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专题 16.3 乘法公式【九大题型】
【人教版】
【题型1 乘法公式的基本运算】...........................................................................................................................1
【题型2 利用完全平方式确定系数】...................................................................................................................3
【题型3 乘法公式的运算】...................................................................................................................................4
【题型4 利用乘法公式求值】...............................................................................................................................6
【题型5 利用面积法验证乘法公式】...................................................................................................................7
【题型6 乘法公式的应用】...................................................................................................................................9
【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】..........................................................................................12
【题型8 整式乘法中的新定义问题】.................................................................................................................17
【题型9 整式乘法中的规律探究】.....................................................................................................................20
【知识点1 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做
平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上
(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】
【例1】（2025春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；
B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；
C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；
D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．故选：C．
【变式1-1】（2025春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y）
C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）
【分析】根据平方差公式的特征：（1）两个两项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各
选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；
B、﹣5y是相同的项，互为相反项是3x与﹣3x，符合平方差公式的要求；
C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；
D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；
故选：B．
【变式1-2】（2025春•巴中期末）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．
【解答】解：A、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；
D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意.
【变式1-3】（2022秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
1 1
C．(- p+q)(q+ p) D．（2x﹣3y）（2x+3y）
2 2
【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；
B、原式第一个因式提取﹣1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；
C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；
D、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意．
【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；
B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；
1
C、原式＝q2- p2，本选项不合题意；
4
D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，故选：B．
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式
共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平方，可当作首尾
两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4x，同时还应看到x2+4
x4
加上﹣4或﹣x2或 后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个．
16
x4
【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或 等5个．
16
故选：D．
【变式2-1】（2024•南通模拟）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可．
【解答】解：∵2x＝2×1•x，
∴k＝12＝1，
故选A．
【变式2-2】（2022秋•青县期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（ ）
A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9
【分析】根据完全平方式的定义解决此题．
【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．
∵9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，
∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2•3x•1+12＝（3x）2±6x+12．
∴﹣（K﹣1）＝±6．
当﹣（K﹣1）＝6时，K＝﹣5．
当﹣（K﹣1）＝﹣6时，K＝7．
综上：K＝﹣5或7．
故选：B．
【变式2-3】（2022秋•崇川区校级月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，
则a，b，c的关系可以写成（ ）A．a＜b＜c B．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
C．c＜a＜b D．a＝b≠c
【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有 3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝[√3x
√3
+ （a+b+c）]2，化简有ab+bc+ac＝a2+b2+c2，那么就有（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，三个非
3
负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a＝b＝c．故选答案B．
【解答】解：原式＝3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，
√3
∴3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝[√3x+ （a+b+c）]2，
3
1 1
∴ab+bc+ac= （a+b+c）2= （a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc），
3 3
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2，
∴2（ab+bc+ac）＝2（a2+b2+c2），
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c．
故选：B．
【题型3 乘法公式的运算】
1 1 1 1 1
【例3】（2025春•龙胜县期中）计算：（1 - ）×（1 - ）×（1 - ）×…×（1 - ）×（1 - ）的
52 62 72 992 1002
结果是（ ）
101 101 101 1
A． B． C． D．
200 125 100 100
【分析】根据a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，
从而得出答案．
1 1 1 1 1 1 1
【解答】解：原式＝（1- ）×（1+ ）×（1- ）×（1+ ）×（1- ）×（1+ ）×…×（1- ）×（1
5 5 6 6 7 7 99
1 1 1
+ ）×（1- ）×（1+ ）
99 100 100
4 6 5 7 6 8 98 100 99 101
= × × × × × ×⋯× × × ×
5 5 6 6 7 7 99 99 100 1004 101
= ×
5 100
101
= ．
125
故选：B．
【变式3-1】（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中
x＝1，y＝2．
【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），
＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），
＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，
＝5x2﹣5y2，
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．
【变式3-2】（2025春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：
（1）20192﹣2018×2020；
（2）112+13×66+392．
【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：
（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【解答】解：（1）20192﹣2018×2020
＝20192﹣（2022﹣1）×（2022+1）
＝20192﹣（20222﹣1）
＝1；
（2）112+13×66+392
＝112+13×2×3×11+392
＝112+2×11×39+392
＝（11+39）2
＝502
＝2500．
【变式3-3】（2025春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）
＝…
＝（264﹣1）（264+1）
＝2128﹣1．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（ ）
3 3
A．- B． C．﹣6 D．6
2 2
【分析】根据a2﹣b2＝16得到（a+b）2（a﹣b）2＝256，再由（a+b）2＝8，求出（a﹣b）2＝32，
(a+b) 2-(a-b) 2
最后根据ab= 求出答案．
4
【解答】解：∵a2﹣b2＝16，
∴（a+b）（a﹣b）＝16，
∴（a+b）2（a﹣b）2＝256，
∵（a+b）2＝8，
∴（a﹣b）2＝32，
(a+b) 2-(a-b) 2 8-32
∴ab= = =-6，
4 4
故选：C．
【变式4-1】（2025春•姜堰区校级月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10，
∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2
＝[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]
＝（4m+n）（3n﹣2m）
＝﹣900．
5 1
【变式4-2】（2025春•双峰县期中）若x、y满足x2+y2= ，xy=- ，求下列各式的值．
4 2
（1）（x+y）2
（2）x4+y4．
【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．5 1
【解答】解：（1）∵x2+y2= ，xy=- ，
4 2
5 1
∴原式＝x2+y2+2xy= -1= ；
4 4
5 1
（2）∵x2+y2= ，xy=- ，
4 2
25 1 17
∴原式＝（x2+y2）2﹣2x2y2= - = ．
16 2 16
【变式4-3】（2025春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2022﹣
m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
【分析】利用完全平方公式变形即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2022﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2022﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2022﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2025春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积
关系得到的数学公式是（ ）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2
【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可．
【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
【变式5-1】（2025春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公
式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案．
【解答】解：大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b2，
由面积之间的关系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：C．
【变式5-2】（2025春•锦州期末）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将
余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，
可验证的等式为（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣32＝a2﹣9，
图2是长为a+3，宽为a﹣3的长方形，因此面积为（a+3）（a﹣3），
所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故选：D．
【变式5-3】（2024•郫都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将
余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（ ）
A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）
【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可．
【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，
第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），
∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），
故选：A．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2025春•榆次区期中）如图1，从边长为（a+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）
cm的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该
长方形的面积为（ ）
A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2
【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案．
【解答】解：根据题意，长方形的面积为[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，
故选：D．
【变式6-1】（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个
长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，
四边形PQDH是长方形．若正方形 ABCD的边长为 x，AE＝10，CG＝20，长方形 EFGD的面积为
200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【分析】设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的
面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．
【解答】解：）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，
又由ab＝200，
∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．
【变式6-2】（2025春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正
方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为 16，则
标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将③
长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100，得出x2与y2
的数量关系，然后解得y2即可．
【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长
为（x+y），宽为（x﹣y），
∵每个小长方形③的面积均为16，∴（x+y）（x﹣y）＝16，
∴x2﹣y2＝16，
∴x2＝16+y2
∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长
方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，
∴大长方形的长为：[（x+y）+x]＝2x+y，宽为：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，
∵大长方形的面积为100，
∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，
∴4x2﹣y2＝100，
∴4（16+y2）﹣y2＝100，
∴y2＝12，
即标号为②的正方形的面积为y2＝12．
故选：C．
【变式6-3】（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫
生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情
况，其中1班的卫生区是一块边长为（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．
（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；
（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？
【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；
（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、
求差即可．
【解答】解：（1）八年3班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；
八年4班的卫生区的面积＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；
（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．
答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米．【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】
【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图
一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）图三是边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两
幅图形中面积的等量关系，能验证公式 a 2 ﹣ b 2 ＝（ a + b ）（ a ﹣ b ） ；
（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上
相应的字母．
【分析】（1）此题只需将大正方形的边长表示为a，小正方形的边长表示为b即可，
（2）此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；
（3）此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立．
【解答】解：（1）
．1
（2）根据两图形求得两图形的面积分别为：S＝a2﹣b2；S = （2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
1 2 2
（3）拼成的图形如下图所示：
【变式7-1】（2025春•西城区校级期中）阅读学习：
数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．
如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它
的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式 （ a ﹣ b ） 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 4 ab
．
（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式： （ 2 a + b ）（ a + b ）＝ 2 a 2 + 3 a b + b 2 ．
（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝
a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．
【分析】（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系即可；
（2）根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式；
（3）由已知的恒等式，画出相应的图形即可．【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（3）如图所示：
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
【变式7-2】（2025春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可
以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②
的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （ a + b ） 2 ﹣（ a ﹣ b ） 2 ＝ 4 ab
；
11
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy= ，求（x﹣y）2的值；[知识迁移]类似
2
地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图③，写出一个代数恒等式： （ a + b ） 3 ＝ a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ；
a3+b3
（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求 的值．
2
【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于 4
个长方形面积，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（2）由题（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
11
∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4× =14．
2
（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），
把a+b＝3，ab＝1代入得：
a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．
a3+b3
∴ =9．
2
【变式7-3】（2025春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①
和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样
的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而
形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘
的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接
到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40
的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表
述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成
运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： 十位数字
加 1 的和与十位数字相乘，再乘以 10 0 ，加上两个个位数字的积，构成运算结果 证明上述速算方法的
正确性．
【分析】（1）利用面积法即可解决问题；
（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；
拓展应用：模仿例题计算57×53即可；
探究规律，利用规律解决问题即可；
【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：
拓展应用：
（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7
的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
【题型8 整式乘法中的新定义问题】
【例 8】（2025春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式 A，B，C，若 A+B+C 可以写成
（a+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式 x2，4和m是完全搭配项，则m可能是
1
4 x 或﹣ 4 x 或 x 4 ．（写出所有情况）
16
【分析】分为三种情况：①m为第二项时，②当m为第一项时，根据完全平方式求出m即可．
【解答】解：①x2±4x+4，此时m＝±4x，
1 1 1
②（ x2）2+x2+4，此时m＝（ x2）2= x4，
4 4 16
1
故答案为：4x或﹣4x或 x4．
16
【变式8-1】（2025春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数
为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差
即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）是，理由如下：
∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【变式8-2】（2025春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这
个正整数为：“奇异数”．如8，16，24都是“奇异数”．
（1）写出两个奇异数（8，16，24除外）；
（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？
【分析】（1）根据奇异数的定义判断即可；
（2）偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判
断即可．
【解答】解：（1）奇异数可以为32，40；
（2）不是奇异数，理由为：
假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，
可设（n+2）2﹣n2＝6050，
分解因式得：2（2n+2）＝6050，
解得：n＝1511.5，
可得n不是奇数，不符合题意，
则偶数6050不是奇异数．
【变式8-3】（2024•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为
“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝
7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．
因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”．
对于“智慧数”，有如下结论：
①设k为正整数（k≥2），则k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；②设k为正整数（k≥3），则k2﹣（k﹣2）2＝ 4 （ k ﹣ 1 ） ．∴都是“智慧数”．
（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”；
（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”．
【分析】（1）由平方差公式即可得出答案，根据①②的结论除去奇数及4的正整数倍数，即可得所有
大于5而小于20的“非智慧数”；
（2）根据①②可判断出在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3；k为正整数时，则4k+1，
4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧数“．从而根
据循环规律判断出结果．
【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧数是除4以
外，所有4的正整数倍数．
根据①，除去奇数：7，9，11，13，15，17，19；
根据②，除去4的正整数倍数：8，12，16．
则所有大于5而小于20的“非智慧数”有：6，10，14，18．
（2）在1，2，3，4四个数中，只有1个“智慧数”3．
当k为正整数时，则4k+1，4k+3是奇数，4k+2，4k+4是偶数，而4k+2是“非智慧数”，4k+1，4k+3，
4k+4是“智慧数”．
∴在从1开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3个“智慧数”．
∵100＝1+3×33，
∴4×（33+1）＝136．
又∵136后面的3个“智慧数”为137，139，140，
∴从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140．
【题型9 整式乘法中的规律探究】
【例9】（2025春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+
（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（ ）
22019-1 22019+1
A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C． D．
3 3
【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝
（﹣2）2019﹣1，然后再计算所给式子．
【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，
＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，
22019+1
∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1= ．
3
故选：D．
【变式9-1】（2024•丰顺县校级开学）解答下列问题．
（1）观察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8× 3 ；②92﹣ 7 2＝8×4；③
11 2 ﹣92＝8×5；④132﹣ 1 1 2＝8× 6 ；…
（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；
（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？
【分析】（1）观察算式，补全空白即可；
（2）观察算式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用平方差公式证明即可．
【解答】解：（1）观察下列算式：
32﹣12＝8×1；
52﹣32＝8×2；
①72﹣52＝8×3；
②92﹣72＝8×4；
③112﹣92＝8×5；
④132﹣112＝8×6；
…
故答案为：3，7，112，11，6；
（1）通过观察归纳，猜想第n个式子为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（2）证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n•2
＝8n，
所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得证．
n(n+1)
【变式9-2】（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+n= ，关于这个公式的推导方法，有很
2
多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法：
首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1，
变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子：
22﹣12＝2×1+1；
32﹣22＝2×2+1；
42﹣32＝2×3+1；
…
（n+1）2﹣n2＝2×n+1；
观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝
2×（1+2+3+…+n）+n，
观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝
2×S+n，
n(n+1)
把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n= ．
2
用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的
值．
【分析】根据已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推导出12+22+32+42+…+n2
的公式．
【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，
∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
13﹣03＝3﹣3+1，
23﹣13＝3×22﹣3×2+1，
33﹣23＝3×32﹣3×3+1，
…，
n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，
n3+3(1+2+3+⋯+n)-n
1
即12+22+32+42+…+n2= = n（n+1）（2n+1）．
3 6
【变式9-3】（2025春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a 2 ﹣ 1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a 3 ﹣ 1 ；（a﹣1）
（a3+a2+a+1）＝ a 4 ﹣ 1 ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a 10 0 ﹣ 1
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；
（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，
则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，
∴a6＝1．
