来解决．
阅读解答：比较20182019×20182016与20182017×20182018的大小．
解：设20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝
a2+a．
因为a2+a﹣2 ＜ a2+a（填＜＞、或＝），
所以20182019×20182016 ＜ 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．
问题解决：化简求代数式的值．
（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．
【分析】解：（ 1）根据 a2+a＞0，可得 a2+a﹣2＜a2+a，从而得到 20182019×20182016＜
20182017×20182018即可；
（2）设a＝m+17.2018,可得（a+5）（a﹣3）﹣（a+3）（a+2），再化简计算即可．
【解答】解：由题知：a2+a＞0；
∴a2+a﹣2＜a2+a；
∴20182019×20182016＜20182017×20182018；
故答案为：＜；＜．
设a＝m+17.2018,∴原式＝（a+5）（a﹣3）﹣a（a+1)
＝a2+2a﹣15﹣a2﹣a
＝a﹣15
＝m+17.2018﹣15
＝m+2.2018，
∵m＝2016，
∴m+2.2018＝2018.2018．
【变式10-2】（2025春•包河区期末）探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ m 2 ﹣ 1 ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ m 3 ﹣ 1 ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ m n + 1 ﹣ 1 ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为
n+1项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；
（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．
【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；
故答案为：m2﹣1；m3﹣1；
（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）
＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1
＝m4﹣1；
（3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1；
故答案为：mn+1﹣1；
（4）根据（3）得出的规律可得：
1+3+32+33+…+3100
3101-1
= ，
3-13101-1
= ．
2
【变式10-3】（2025春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝ 1 ﹣ x n ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ﹣ 12 7 ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ x 202 3 ﹣ 1 ．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
【分析】（1）根据所给的等式，不难得出结果；
（2）①利用（1）中的结论进行求解即可；
②利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）先利用（1）的结论进行求解，再判断其个位数即可．
【解答】解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
…
∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝1﹣xn；
故答案为：1﹣xn；
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）
＝1﹣27
＝1﹣128
＝﹣127；
故答案为：﹣127；
（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）
＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝x2023﹣1．
故答案为：x2023﹣1；（3）1，理由如下：
2100+299+298+…+22+2+1
＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+…+2100）
＝﹣（1﹣2101）
＝2101﹣1．
∵21的个位数是2，
22的个位数是4，
23的个位数是8，
24的个位数是6，
25的个位数是2，
…
∴其个位数以2，4，8，6不断循环出现，
∵101÷4＝25……1，
∴2101的个位数字是2，
∴2101﹣1的个位数是1．
