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必刷大题 6 导数的综合问题
1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋6x＋c，当x＝－1时，f(x)的极小值为－，当x＝2时，f(x)有极
大值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)存在x∈[－2,0]，使得f(x)>t2－2t成立，求实数t的取值范围．
0 0
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋6，
由f′(－1)＝f′(2)＝0，
得3a－2b＋6＝0且12a＋4b＋6＝0，
解得a＝－1，b＝，
又f(－1)＝－，∴c＝1，
经检验满足题意，
∴f(x)＝－x3＋x2＋6x＋1.
(2)存在x∈[－2,0]，使得f(x)>t2－2t成立，
0 0
等价于f(x) >t2－2t，x∈[－2,0]，
max
∵f′(x)＝－3x2＋3x＋6＝－3(x－2)(x＋1)，
当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,0]上单调递增，
又f(－2)＝3，f(0)＝1，
∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－2)＝3，
∴t2－2t<3，解得－10，
当x∈[π，＋∞)时，g′(x)>eπ－4>0，
所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f′(0)＝－3<0，f′＝ －2>0，
所以存在唯一x∈，使f′(x)＝0.
0 0
则当x∈[0，x)时，f′(x)<0，当x∈(x，＋∞)时，f′(x)>0.
0 0
故f(x)在(0，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增．
0 0
因为f(0)＝1>0，f ＝ －20，
所以f(x)在[0，＋∞)上有两个零点．
3．已知函数f(x)＝＋ln x，其中a为常数，e为自然对数的底数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为2，求a的值．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝ln x－x，f′(x)＝－1＝，x>0，
令f′(x)>0，得01，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝＋＝，
①当a>0时，∵x>0，∴f′(x)>0，
∴函数f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x) ＝f(e)＝2，∴＋1＝2，
max
∴a＝e，符合题意；
②当a<0且－a0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝－1时，若不等式eg(x)＋g(x)≥f(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，求m的取值范围(e为自
然对数的底数)．
解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x，
由g(x)＝x＋ln m，得g(x)＝ln eg(x)，
∴eg(x)＋g(x)＝eg(x)＋ln eg(x)＝f(eg(x))，
∴f(eg(x))≥f(x)，
由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴eg(x)≥x，即ex＋ln m≥x，
∴x＋ln m≥ln x，∴ln m≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，则h′(x)＝－1，
当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴h(x) ＝h(1)＝－1，
max
∴ln m≥－1，∴m≥.
5．(2023·新高考全国Ⅱ)(1)证明：当00对∀x∈(0,1)恒成立，
则F(x)在(0,1)上单调递增，
可得F(x)>F(0)＝0，
所以x>sin x，x∈(0,1)；
构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
令g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝2－sin x>0对∀x∈(0,1)恒成立，
则g(x)在(0,1)上单调递增，
可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0对∀x∈(0,1)恒成立，
则G(x)在(0,1)上单调递增，
可得G(x)>G(0)＝0，
所以sin x>x－x2，x∈(0,1)．
综上所述，当00，f(x)单调递增，
当－10时，取与1中的较小者，为m，
则当00，
所以n(x)即t′(x)在(0，m)上单调递增，
所以t′(x)>t′(0)＝2－a2.
①当2－a2≥0，即00(0t(0)＝0，即f′(x)>0.
那么f(x)在(0，m)上单调递增，
由偶函数性质知f(x)在(－m,0)上单调递减．
故x＝0是f(x)的极小值点，不符合题意．
②当2－a2<0，即a>时，
当<1，即a>时，
因为t′(0)<0，t′>0，所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x，
1
且当00，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x，
2
且当0
