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§3.2 导数与函数的单调性
课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调
性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上____________________
函数y＝f(x)在区间
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上____________________
(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正
负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，
b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)
在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( )
2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(2,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递减
3．已知f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________________________．
4．已知 f(x)＝2x2－ax＋ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围是
________________________________________________________________________．
题型一 不含参函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________________．
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________________．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0,2π]，则f(x)的单调递减区间为( )
A. B.
C．(π，2π) D.
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．
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思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断
点．
跟踪训练2 (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
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题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式
例3 (1)(多选)(2024·深圳模拟)若0ln
B． 0，则称函数y＝f(x)
1 2 1 2
为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
(2)(2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为
____________________．
命题点2 根据函数的单调性求参数
例4 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)．
(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；
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________________________________________________________________________(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
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跟踪训练 3 (1)(2024·郑州模拟)函数 f(x)的图象如图所示，设 f(x)的导函数为 f′(x)，则
f(x)·f′(x)>0的解集为( )
A．(1,6) B．(1,4)
C．(－∞，1)∪(6，＋∞) D．(1,4)∪(6，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝(1－x)ln x＋ax在(1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
