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第五章 函数的应用（二）
4.5.2 二分法求方程的近似解
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）某同学用二分法求方程 在x∈（1，2）内近似解的
过程中，设 ，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计
算的函数值为
A．f（0.5） B．f（1.125） C．f（1.25） D．f（1.75）
【答案】C
【解析】∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一
个零点，该同学在第二次应计算的函数值 1.25，故选C．
2．（2019·全国高一课时练习）下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法
求函数零点，故选D．
3．（2019·全国高一课时练习）用二分法求函数 的一个正零点的近似值（精
确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f
（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）【答案】C
【解析】由由二分法知，方程 的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确
度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．
4．（2019·全国高一课时练习）用二分法求方程的近似解，求得 的部分函数值数
据如下表所示：
1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
-6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据表中数据可知 ， ，由精确度为 可
知 ， ，故方程的一个近似解为 ，选C.
5．（2019·全国高一课时练习）在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－
2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1] C． D．
【答案】D
【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取
的区间可能为 .
6．（2019·全国高一课时练习）下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )
①y＝3x2－2x＋5；② ③ ；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝ x2＋4x＋8.
A．①②③ B．⑤ C．①⑤ D．①④
【答案】B
【解析】由二分法的过程可知，函数零点左右的函数值异号时才可以用二分法求解，所以①②③④均可.⑤中y＝ x2＋4x＋8=0，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）用二分法研究函数f（x）在区间（0，1）内的零点时，计算得f
（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，那么下一次应计算x＝_________时的函数值．
【答案】0.75
【解析】∵f（0）<0，f（0.5）<0，f（1）>0，∴根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间
（0.5，1）内，取x＝0.75．故答案为：0.75．
8．（2019·全国高一课时练习）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
【答案】1.56
【解析】因为函数f(x)＝3x－x－4，令f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在(a，b)内有实根，从而x≈1.56.
9．（2019·全国高一课时练习）某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”
时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，
计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是
________．
【答案】1.5,1.75,1.875,1.812 5
【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第
四次得区间(1.75,1.8125)．
10．（2019·全国高一课时练习） 用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，
先取区间中点c＝ ，则下一个含根的区间是________．
【答案】
【解析】 在 上单调递增， ， ，
，因为 ，则 ，所以 ，则，所以下一个含根区间应该为 。
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练）借助计算器或计算机，用二分法求方程 的近似解
（精确到 ）．
【答案】0.5.
【解析】令 ，函数 的定义域为 ．
因为函数 在 上是增函数，所以 至多有一个零点．
又因为 ， ，所以方程在 内有唯一一个实数解．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值（或近似值）
由于区间 内的所有值，若精确到0.1，都是0.5，所以0.5是方程精确到0.1的
近似解．
12.（2019·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝ ，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的一个根．【答案】(1) (1,2);(2) .
【解析】 (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，所以a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，即 ，
所以10，f(0)＝ >0，f(1)＝－ <0.
所以函数零点在(0,1)上，又f ＝0，
所以方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的一个根为 .
