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第二学期
高一期末考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符题目要求的.）
1. 已知集合 ， ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再求出 即可.
【详解】由集合 ，
集合 ，
得 .
故选：C.
【点睛】本题考查了交集的计算.属于容易题.
2. 已知复数 满足 ，则其共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数.
【详解】因为 ，所以 ，其共轭复数为 .
故选：D.
【点睛】本题考查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3. 某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒. 若按产
量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为60的样本，则样本中乙类奶制品的数量为（ ）
A. 6盒 B. 15盒 C. 20盒 D. 24盒
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果.
【详解】样本中乙类奶制品的数量为：
（盒）.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，熟记分层抽样的概念即可.属于容易题.
4. 设函数 ， 在用二分法求方程 在 内的近似解过程中得
，则方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数 的单调性，再根据已知条件确定方程的解所在的区间即可.
【详解】函数 在 上为增函数，
又 ，
则方程的解所在的区间为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用二分法求方程的解所在的区间问题.属于较易题.
5. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（
）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】
本题先列出所有的基本事件共10种，再列出目标任务的基本事件共3种，最后求概率即可.
【详解】解：设5件产品中2件次品为 、 ，剩下的3件合格品为 、 、 ，任取2件产品的基本
事件为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共10种，其中2件
都是合格品的基本事件为： 、 、 ，共3种.
所以2件都是合格品的概率为： .
故选：A.
【点睛】本题考查利用古典概型求概率，是基础题.
6. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量 判断 ，运用中间量 比较 .
【详解】 ，
，
，
则 ．
故选：B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化
与化归思想解题．属于较易题.7. “ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先将根据函数 为奇函数求参数 ，判断前后两个条件相互等价，即可解题.
【详解】解：∵函数 为奇函数，
∴ 即 ，解得： ，
∴ 函数 为奇函数，
∴“ ”是“函数 为奇函数”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断 是 的什么条件，是中档题.
8. 已知 为等边三角形，点 分别是 的中点，连接 并延长到点 使得 ，
则 =（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的加法法则以及数乘运算即可.
【详解】 .故选：A.
【点睛】本题主要考查了向量的加法法则以及数乘运算.属于较易题.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选明中，有多项是符
合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9. 已知复数 则（ ）
A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用复数的概念及几何有意义判断 A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算 及 ，
并计算出模长，判断C、D是否正确.
【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；
对于B选项， 对应的点位于第四象限，故B错；
对于C选项， ，则 ，故C错；
对于D选项， ，则 ，故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.
10. 某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如下，根据该折线图，下
列结论正确的是（ ）A. 上半年的月销售量逐月增加
B. 与前一个月相比，销售量增加最多的是11月
C. 全年的平均月销售量为2.9百万台
D. 四个季度中，第三个季度 的月销售量波动最小
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据折线图，逐个分析，计算选项，即可判断出结果．
【详解】对A，1月销售量为2.4百万台，2月销售量为1.8百万台，显然是下降了，故选项A错误；
对于选项B：与前一个月相比，11月销售量增加量为1.9百万台，是最多的，故选项B正确；
对C，全年的平均月销售量为 百万
台，故选项C错误；
对D，从折线图观察可得四个季度中，第三季度的折线最平缓，所以第三季度的月销售量波动最小，故选
项D正确，
故选：BD．
【点睛】本题考查利用图表分析数据，考查简单 的合情推理，是基础题．
11. 将函数 的图像向左平移 个单位后，得到函数 的图像，则下列结论正
确的是（ ）
A. B. 最小正周期为
C. 的图象关于 对称 D. 在区间 上单调递增
【答案】BCD【解析】
【分析】
由题意，利用函数 的图象变换规律，求得 的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，
得出结论．
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数
的图象，
对A，函数 ，故A错误；
对B，最小正周期为 ，故B正确；
对C，当 ，求得 为最小值，故 的图象关于直线 对称，故C正确；
在区间 上， 单调递增，故D正确，
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12. 如图所示，正四棱锥 的各棱长均相等， 分别为侧棱 的中点，则下列结论正确
的是（ ）
A.B. 平面
C. 异面直线PD与MN所成的角为
D. 与平面 成的角为
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用已知条件即可判断选项A；利用线面垂直的判定定理即可判断选项B；利用平行关系，将异面直线所
成的角转化成共面直线所成的角即可判断选项C；由线面垂直关系可得线面角，求解即可判断选项D．
【详解】因为正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，所以∠PCB＝60°，所以PC与BC不垂直，故A错误；
因为正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以PB⊥AN，PB⊥CN，又
AN∩CN＝N，所以PB⊥平面CAN，故B正确；
因为MN∥AB，AB∥DC，所以MN∥DC，所以异面直线PD与MN所成的角为∠PDC，由已知可得∠PDC
＝60°，所以异面直线PD与MN所成的角为60o，故C正确；
因为PB⊥平面CAN，所以PC与平面ACN所成的角为∠PCN，又∠PCN＝30°，所以D错误．
故选：BC．
【点睛】本题主要考查线线，线面的位置关系的判断，考查异面直线，直线与平面所成的角的求解方法，
属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量 ，故 ，即可得到答案.
【详解】因为 ， ，且 ，所以 ，解得
故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.
14. 下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：
1.5 3.2 5.2 5.6 5.6 7.1 8.7 9.2 10.0 11.2
13.2 13.7 13.8 14.5 15.2 15.7 16.5 18.8 19.2 23.9
27 27 28.9 28.9 33.1 33.8 34.8 40.6 41.6 50.1
这组数据的第70百分位数是_______________.
【答案】27.
【解析】
【分析】
把此30个数据按从小到大排列，计算出指数 ，计算可得.
【详解】按从小到大排列此30个数据，指数 ，
则第70百分位数是 ，
故答案为：27.
【点睛】计算第p百分位数的步骤如下：
第1步：以递增顺序排列原始数据（即从小到大排列），
第2步：计算指数i=np%，
第3步：
l）若 i不是整数，将i向上取整，大于i的毗邻整数即为第p百分位数的位置，
2) 若i是整数，则第p百分位数是第i项与第（i+l）项数据的平均值.
15. 一组样本数据 ，4，5，6， 的平均数为 ，标准差为4，则 _______________.
【答案】128.
【解析】
【分析】
先根据题意建立方程组，再根据方程组化简整理得 即可解题.
【详解】解：根据题意： ，化简整理得：
故答案为：128.
【点睛】本题考查数据的平均数与标准差，是基础题.
16. 如图1所示，在直角梯形 中， ， ， ，将 沿
折起到 的位置，得到图2中的三棱锥 ，其中平面 平面 ，则三棱锥
的体积为___________, 其外接球的表面积为___________,
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，取 的中点为 ，连接 ，求出 ，利用面面垂直的性质定理求
出 平面 ， 平面 ，得 ，取 的中点为 ，连接 ，则 就
是外接球的半径，代入即可求出结果.
【详解】因为 ， ，
，
，
得 ，
故 ，取 的中点为 ，连接 ，
，
，
则 ，
又平面 平面 ，
平面 ；
，
平面 平面 ，
且平面 平面 ，
而 ，
平面 ，
得 ，
取 的中点为 ，连接 ，
就是外接球的半径，
则三棱锥 的体积为 ；
外接球的表面积为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题主要考查了利用面面垂直的性质定理得线面垂直，求三棱锥的体积公式以及求球的表面积公
式.属于中档题.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. 已知函数（1）解方程
（2）求满足 的 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分 和 两种情况讨论求解即可；
（2）分 和 两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，解可得 ；
当 时， ，解可得 （舍），
故方程 的解为 .
（2）当 时， 恒成立，
所以 ；
当 时， ，
解得 ，
所以 ；
综上可知 .
所以 的 的取值范围的 .
【点睛】本题考查的是分段函数的知识，考查了分类讨论的思想.属于较易题.
18. 如图所示，在三棱柱 中， ，且 平面 ，点 是 上的一点，
求证：（I） 平面 ；
（II）平面 平面
【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）本小题先证明 ，再结合 平面 ， 平面 ，证明 平面 ；
（2）本小题先证明 平面 ，从而证明 ，再证明 ，结合
，证明 平面 ，最后证明平面 平面
【详解】解：（1）证明：∵ 是三棱柱，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）证明：∵ 平面 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面
∴ ，∵ 是三棱柱，
∴ 四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 平面 ，
再∵ 平面
.
∴ 平面 平面
【点睛】本题考查利用线线平行证明线面平行，利用线面垂直证明面面垂直，是基础题.
19. 已知 的三个内角 的对边分别为 ，且 ， ， .
（I）求 ；
（II）求 边上的高.
【答案】（I） ； .（II） .
【解析】
【分析】
（I）先利用正弦定理得到 的关系，再利用余弦定理求出 即可；（II）由（I）的结论，再结合余弦
定理即可求出 ，利用同角三角函数的基本关系求出 ，利用 边上的高为 ，即可得出
结果.
【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
又因为 ， ，
则 ，
整理可得： .
（II）由（I）可得 ，
则 ，
所以 边上的高为 .
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形.属于较易题.
20. 某公司有 名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了 人，调查他们
的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照 ， ，，
分成 组，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体中随机抽取 人，估计其通勤时间小于 分钟的概率；
（Ⅱ）求样本数据的中位数的估计值；
（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于 分钟的人都是男员工，通勤时间小于 分钟的人中有一半是男
员工，求该公司男员工的人数.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图求解即可；
（Ⅱ）先根据频率分布直方图判断中位数落在哪一区间上，然后利用中位数将频率分布直方图的面积分为
相等的两部分求解；
（Ⅲ）先计算出样本中男员工的人数，计算出男员工所占的比例，然后估计总体中男员工的人数.
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，样本中通勤时间小于 的概率
,故从总体中随机抽取 人，估计其通勤时间小于 分钟的概率也为 .
（Ⅱ）由图可知，样本的中位数位于 之间，设中位数为 ，则
，解得 ，故中位数为 .
（Ⅲ）样本中通勤时间大于或等于 分钟的人的概率为 ，共 人，通勤时间小于 分钟的人的频率
为 ，其中男员工有 人，所以样本中男员工共有 人，占样本容量的 ，故该公
司男员工人数为 人.
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查用样本估计总体，难度一般.
21. 已知向量 和 ， 其中 ，函数 的最
小正周期为 .
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的值域.【答案】（1） ；（2）值域为
【解析】
【分析】
（1）根据倍角公式、两角和与差公式，对函数 进行化简，再利用 的最小正周期为，即可求出
的值；
（2）由（1）知 ，可得 ，再根据正弦函数的性质，即可求出函数 在
时的取值范围.
【详解】（1）
， .
（2） 时， ， ，
在 的 值域为
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质、倍角公式及两角和与差公式，向量的数量积坐标运算.
22. 某中学高一年级由1000名学生, 他们选着选考科目的情况如下表所示：
科目
物理 化学 生物 政治 历史 地理
人数
300 √ √ √200 √ √ √
100 √ √ √
200 √ √ √
100 √ √ √
100 √ √ √
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
A=“该生选了物理”；B=“该生选了化学”；G=“该生选了生物”；
D=“该生选了政治”；E=“该生选了历史”；F=“该生选了地理”.
（1）求 .
（2）求 .
（3）事件A与D是否相互独立？请说明理由.
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3）相互独立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）B＝“该生选了化学”，得1000名学生中选化学的学生有500名，由此能求出P（B）；D＝“该生
选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．1000名学生中同时选政治、历史、地理的
学生有200名，由此能求出P（DEF）．
（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，1000名学生中选生物或历史的学生有800名，由此
能求出P（C∪E）；B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，1000名学生都选化学或地理，由此能
求出P（B∪F）．
（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，由题意得选择物理与否与选择政治无关，选择政治
与否与选择物理无关，从而事件A与D相互独立．
【详解】（1）B＝“该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有：300+100+100＝500（名），D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．
由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名），
（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，
由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：300+200+200+100＝800（名），
B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，
由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：300+200+100+200+100+100＝1000（名），
（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，
事件A与D相互独立．理由如下：
由题意得选择物理与否与选择政治无关，
选择政治与否与选择物理无关，
∴事件A与D相互独立．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，是基础
题．
