文档内容
专题 05 对数与对数函数、函数零点与二分法
（4 种经典基础练+3 种优选提升练）
对数的概念（共6题）
一、单选题
1．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据对数运算分析求解.
【详解】因为 ，可得 ，
且 ，解得 .
故选：B.
二、填空题
2．（22-23高一上·福建厦门·期末） .
【答案】
【分析】根据对数的运算、指数的运算求解即可.
【详解】
学科网（北京）股份有限公司.
故答案为： .
3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若 ，则 .
【答案】
【分析】由对数的概念运算求解即可.
【详解】由对数运算的定义，有
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
4．（23-24高一上·广西柳州·期末）科学家研究发现，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地
震里氏震级 之间的关系为 ，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量
的 倍.
【答案】1000
【分析】首先指对互换得 ，由指数幂运算性质即可得解.
【详解】由题意 ，所以 ，
所以 ，
即里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的1000倍.
故答案为：1000.
三、解答题
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知函数 ， ．
(1)求 的值域；
(2)求方程 的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）换元令 ，结合指数函数单调性求值域；
（2）分 和 两种情况，结合指、对数运算求解.
【详解】（1）令 ， ，
因为 ，则 ，可得 ，所以 ，
即 的值域为 ．
（2）由 ，即 ，
当 时，即 ，整理得 ，
可得 或 ，解得 或 ；
当 时，即 ，整理得 ，
可得 ，解得 ；
综上所述：方程 的解集为 ．
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数 满足 ，且 的图象经过点 .
(1)求 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司(2)求函数 在 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；
（2）利用换元法直接求解函数值域即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
又因为 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，
故 的解析式为 .
（2）当 时， ，令 ，
则 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时， 取得最小值 ，
又 ，
所以 的值域为 .
对数的运算（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若 ， ，则用 ， 表示 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合对数运算性质即可得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由对数运算性质可得 ，
故选：D.
2．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增
广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是 ，那么一年
后是 ；如果每天的“退步率"都是 ，那么一年后是 ．一年后
“进步者”是“退步者”的 倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步
者”是“退步者"的2倍（参考数据： ， ）
A．33 B．35 C．37 D．39
【答案】B
【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．
【详解】假设经过 天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得 ，
解得 ，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选： ．
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽淮北·期末）下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BCD
【分析】根据对数的运算性质结合选项逐一求解，进而得到正确选项.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，由于 ，所以 ，A错误，
对于B， ，B正确，
对于C， ，所以 ，C正确，
对于D， ，故D正确，
故选：BCD
三、填空题
4．（23-24高一上·河南·期末） .
【答案】 /0.5
【分析】直接由指数、对数运算法则求解即可.
【详解】 .
故答案为： .
5．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足 ，则 .
【答案】1
【分析】根据已知条件，推得 ， ，再结合对数的运算法则，即可求解．
【详解】解： ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：1．
6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）计算： .
【答案】4
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.
【详解】 × × ＝4.
故答案为：
四、解答题
7．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；
(2)3.
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数运算性质计算即得.
【详解】（1） .
（2） .
8．（23-24高一上·云南昆明·期末）化简并求出下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得 .
（2）解：根据对数的运算法则和运算性质，可得
.
9．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：
(1) ；
(2) .
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由有理数指数幂的运算性质和对数运算性质即可解得本题.
【详解】（1）
（2）
（3）
学科网（北京）股份有限公司10．（22-23高一上·湖南岳阳·期末）（1）已知实数 满足 ，求 的值．
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用指数幂的运算求出 的值，再利用平方差公式可求得 的值；
（2）利用指数与对数的换算可得出 ， ， ，再利用换底公式以及对数
的运算性质可证得结论成立.
【详解】（1）解： ， ， ，
又 ， ，所以 ；
（2）证明：设 ，则 且 ， ， ，
， ， ，
， .
对数函数的概念（共6题）
一、多选题
1．（22-23高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对数函数的定义知，形如 且 函数符合要求可得解.
【详解】根据对数函数的定义知， ， 是对数函数，故AB正确；
而 ， 不符合对数函数的定义，故CD错误.
故选：AB
二、填空题
2．（23-24高一上·河南新乡·期中）已知函数 ，则 ．
【答案】8
【分析】先计算出 ，进而得到 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：8
3．（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域.
【详解】函数 有意义，则有 ，解得 ，
所以函数的定义域为 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）设 是定义在R上的函数，满足 ，且
，当 时； ，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据函数的奇偶性以及 可得函数 的周期为2，进而利用周期性即
可求解.
【详解】 是定义在R上的函数满足 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
则函数 的周期为2，所以
故答案为：
5．（22-23高一上·辽宁·期末）若对数函数的图象过点 ，则 ．
【答案】
【分析】首先求解对数函数，再代入求值.
【详解】设对数函数 （ ，且 ），因为函数图象过点 ，
所以 ，得 ，
所以 .
故答案为：
三、解答题
6．（22-23高一上·辽宁·期末）回答下面两题
(1)已知对数函数 （ 且 ）的图象经过点 ，求 ， 的值．
学科网（北京）股份有限公司(2)已知指数函数 且 过点 ，若 ，求实数 的取值
范围
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先求函数的解析式，再代入求值；
（2）先求指数函数的解析式，再根据函数的单调性，解不等式.
【详解】（1）由题意知 ，即 ， 且 ，
所以 ， ，
所以 ， ；
（2）由 （负值舍去 ，
在 上为增函数，
由
，
所以 的取值范围是 ．
对数函数的图象和性质（共26题）
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解.
【详解】由题可知 ，解得 且 .
故选：D
2．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合对数函数的单调性计算即可得.
【详解】由条件知 ，
，因此 .
故选：B．
3．（23-24高一上·北京延庆·期末） 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小.
【详解】 ，即 ， ，
所以 .
故选：D
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.
【详解】由 可得， ，解得 ，
故 的定义域为 ，
由 为增函数，
令 ，对称轴为 ，
故其单调递减区间为 ，
所以 的单调递减区间为 .
故选：D.
5．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知的等式构造不等式 ，分析函数 在 上
的单调性，得到 与 的大小关系，再根据对数的性质判断，可得结果.
【详解】因为 .
设 （ ），因为 ， 在 都是增函数，所以 在 上
单调递增.
所以 ，所以 ，故A错，C正确；
又因为 ，所以 ，所以 或 无意义，故
学科网（北京）股份有限公司B、D均不正确.
故选：C
6．（23-24高一上·河南·期末）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用 的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解.
【详解】对于 ，必有 ，故CD错误；
又 ，故B错误；
将函数 在 轴下方图象翻折到上方可得函数 的图象，
再将其在 轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数 的图象，
进而将得到的函数图象向右平移1个单位，
可得函数 的图象，故A正确.
故选：A.
7．（23-24高一上·云南昭通·期末） （ 且 ）的图象恒过定点 ，幂
函数 过点 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】根据对数函数的性质可求得定点 ，由幂函数的概念设 ，由条件列式求出 ，
进而可得答案.
【详解】 ，令 ，得 ， ，
则 （ 且 ）恒过定点 ，
设 ，则 ，即 ，即 ，∴ ，
故选：D.
8．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知 且 ，函数 与 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可.
【详解】对函数 得 ，故函数 的图象应该在 轴的左侧，排
除BC选项；
对D：由 的图象看，函数单调递减，所以 ，但从 的图象看： ，所
以有矛盾，D选项错误；
学科网（北京）股份有限公司对A：当 时， 与 的图象都吻合，故A正确.
故选：A
二、多选题
9．（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中是奇函数且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】AB选项，根据幂函数的性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调
性.
【详解】A选项， 为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确；
B选项， 的定义域为R，且 ，故 为奇函数，
又 ，故 在 单调递增，B正确；
C选项， 为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；
D选项， ，故当 时， 单调递减，D错误.
故选：AB
10．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则函数 的定义域为
B．若 ，则不等式 的解集为
C．若函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是
学科网（北京）股份有限公司D．若函数 在区间 上为增函数，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【分析】由 ，求得函数 的定义域，可判定A正确；由 ，结合对数的
运算，求得 的解集，可判定B正确；令 ，结合题意，列出不等式（组），
可判定C错误；结合复合函数的单调性的判定方法，可判定D不正确.
【详解】对于A中，若 ，可得 ，则满足 ，
即 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，所以A正确；
对于B中，若 ，可得 ，
由不等式 ，可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，所以B正确；
对于C中，若函数 的值域为 ，令 ，且
只需 是 值域的子集，则 时 满足，
时 开口向上且存在零点，满足，
所以实数 的取值范围为 ，所以C错误；
对于D中，函数 在区间 上为增函数，
当 时， ，此时函数 在区间 上为增函数，
所以D不正确.
故选：AB.
11．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）下列函数是奇函数的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数 定义域为 ，
可得 ，所以函数 为奇函数，符合题意；
对于B中，由函数 定义域为 ，且 ，
所以函数 是偶函数，不符合题意；
对于C中，由函数 定义域为 ，
且 ，所以 为奇函数，符合题意；
对于D中，由函数 ，可得 ，不是奇函数，不符合题意.
故选：AC.
三、填空题
12．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数 在 上的最大值为2，则实数
．
【答案】
【分析】由题意易知 ，分类讨论 ， 时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可
求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，因为 时， ，所以 ；
若 ，则 在 上为减函数，所以 ，此时a无解；
若 ．则 在 上为增函数，所以 ，此时
故 ．
故答案为：
13．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对
称，则 的值域为 ．
【答案】
【分析】根据关于直线 对称的性质，结合对数型函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数 的图象与 的图象关于直线 对称，
所以 ，因此 ，
因为 ，所以 ，
因此 的值域为 ，
故答案为：
14．（23-24高一上·湖南常德·期末）已知函数 是 上的减函数，则
实数 的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等
式组，即可求解.
【详解】因为 是 上的减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
15．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知函数 ，则 ，则
.
【答案】 或
【分析】分 和 两种情况代入解方程即可.
【详解】因为 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 .
综合得 或 .
故答案为： 或
学科网（北京）股份有限公司16．（22-23高一上·云南昆明·期末）函数 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】根据对数的运算可得 ,配方，根据二次函数的性质即可求最
大值.
【详解】
，
故当 时， .
故答案为: .
17．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数 的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解.
【详解】由题得 或 .
函数 在定义域 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
又函数 是减函数，所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为：
18．（24-25高一上·上海·期末）不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据特殊点函数值和函数单调性得到不等式解集.
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ， ， 在 严格单调递增，
故 在 严格单调递增，
而 时， ，
所以不等式解集为 .
故答案为：
19．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数 ，（ 且 ），则
图象恒过定点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据对数函数、指数函数的知识求得正确答案.
【详解】依题意， ，
，所以定点为 .
故答案为：
20．（22-23高一上·北京平谷·期末）已知函数 ，若 ，则x的范围是
．
【答案】
【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.
【详解】作出函数 和函数 的图像，如图所示，
学科网（北京）股份有限公司两个函数的图像相交于点 和 ，当且仅当 时， 的图像在 的图
像的上方，即不等式 的解集为 .
故答案为：
四、解答题
21．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得；
（2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由 的范围求 的范围，再运用对数函数单调性求
的范围，最后即得函数值域.
【详解】（1）由 可知 ，即得： ，
由 得： ，即 ，
因 在定义域内是增函数，故得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司又因 ，故 的取值范围 .
（2）由 可得 ，
因 在定义域内是增函数，则 ，故得： ，
即函数 的值域为 .
22．（23-24高一上·黑龙江·期末）已知函数 （ 且 ）的图象经过点
和 .
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数x的值.
【答案】(1)
(2) 或16
【分析】（1）代入图象上的两个点，求 ，即可求解函数的解析式；
（2）首先求解 ，再代入（1）的结果，解对数方程.
【详解】（1）由题知 ，解得 ， ；
故 .
（2）由 ，
解得 或3，
所以 或 ，所以 或16.
学科网（北京）股份有限公司23．（22-23高一上·河南南阳·期末）对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足
，则称函数为“倒戈函数”．
(1)请判断函数 是否为“倒戈函数”，并说明理由；
(2)若 是定义在 上的“倒戈函数”，求实数 的取值范围．
【答案】(1)是“倒戈函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）由“倒戈函数”的定义可得方程 有解，列方程可以直接求解判断；
（2）通过参变量分离转化为函数求最值问题.
【详解】（1）函数 是“倒戈函数”，理由如下：
由 得： ，
化简得： ，解得： ，
所以存在实数 满足 ，
故函数 是“倒戈函数”．
（2）因为 是定义在 上的“倒戈函数”，
所以关于 的方程 有解，
即 有解，
等价于 有解，
又因为 ，
所以
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司解得： ．
所以 .
24．（22-23高一上·广东惠州·期末）已知函数 ．
(1)判断并证明函数 的奇偶性；
(2)当 时， 恒成立．求实数 的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域,然后利用函数的奇偶性的定义进行
判断即可.
（2）该题参数 已经分离，所以只需要利用对数函数的性质求出取值范围，从而可求出的 取值
范围，由于不等式左侧的最小值取不到，则 可以取该值.
【详解】（1）由函数 ，得 ，
即 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称．
又 ，
，
所以 是奇函数；
（2） 恒成立，则 ，
即 在 恒成立，
令 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 时， ，
则实数 的取值范围是 ．
25．（23-24高一上·云南·期末）已知函数 且 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若 在 上的最大值与最小值的差为1，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）由对数的单调性解不等式求解集；
（2）讨论 、 ，根据对数复合函数的单调性求最值，结合已知求参数值.
【详解】（1）由题设 ，则 ，可得 ，
所以，不等式解集为 .
（2）令 在 上递增，
当 ，则 在定义域上递减，此时 在 上递减，
则 ；
当 ，则 在定义域上递增，此时 在 上递增，
则 ；
所以 或 .
学科网（北京）股份有限公司26．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，且
点A在函数 的图象上．
(1)求函数 的解析式；
(2)若存在互不相等的实数m，n使 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数 的图象恒过定点 ，代入 可得答案；
（2）由 得 或 ，根据对数的运算性质可得答案．
【详解】（1）令 得 ，所以函数 的图象恒过定点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
所以 或 ，
当 时，由 单调性知， ，不符合题意；
当 时， ，
所以 ．
函数零点的应用（共15题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数 是奇函数，且 一
个零点为1.
(1)求 ， 的值及 解析式；
(2)已知函数 在 单调递减， 在 满足 ，当 时，
，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)已知函数 的一个零点为2，求函数 的其余零点.
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)0，4.
【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得 的值，得到 解析式，验证
的奇偶性，即可得解；
（2）依题意利用偶函数和单调性可得 满足的条件，进而可求解 的取值范围；
（3）求出 的解析式，依题意求出 ，进而可得 的其他零点.
【详解】（1）因为函数 的一个零点是1，所以 ，
是奇函数，所以 ，
所以， ，解得 ，
，定义域为 .
学科网（北京）股份有限公司，都有 ，
所以， 是奇函数，满足题意，故 ， ，
（2）函数 满足 ，所以 是偶函数且在 单调递减
因为不等式 恒成立
所以 ，
所以
（3） ，
因为函数 的一个零点为2，所以 ，解得 .
所以 ，
令 ，得 或 ，解得 .
所以函数 的其余零点为0，4.
2．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)讨论函数 的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）结合函数的奇偶性与单调性计算即可得；
（2）当 时，等式恒成立，故 为 的一个零点，当 时，表示出 ，可借助换元法，
构造函数 ，结合零点与方程的关系计算即可得.
【详解】（1） 的定义域为 ，
因为 ，所以 是奇函数.
因为 是增函数，所以 是增函数，
由 得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
即原不等式的解集为 ；
（2）由 得 ，
①当 ，即 时，等式成立，
所以 为 的一个零点.
②当 ，即 时，
即
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 为偶函数，
当 时，令 ， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又因为 ， ，
所以当 时，方程 无解，所以 没有零点；
当 时，方程 的解 ，此时 有2个解，
所以 有2个零点；
当 时，方程 有两个解，不妨设为 ， ，且 ，
此时 有4个解，所以 有4个零点；
当 时，方程 有一个解 ，且 ，
此时 有2个解，所以 有2个零点.
综上所述：当 时， 有1个零点；当 或 时， 有3个零点；当
时， 有5个零点.
【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于使用换元法，将复杂的 的值转化为
，从而可结合方程 的根的个数进行分类讨论.
3．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 ，函数 与 互为反函数.
(1)若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围；
(2)求证：函数 仅有1个零点 ，且 .
【答案】(1) ；
学科网（北京）股份有限公司(2)证明见解析
【分析】（1）由反函数定义可得 ，从而结合 的值域为 ，讨
论m的取值，结合解不等式，求得答案；
（2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数 仅有1个零点
，从而得到 ，进而将要证明的不等式等价转化为 ，由此构
造函数，利用函数的单调性证明结论.
【详解】（1）因为函数 与 互为反函数，所以 .
因为 的值域为 ，所以 能取遍 内的所有值，
当 时， 能取遍 内的所有值，符合题意；
当 时，则只需 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ；
（2）由（1）可得 ，定义域为 ，
因为 ，
，
（ ）
由零点存在定理有，存在零点 ，使得 ，
又因为 在 上单调递增，所以 仅有1个零点 ，
且 .
学科网（北京）股份有限公司等价于 ，
令 ，显然函数 在定义域 上单调递增，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 .
所以 ，故 ，得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关
于零点的等式 ，进而结合该等式化简 ，从而构造函数，
结合函数的单调性，证明结论.
4．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数 ，（ ，a为常数）．
(1)若函数 是偶函数，求实数 的值；
(2)若 与 在 上的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 ，且
，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可.
（2）构造函数 ，结合其单调性，可得 ，且 ，
从而用分析法转化不等式证明即可.
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ,
且 ，
学科网（北京）股份有限公司若函数 是偶函数，则 ，
即 ，
化为 ，则 ，经验证符合题意，
故实数 的值为
（2）因为函数 ， ，
则方程 ，
化为 ，
设
当 时， ，
易得 在 上单调递减；
当 时， ，
易得 在 上单调递增；
因为 与 在 上的图象有两个不同的交点，
故 在 有两个不同的根，
且两个根分别在区间 和 内，
又 ，所以 ，
且 ，
则
故 即 ，
学科网（北京）股份有限公司要证 ，
即证 ，
即证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，即证 ，
因为 ，所以 ，
所以 成立，
则 成立.
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，因为 ，不等式显然成立，
故 成立，
综上知， .
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题第二问的关键是构造函数 ，结合其单调性得到 ，且
，从而用分析法将问题转化为单变量不等式，由此可证.
5．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数 在定义域内存在实数 和非零实数 ，使得
成立，则称函数 为 “伴和函数”.
(1)判断是否存在实数 ，使得函数 为 “伴和函数”？若存在，请求出 的范围；若不
存在，请说明理由；
(2)证明：函数 在 上为“ 伴和函数”；
(3)若函数 在 上为“ 伴和函数”，求实数 的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析
(3) .
【分析】（1）假设 ，代入函数解析式可得出 ，计算 ，
即可得出结论；
（2）由 ，可得出 ，令 ，利用零
点存在定理证明出函数 在 内存在零点，即可证得结论成立；
（3）由已知可得 ，利用对数的运算性质可得 ，令
，可得出 ，利用基本不等式即可求得 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：不存在，理由如下：
若 ，则 ，
整理得 ，
因为 ，该方程无解，
所以，不存在实数 使得函数 为“ 伴和函数”.
（2）证明：由 ，
得 ，整理得 ，
设 因为 在 内连续不断，
且 ， ，则 ，
所以， 在 内存在零点，所以， 在 内存在零点，
即方程 在 内存在实根，
故函数 在 上为“ 伴和函数”.
（3）解：若函数 在 上为“ 伴和函数”，则 ，
即 ，
整理得 ，
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以， .
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以， ，所以， ，
即 ，所以，实数 的取值范围为 .
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究
函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
6．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数 ．
(1)求 和 的值，判断 的单调性并用定义加以证明；
(2)设 是函数 的一个零点，当 时， ，求整数 的最大值．
【答案】(1) ， ， 在定义域 上单调递增，证明见解析，
(2)整数 的最大值为
【分析】（1）由函数解析式直接求解 和 ，判断 在定义域 上单调递增，利用定义
法证明即可；
（2）由已知可得 ，由 可得 ，由 ，可得 ，从而求出
的取值范围，进而可得 的取值范围，即可得解．
【详解】（1） ， ，
判断 在定义域 上单调递增，证明如下：
学科网（北京）股份有限公司在 上任取 ， ，且 ，
则 ，
因为 ， ，所以 ， ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 在定义域 上单调递增．
（2）由题意得 ，即 ，
，则 ，即 ，
由 是 上的增函数，
所以 ，又 ，
所以 ，
，
令 , ，则 ，
所以 在 , 上单调递减，
所以 ，即 ，
当 时， ，
所以 ，所以整数 的最大值为 ．
【点睛】方法点睛；已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求
解．
7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 的图象关
学科网（北京）股份有限公司于直线 对称，其最小正周期与函数 相同．
(1)求 的单调递减区间；
(2)设函数 ，证明： 有且只有一个零点 ，且
．
【答案】(1) ， .
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简 ，在结合最小正周期及对
称性求出 、 ，从而得到 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由（1）可得 ，分 、 、 三种情况讨论，结合零
点存在性定理说明 有且只有一个零点 ，且 ，从而得到
，再结合函数的单调性证明即可.
【详解】（1）
，
因为函数 最小正周期与函数 相同，且函数 的最小正周期为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .
又因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间是 ， .
（2）由（1）可得 ，定义域为 ，
①当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，根据零点存在定理， 使得 ，
故 在 上有且只有一个零点 .
②当 时，因为 单调递增， 单调递减，
， ，所以 ，
所以 在 上不存在零点；
③当 时, 因为 单调递增， ，因为
所以 ，所以 在 上不存在零点；
学科网（北京）股份有限公司综上： 有且只有一个零点 ，且 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
在 上单调递减，
，所以 .
【点睛】思路点睛：证明函数的零点个数问题，通常是通过说明函数的单调性，再结合零点存在性
定理证明.
8．（23-24高一上·浙江金华·期末）二次函数 的最大值为 ，且满足 ，
，函数 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若存在 ，使得 ，且 的所有零点构成的集合为 ，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知函数 为偶函数，根据题意设 ，其中 ，由
可求出 的值，即可得出函数 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司（2）由 可得 ，令 ，分 、
、 三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直
接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.
【详解】（1）解：令 ，由 可得 ，
所以，函数 为偶函数，
又因为二次函数 的最大值为 ，可设 ，其中 ，
则 ，解得 ，所以， .
（2）解：因为 ，即 ，所以 ，其中 ．
由 ，化简可得
即 ．
令 ，
由判别式 ，可知 在 上有解，
①当 时， ，此时 ；
②当 时， ，此时 ；
③当 时， 的对称轴是 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
，
，
由零点存在定理可知，函数 在区间 、 上各有一个零点，
不妨设函数 在区间 、 内的零点分别为 、 ，
此时 ．
综合①②③， 成立．
【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
9．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 ， .
(1)若函数 ， ，求 的最值；
(2)设函数 ， 在区间 上连续不断，证明：函数 有且只有一个零
点 ，且 .
【答案】(1) ， ，
学科网（北京）股份有限公司(2)证明见解析
【分析】（1）确定 的值域，换元令 ，将 化为 ，
结合函数单调性，即可求得答案；
（2）分 和 讨论， 时，结合函数单调性以及零点存在定理证明即可；
时，说明函数值恒为正，即无零点，综合可得结论；利用零点得出 ，即
可化简 为 ，结合函数单调性即可证明不等式.
【详解】（1）由题意知 ，故 ，
令 ，在 在 上单调递增，故 ，
则 ，该函数在 上单调递增，
故 ， .
（2）函数 ， 在区间 上连续不断，
当 时， 与 在 上都单调递增，
故 在区间 上单调递增，而 ，
，即 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即函数 在 上有且只有一个零点 ；
当 时， 在 上单调递增，则 ，
学科网（北京）股份有限公司而 ，故 ，故此时 在 上无零点，
综上可知函数 有且只有一个零点 ；
因为 ，即 ，
所以 ， ，
因为 在 上单调递减，故 ，即
故 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象，利用数形结合的方法求解.
10．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 ，
若 的最小正周期为 ．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上有三个不同零点 ， ， ，且 ．
①求实数 取值范围；
②若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)① ；②
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简 ，根据题意求解即可；
（2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设 ， 为方程
的两个不相等的实数根，由①可求得 ， 的取值范围，根据 ，结合三
角函数的性质和三角恒等变换求得 ， 的关系，根据韦达定理求解 ， ，代入 ， 的关系式
中，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）
因为 的最小正周期为 ，所以 ，即 ，
所以 ；
（2）①由（1）知 ，
由 ，可得 ，
令 ，则 ， ，
若函数 在 有三个零点，
学科网（北京）股份有限公司即 在 有三个不相等的实数根，
也就是关于 的方程 在区间 有一个实根，另一个实根在 上，
或一个实根是 ，另一个实根在 ，
当一个根在 ，另一个实根在 ，
所以 ，即 ，解得： ，
当一个根为 时，即 ，所以 ，此时方程为 ，所以 ，不合题意，
当一个根是 ，即 ，解得 ，此时方程为 ，所以 ，不合题意，
当一个根是 ，另一个实根在 ，由 得 ，此时方程为 ，解得
或 ，这两个根都不属于 ，不合题意，
综上 的取值范围是 ；
②设 ， 为方程 的两个不相等的实数根，则 ，
由①知， ， ，
所以 ，即 ，
，所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，且 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
解得 或 ，又 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期
为 ，可求解 的值，得到 的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法
转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到 ， 的关系，利用韦达定理把 ，
用 表示，代入关系式求解.
11．（23-24高一上·江苏南京·期末）设 为常数，函数 .
(1)当 时，求 的值域；
学科网（北京）股份有限公司(2)讨论 在区间 上的零点的个数；
(3)设 为正整数， 在区间 上恰有 个零点，求所有可能的正整数 的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）对函数化简得 ，然后利用换元法 ，
，从而求解；
（2）根据（1）中换元后得 ，且 ，然后分类讨论 的情况，从而求
解；
（3）由（1）（2）知 有两个零点，然后分类讨论 的情况，根据有零点 个，
从而求解出 的值.
【详解】（1）由题意 ，令 ， ，
所以 ， ，所以 ， ， ，
当 时， ，对称轴 ，所以 ， ，
，所以 ，
故 的值域为 .
（2）由（1）知，记 的两零点为 ， ，
当 ，即 时，则 ， 无零点；
学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时，则 ， 有 个零点；
当 ，即 时，则 ， 有 个零点；
（3）由（1）（2）知， 有两个零点 ， ，
当 ，即 时，得 ， 在 （ 为正整数），内零点个数为 ，
在 内零点个数为 ，因为 ，所以 ；
当 ，即 时， ， 在 （ 为正整数）内零点个数为 ，
在 内零点个数为 ，此时不存在 ；
当 时，则 ， ， 在 和 （ 为正整数）内零点个数均为
，
因为 ，所以 或 ；
当 时，则 ， ， 在 （ 为正整数）内零点个数均为 ，
所以 ；
当 ，则 ， ， 在 和 （ 为正整数）内零点个数均为 ，
所以 或 ；
综上 的所有可能值为 ， ， ， ， .
【点睛】方法点睛：（2），（3）利用换元法后得 且 得存在两个零
点，通过对 的分类讨论确定每种情况下两零点的取值，然后由 来确定在 上
的 可能的值.
12．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数 的定义域为
.
学科网（北京）股份有限公司(1)如果不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)如果函数 存在两个不同的零点 .
①求实数 的取值范围；
②求 的最大值.
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）利用换元法，令 ，将 恒成立，转化为
在 上恒成立，然后分离参数，结合基本不等式，即可求得答案；
（2）①将函数 存在两个不同的零点 ，转化为 存在
两个不同的零点 问题，结合一元二次方程的根的分布，列出不等式组，即可求得答案；
②将 化为 ，结合对数运算和根与系数的关系，求出 的最大值，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ，故 ，
令 ，则 ，即为 ，
则不等式 恒成立，等价于函数 在 上恒成立，
由于 ，故 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，
故 ；
（2）①由于 为增函数，故函数 存在两个不同的零点 ，
等价于 存在两个不同的零点 ，且
，
则 ，即 ，即 ，
故实数 的取值范围为 ；
②由于 ，
则
，
因为 ，所以 ，即 ，
故 的最大值为 ，
则 ，
当 取最大值 时， 取到最大值 .
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题综合考查了函数不等恒成立以及零点和最值问题，综合性强，难度较大，
解答的难点在于根据函数的零点求解最值问题，解答时要注意换元，减少变量，从而将两变量问题
转化为一元函数的最值问题.
13．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数 ，
(1)直接写出 时， 的最小值.
(2) 时， 在 是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若 ， 存在两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)2
(2)存在，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据基本不等式可以判断 的最小值，直接写出答案即可；
（2）判断 的单调性，结合零点存在性定理判断；
（3）由题意，求出 的值，将 存在两个个零点转化为 在 上存在
一个零点或两个零点为 和 ，结合二次函数分情况讨论即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 的最小值为2；
（2）
时， 在 上存在零点，证明如下：
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
令 ，
所以函数 在 上单调递增，又因为 在 上单调递增，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，而
，
所以 ，
又 ， ， ，
则 ，
所以 ，
在区间 上单调递增，
所以 在 上存在零点.
（3）
由 ，解得 ，
则 .
存在两个零点等价于 在 上存在一个零点或两个零点为 和 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，
则 在 上存在一个零点或两个零点为 和 ，
（i）零点为 和 ，代入解得 ，
（ii）当 ，对称轴 ，
则只需 ，
解得 ，
（iii） ， ，满足题意，
（iv） ，对称轴 ，
则只需 ，
解得 ，
综上所述， .
【点睛】
关键点睛：本题第（3）问的关键是将 存在两个零点转化成 在 上
存在一个零点或两个零点为 和 ，进而借助函数图象分 ， ， 三种情况讨论与
轴交点情况，求出 的取值范围.
14．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知函数 .
(1)当 时，解方程 ;
(2)若对任意的 都有 恒成立，试求m的取值范围;
(3)用min{m，n}表示m，n中的最小者，设函数 ，讨论关于x的方
学科网（北京）股份有限公司程 的实数解的个数.
【答案】(1)
(2)
(3) 或 时， 有1个实数解，
或 时， 有2个实数解;
时， 有3个实数解.
【分析】(1)根据函数的单调性解方程；
(2)讨论二次函数在给定区间的最值求解；
(3)分类讨论，利用数形结合的思想，转化为讨论函数图象的交点个数.
【详解】（1）当 时，函数 ，
当 时， ，
此时方程 无解，
当 时， 单调递增， 单调递减，
且 单调递增， ，
所以此时方程 有唯一的解为 ，
综上，方程 的解为 .
（2） 等价于 ，
的对称轴为 ，
若 ，即 时， 在 上单调递增，
从而
所以 ，得 与 矛盾，舍去;
学科网（北京）股份有限公司若 ，即 时，
在 上单调递减， 上单调递增，
故
当 时，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时，
则 ，解得 ，
则 ，
若 ，即 时， 在 上单调递减，
从而
所以 得 与 矛盾，舍去.
综上， 的取值范围为 .
（3）当 时, ,则 ，
故 在 上没有实数解;
当 时， .
若 时,则 则 不是 的实数解，
学科网（北京）股份有限公司若 时，则 ,
则 是 的实数解，
当 时， ，故只需讨论 在(0,1)的实数解的个数，
则 得 ,
即问题等价于直线 与函数 图象的交点个数.
由于 在 单调递减，在 上单调递增，
结合 在 的图象可知，
当 时，直线 与函数 图象没有交点，即 没有实数解;
当 或 时， 在 有1个实数解;
当 时， 在 有2个实数解;
综上， 或 时， 有1个实数解，
或 时， 有2个实数解;
时， 有3个实数解.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解决的关键在于分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值，
要结合对称轴与区间的位置关系；第三问解决的关键是 在不同范
学科网（北京）股份有限公司围内取得的不同的最小值,数形结合的思想分类讨论求解.
15．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 ， .
(1)若对 ， 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ，求函数 的零点个数.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）将问题化为 ，令 ，结合对数函数单调性求最值得
在 上恒成立，进而化为 求参数范围；
（2）令 转化为研究 在 上解的个数，求出右侧范围，再讨论参
数a，确定对应 ，结合 函数性质确定 的零点个数.
【详解】（1）对 ， 都有 ，只需 ，
由 在 上递增，故 ，
由 ，在 上有 ，
所以 且 ，故有 在 上恒成立，
所以 ，而 ，即 .
（2）由题设 ，
令 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，即 ，
所以 且 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，则问题等价于 在 上解的个数，
又 在 上递减，故 ，
当 或 时， 在 上无解，即 无零点；
当 时， 在 上有 ，
所以 ，即 ，故 有1个零点；
当 时， 在 上有 （负值舍），
又 为偶函数，此时 有2个零点；
综上， 或 时， 无零点； 时， 有1个零点； 时， 有2个零点；
【点睛】关键点点睛：第一问，问题化为 ，令 进一步化为
；第二问，令 转化为研究 在 上解的个数为关键.
函数模型及其应用（共10题）
1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大
力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单
位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系： ，肥料成
本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千
学科网（北京）股份有限公司克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）．
(1)求 的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元
【分析】（1）由利润 ，代入 即可得；
（2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在 上的最大值，比较即可
得答案.
【详解】（1） ；
（2）
当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
由 得当 时， ．
所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元．
2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形
铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为
（单位： ），该零部件的面积是 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 关于 的函数解析式，并求出定义域；
(2)设用到的圆形铁片的面积为 （单位： ），求 的最小值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）用 表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；
（2）用 表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.
【详解】（1）依题意可得零件的面积 ，
故 ，由 ，即 ，解得 ．
故 ， .
（2）如图所示：作 交 于 ，交 于 ，连接 ．
学科网（北京）股份有限公司故 ，又 ，设圆的半径为 ，
故
，
当 ，即 时等号成立．
故当 时，面积最小值 ，
即 的最小值为 ．
3．（23-24高一上·湖北荆门·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某
型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 .经多次测试得到，该汽车每小时耗
电量 （单位： ）与速度 （单位： ）的下列数据：
0 10 40 60
0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
， ， .
(1)当 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从 地驶到 地，前一段是 的国道，后一段是 的高速路，若已
知高速路上该汽车每小时耗电量 （单位： ）与速度的关系是： （
），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】(1)选择 ，
(2)当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，该车从 地到
学科网（北京）股份有限公司地的总耗电量最少，最少为 .
【分析】
（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式.
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）
对于 ，当 时，它无意义，所以不合题意；
对于 ，它显然是个减函数，这与 矛盾；
故选择 .
根据提供的数据，有 ，解得 ，
当 时， .
（2）
国道路段长为 ，所用时间为 ，所耗电量为:
，
因为 ，当 时， ；
高速路段长为 ，所用时间为 ，
所耗电量为
，
当且仅当 即 时等号成立.
所以 ：
故当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，
学科网（北京）股份有限公司该车从 地到 地的总耗电量最少，最少为 .
4．（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等
稳健型产品的年收益 与投资额 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益
与投资额 的算术平方根成正比，其关系如图2．
(1)分别写出两种产品的年收益 和 的函数关系式；
(2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其
最大年收益是多少万元？
【答案】(1) ，
(2)当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为 万元
【分析】（1）设 ， ，由函数 和 的图象分别过点 和 ，
分别将其代入即可；
（2）设用投资风险型产品的资金为 万元，用于投资稳健型产品的资金为 万元，得年收益的
解析式 ，化解即可.
【详解】（1）由题意可设 ， ，
由图知，函数 和 的图象分别过点 和 ，
代入解析式可得 ， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司.
（2）设用于投资稳健型产品的资金为 万元，用于投资风险型产品的资金为 万元，
年收益为 万元，
则 ， ，
有 ，
则当 ，即 万元时， 的最大值为 ，
所以当投资稳健型产品的资金为6万元，
风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为 万元．
5．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻
璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该
旅游景点开业后第一个国庆假期，第 天的游客人均消费 与 近似的满足函数
（元），其中 为正整数．
(1)经调查，第 天来该地的游客人数 （万人）与 近似的满足下表：
第 （天） 1 2 3 4 5 6 7
（万
1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4
人）
现给出以下三种函数模型：① ，② ，③ ，且
．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第 天的游客人数
（万人）与 的关系，并求出该函数的解析式；
(2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入 （ ， 为正整数）的最
大值（单位：万元）．
（注：日营业收入 日游客人数 人均消费 ）
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)答案见解析
(2)240
【分析】（1）结合各组数据发现对称性质选择模型，待定系数法求解可得；
（2）依题意函数 ，分段求解范围并比较可得最值.
【详解】（1）选择模型② .
理由如下：由题意知， ，且 为正整数.
由表格数据可知， 不恒为常数， 在直线 上，
其余三对数据点关于直线 对称，
模型①，由已知数据可知 ，对称轴为 轴，
当 时， 单调递增，不满足三对数据点关于直线 对称；
模型③，当 时， 是增函数；当 时， 是减函数，
不论 取何值，数据的对称性都不符合；
模型②， ，
故 的图象关于直线 对称，
因此较模型①③，更适合题意，故选择此模型.
，代入两组数据对应点 ，
得 ， ，解得 .
则 （ ， 为正整数），
验证知，其他组数据对应点也在此函数图象上.
（2）由题意得，
，
（i）当 ，且 为正整数时， ；
学科网（北京）股份有限公司在 单调递减， ；
（ii）当 ，且 为正整数时，
，
在 单调递增， ；
又 ，所以当 时， 取最大值 .
综上所述，第4天该景区国庆期间日营业收入最多，最大值为 万元.
6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土
豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该
区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某
品牌滑雪护具在过去的一个月内(以 天计)，每件的销售价格 (单位：元)与时间 (单位：天)
的函数关系近似满足 ( 为常数，且 )，日销售量 (单位：件)与
时间 (单位：天)的部分数据如下表所示
10 15 20 25 30
50 60 70 60 50
已知第 天的日销售收入为 元.
(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量 与时间 的函数解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为 (单位：元)，试求当 为何值时， 达到最小值，并求出最小
值.
【答案】(1) ， ；
(2)当 时， 取得最小值 元.
【分析】（1）利用表格提供数据求得 ，由此求得 .
学科网（北京）股份有限公司（2）先求得 的解析式，然后根据基本不等式和函数的单调性求得 的最小值.
【详解】（1）由表格数据知， ， ，解得 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ，
由 ，解得 ，
因此 ， ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
当 时，函数 在 上单调递减，
，而 ，
所以当 时， 取得最小值 元.
7．（23-24高一上·湖北·期末）随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们
购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗
电量 单位： 与速度 单位： 的数据如下表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系，现有以下两种函数模型供
学科网（北京）股份有限公司选择：① ，② .
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析
式；
(2)现有一辆同型号电动汽车从 地出发经高速公路（最低限速 ，最高限速 ）匀速
行驶到距离为 的B地，出发前汽车电池存量为 ，汽车到达 地后至少要保留 的
保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.
已知该高速公路上有一功率为 的充电桩（充电量 充电功率 充电时间）.若不充电，该电动
汽车能否到达 地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从 地到达 地所用时间（即行驶时
间与充电时间之和）的最小值.
【答案】(1)选择函数模型①，
(2)需要，最少用时为 小时.
【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数
解析式；
（2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电，表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值.
【详解】（1） 与 的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型①，
由题意有： 解得：
所以 .
（2）设耗电量为 ，则 ，
任取 ，
，
由 ， ， ， ，
则有 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以函数 在区间 单调递增， ，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达 地.
又设行驶时间与充电时间分别为 ，总和为 ，若能到达 地，
则初始电量+充电电量-消耗电量 保障电量，
即 ，解得 ，
所以总时间 ，
当且仅当 ，即 时取等，所以该汽车到达 地的最少用时为 小时.
【点睛】方法点睛：
函数模型的选择有：
一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式；
二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看
这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或
2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并
且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型．
8．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注
射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间 （单位：小时）的关系如下：
当血药浓度不低于 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不
超过 ．
(1)若注射 药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次
注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求 的
最小值．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于 时对应的时间
段；
（2）由两次注射的血药浓度之和不低于 ，利用基本不等式求 的最小值．
【详解】（1）注射 该药品，其浓度为
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
所以一次注射 该药品，则药物有效时间可达 小时．
（2）设从第一次注射起，经 小时后，
其浓度 ，则 ，
因为 ，
当 时，即 时，等号成立．
，当 时， ，
所以 ，因为 ，
解得 ，所以 ．
当 时， ， ，所以 不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗， 的最小值为 ．
【点睛】方法点睛：
分段函数模型的应用：
学科网（北京）股份有限公司在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系
式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一
段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其
合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点.
.
9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）为了响应国家“土地流转”政策，某公司在城郊租赁了大量土
地作为蔬菜种植基地，种植的蔬菜销往城内各大超市和农贸市场．今年冬季的某一天（记为第1
天）有一批绿色有机大白菜开始陆续上市．据预测，大白菜上市的第1天至第60天内，每天的产
量x（单位：kg）（注：每天的产量即为每天的销售量）近似地满足图1所示的两条线段对应的函
数关系；每天的销售价格y（单位：元/kg）近似地满足图2（其中前一段为线段，后一段为函数
） 所示的函数关系．
(1)求这60天内每天的产量x，每天的销售价格y与第t天的函数关系；
(2)从开始销售起第几天的销售收入w（单位：元）最大?最大的销售收入是多少元?
【答案】(1) ，
(2)第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元
【分析】（1）根据已知可得出函数为分段函数.根据每段函数的图象特点结合已知，设出解析式，
代入相关点，得出参数值，即可得出答案；
（2）结合（1）的答案，分 ， ， 三种情况，分别
求出w的表达式.然后根据函数的单调性，求出各段的最大值，即可得出答案.
【详解】（1）当 时，设 ，
学科网（北京）股份有限公司由已知有 ，
解得 ，此时 ；
当 时，设 ，
由已知有 ，
解得 ，此时 .
所以 .
当 时，设 ，
由已知有 ，
解得 ，此时 ；
当 时， ，
由已知有 ，
解得 ，此时 .
所以 .
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知，当 时，
每天的销售收人为 ，
根据二次函数的性质，可知函数在 内单调递增，
所以当 时， ；
当 时，
每天的销售收入为 ，
又由 ， 可得， ，
结合根据对勾函数的性质，函数在 内单调递增，
所以当 时， ；
当 时，
每天的销售收入为 ，
函数 以及 均在 内单调递减，
根据复合函数的单调性可知，函数在 内单调递减，
所以有 .
综上所述，从开始销售起，第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元．
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼 游客坐
在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每
转一圈需要 ，其中心 距离地面 ，半径 如果你从最低处登上摩天轮，那么你与
地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间 单位： 之
后，请解答下列问题．
学科网（北京）股份有限公司(1)求出你与地面的距离 单位： 与时间 之间的函数解析式；
(2)当你登上摩天轮 后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差
单位： 关于 的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】(1)
(2) , .
【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型 ，分别求出
即得；
（2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到 关于 的函数解析式，经过三角恒等变换，化成
正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得.
【详解】（1）
如图，设摩天轮最低处为点 ,以摩天轮中心 为原点，与地面平行的直线为 轴，建立直角坐标系.
依题意，点 ，以 为终边的角为 ，
因摩天轮每转一圈需要 ，则摩天轮转动的角速度为 ，由题意可得：
学科网（北京）股份有限公司；
（2）设朋友登上摩天轮的时间为 ，其与地面的距离为 ，
则我已在摩天轮上的时间为 ，我与地面的距离为
，
故 ，
由 可知： ，故当 或 时， ，
即在 或 时，两人距离地面的高度差最大，为 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数学建模和三角恒等变换、正弦型函数的性质的应用,属于难
题.解决实际应用的问题，关键在于建立坐标系后，对实际问题的分析理解，找到适合的数学模型，
求出参数值，再运用该模型解决实际应用问题.
对数函数的单调性与最值（共13题）
1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 的定义域为 ，对任意 都有
， ，且当 时， .
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ， ；
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）赋值得到 ，进而得到 ；
（2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合 ，得到不等式 ，分
和 两种情况，求出答案.
【详解】（1）令 得 ，
，
令 ，得 ，
，
令 ，得 ，
；
（2）任意 ，设 ，则 ，
时， ，
，
，
是 上的减函数，
中，令 得 ，
故 为奇函数，
，且 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，
，
，即 ，
则 ，
当 时， ，则 ，即 ，故 ；
当 时， ，则 ，即 ，则 ；
综上， 的取值范围为
2．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数 ．
(1)若 的定义域为 ，求 的取值范围；
(2)若 的值域为 ，求 的取值范围；
(3)设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，转化为 在 上恒成立，结合 ，即可求解；
（2）根据题意，结合 的值域为 ，得到 ，即可求解；
（3）根据题意，求得 和 ，转化为
学科网（北京）股份有限公司恒成立，令 ，结合二次函数的性质，分类讨论，
即可求解.，
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ，
即 在 上恒成立，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ；
（2）解：函数 的值域为 ，
则满足 ，解得 或 ，即实数 的取值范围 ；
（3）解：因为 且 ，可得 在 上单调递增，
所以 ，
，
所以 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，所以 ，
当 ，即 时， ，解得 ，所以无解；
当 ，即 时，解得 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
3．（23-24高一上·天津·期末）已知函数 ，函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求不等式 的解集；
(2)求函数 的值域；
(3)若不等式 对任意实数 恒成立，试求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解指数不等式，得到解集；
（2）变形得到 ，结合 ，求出 的值域；
（3）转化为 ，求出 ，故 ，得到答案.
【详解】（1）由 ，得
整理得
解得 ，
的解集为
（2） ，
，
，
即 的值域为 ．
（3）不等式 对任意实数 恒成立
．
学科网（北京）股份有限公司，
令 ， ， ，
设 ， ，
当 时， 取得最小值 ，即 ，
，即 ，
，即 ，解得 ，
实数 的取值范围为 ．
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数 .若当点 在函数
图象上运动时，对应的点 在函数 图象上运动，则称函数 是函
数 的“伴随”函数.
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若对任意的 ， 的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数 ， .当 时，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由 求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）由题意得 的相关函数为 ，根据题意得到 时，
恒成立求解；
（3）易得 ，设 ，利用复合函数的单调性求解.
【详解】（1）依题意得 ，则 ，所以 ，所以原不等式的解集
为
（2）由题意得 ，所以 ，所以 的“伴随”函数为
.
依题意，对任意的 ， 的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当 时，
恒成立①
由 ，对任意的 总成立，结合题设条件有 ，在此条件下，
①等价于当 时， 恒成立，即 ，即
.
设 ，要使当 时， 恒成立
只需 ，即 成立，解得 ，即 ，且 ，
即a的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司（3）由（2）可得当 时，在区间 上， ，
即
设 ，则 ，令 ，则
所以 ，
因为 （当且仅当 时，等号成立），可得 ，当 时，等号成立，
满足 ，则t的最大值为 ，
所以 的最大值是
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数 且 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)若 ，对任意 有 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ，问是否存在实数 使函数
在 上的最大值为0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在这样的实数 ，使得其成立
【分析】（1）先根据函数 为奇函数，求得 ，结合函数的奇偶性，即可求解；
（2）根据题意，转化为对任意 有 恒成立，设 ，结合二
次函数的性质，分类讨论，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（3）由 ，求得 ，得到 ，设 ，根据题意，转化为
，结合对数函数的性质，以及二次函数的性质，分类讨论，即可
求解.
【详解】（1）解：由函数 且 是奇函数，
可得 ，即 ，可得 ，
经验证：当 时， ，满足 ，
此时函数 为奇函数，符合题意.
（2）解：由 ，可得 为单调递减函数，
因为对任意 有 恒成立，
即对任意 有 恒成立，
设 ，则函数 开口向上的抛物线，且对称轴为 ，
当 时，即 时，此时函数 在区间 上单调递增，
则 ，解得 ；
当 时，即 时，此时函数 在对称轴 处取得最小值，
则 ，解得 ，因为 ，此时无解；
当 时，即 时，此时函数 在区间 上单调递减，
则 ，解得 ，因为 ，此时无解；
综上可得，实数 的取值为 .
学科网（北京）股份有限公司（3）解：由 ，可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，
则 ，
设 ，则 ，
当 时，可得 ，此时 ，
又由 ，
则当 时， 在 上的最小值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 ；
设 ，
当 时，函数 在 处取得最小值，
此时 ，解得 （舍去）；
当 时，函数 的对称轴为 ，
函数 在 处取得最大值，此时 ，解得 （舍去）；
当 时，函数 的对称轴为 ，
函数 在 处取得最大值，此时 ，
综上可得，不存在这样的实数 ，使得其成立.
6．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数 为幂函数，且 在
上单调递增.
(1)求m的值，并写出 的解析式；
(2)解关于x的不等式 ，其中 .
学科网（北京）股份有限公司(3)已知 ， ，且 .求 .
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据幂函数的概念及性质即可求解；
（2）根据函数的奇偶性和单调性即可求解；
（3）根据奇函数的性质，结合指对运算可得 ，构造函数 ，
根据函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为 为幂函数，且 在 上单调递增，
则 ，
解得 ，
所以 ；
（2）函数 为奇函数且在 上单调递增，则 在R上递增，
由 ，则 ，
故 ，
当 时，不等式解集为 ，
当 时，不等式解集为 ，
当 时，不等式解集为 ；
（3） 且 ，则 ，即 ，
则
学科网（北京）股份有限公司考察函数 ，由于函数 均在 单调递增，且值为正，
故在 在 单调递增，
故 ，则 ， ，
则 .
【点睛】关键点点睛：根据指对运算由 得 ，利用函数
的单调性得 .
7．（23-24高一上·广西桂林·期末）已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 的最大值是 ，求 的值；
(3)已知 ， ，当 的定义域为 时， 的值域为 ，求实数 的取
值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；
（2）设 ，通过二次函数的性质分析即可；
（3）通过二次函数单调性得到 ，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分
布得到不等式组，解出即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）当 时， ，
则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
（2）当 时， ，不合题意；
时，设 ，令 .
①若 开口向上没有最大值，故 无最大值，不合题意;
②当 时，此时 对称轴 ，函数 的最大值是 ，
所以 ，
解得 或 (舍)，
所以 .
（3）当 时，设 ，
而 的对称轴 ，
所以当 时， 为增函数，故 为增函数.
因为函数 的定义域为 时， 的值域为 ，
，
； ，
所以 为方程 的两根 .
故 有两个大于1的不同实根.
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用换元法结合二次函数函数的性质进行合理分类讨论即
可，第三问的关键是将其转化为二次函数根的分布，从而得到不等式组.
8．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 为定义在 上的奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)（i）证明： 为单调递增函数；
（ii） ，若不等式 恒成立，求非零实数 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)（i）证明见解析；（ii） .
【分析】（1）方法一：通过奇函数的性质 求出 再验证其为奇函数即可；
方法二：利用奇函数的定义求出 即可；
（2）（i）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（ii）方法一：将原不等式进行换元与化简，转化为 对 恒成立，结合一元二次不
等式恒成立的求解方法进行计算即可；
方法二：将原不等式进行换元与化简，转化为 对 恒成立，进而参变分离转化为
求函数最值问题即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）方法一：
为定义在 上的奇函数，
，即 ，
，
，显然有
为奇函数符合题意，
实数 的值为1.
方法二：
为定义在 上的奇函数，
，
，此时 为奇函数，符合题设
（2）（i）任取实数 ，且 ，
则
，
，
又
，即 ，
为单调递增函数.
学科网（北京）股份有限公司（ii） ，
令 ，则 ，且 ，
只需不等式 恒成立，
即不等式 恒成立，
，
为单调递增函数，
，即 ，
方法一：
不等式（*）即 ，
欲使不等式 成立，则 ，
解得 实数 的取值范围为 .
方法二：
①若 ，欲使不等式（*）成立， 可为任意非零实数；
②若 ，则不等式 等价于 ，
欲使 恒成立，只需 即可， ，
综上所述，实数 的取值范围为
学科网（北京）股份有限公司【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集．
9．（23-24高一上·甘肃·期末）已知函数 ，且 的图象过
点 .
(1)求 的值及 的定义域；
(2)求 在 上的最小值；
(3)若 ，比较 与 的大小.
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）由 求得 ，由对数函数的定义得定义域.
（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最小值.
（3）指数式改写为对数式，然后比较 的大小，并由已知得出 的范围，在此范围内由
的单调性得大小关系．
【详解】（1）依题意， ，因此 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，解得 ，所以 的定义域为 .
（2）由（1）知， ，
，当 时，则 ，
所以 ，因此当 时，函数 ，
所以 在 上的最小值 .
（3） ， ，则 ， ，
显然 ， ，即有 ，
于是 ，而 ，则 ， ，
又 ，则 ， ，即 ，
， ，从而 ， ，
因为函数 在 上是增函数，又 在 上是减函数，则 在
上是减函数，
所以 .
【点睛】结论点睛：函数 在区间 上单调，函数 在区间 上单调，并且
在 上函数值集合包含于区间 ，则函数 在区间 上单调；如果 与 单
调性相同，那么 是增函数，如果 与 单调性相反，那么 是减
函数.
10．（23-24高一上·重庆·期末） 为偶函数， .
(1)求实数 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 时，函数 的图象恒在 图象的上方，求实数 的取值范围；
(3)求函数 在 上的最大值与最小值之和为2020，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数定义 列方程可得解；
（2）由 时， 恒成立，参变分离得 ，进而求函数最大值
即可；
（3）化简函数为 ，结合 可得最值，从而得解.
【详解】（1）∵函数 为偶函数，
，
，
得 ，
解得 ，即 .
（2）若 时，函数 的图像恒在 图像的上方，
则 恒成立，
即 ，即 .
所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 时， ，
所以 ，得 ，
综上： .
（3） ，
所以当 时，
当 时，取得最大值 ，当 取得最小值 ，
所以 ，解得 .
【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转
化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．
11．（23-24高一上·福建·期末）已知函数 在 上为奇函数， .
(1)求实数m的值；
(2)存在 ，使 成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若 恒成立，求n的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i） （ii）
【分析】（1）由奇函数定义列出恒等式即可求解.
（2）（i）由复合函数单调性得 在 上单调递减，结合奇函数性质得
，由此即可求解；（ii）将原不等式转换为
恒成立，通过换元法即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意函数 在 上为奇函数，
所以 ，
因为 ，所以解得 ，经检验 符合题意.
（2）（i）由（1）得 在 上为奇函数，
显然 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以由复合函数单调性可知 在 上单调递减，
从而 在 上单调递减，
所以
，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
（ii）由（2）（i）得 ，所以 ，
若 恒成立，
则 恒成立，
所以当 ，即 时， ，
所以n的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：第二问（i）的关键是先得函数单调性，结合奇函数性质可得关于 的函数方
程，由此即可顺利得解.
12．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)解关于 的不等式 ；
(2)若关于 的方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围；
(3)若 将区间 划分成2022个小区间，且满足 ，
试判断和式 是否为定值，若
是，请求出这个值，若不是请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)是定值，1
【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案；
（2）将 在 上有实数解，转化为 在 上有实
数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案；
（3）利用 在区间 上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案.
【详解】（1）由 得 ，
得 ， ，
所以不等式的解集为 ；
（2） 在 上有实数解，
在 上有实数解，
因为 在 上是单调递增函数，
故 ，
则 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 或 ；
（3）由 知， 在区间 上是增函数，
对任意划分 ，
均有 ，
+ +
，
所以此和式为定值1.
【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对
值符号，进而求解.
13．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数 在定义域 上为减函数，且值域
为
(1)证明： ；
(2)求实数m的取值范围；
(3)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据对数函数的定义求出其定义域，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据函数的单调性和值域可得 ，即a，b为方程 在
上的两个根，利用转化的思想，结合函数不等式恒成立问题建立不等式组，解之即可求解；
（3）由题意得 ，令 ，利用基本不等式求出 的
范围，根据a、b的取值分类讨论函数 的单调性，结合复合函数的单调性确定 对应的最大
值，即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ， 或 ，所以 或 ，
又 ，且 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 为减函数，
所以 在 上的值域为 ，
即 ，
故a，b为方程 在 上的两个根，即 有两个大于4的根，
设 ，对称轴为 ，
有 且 且 ，
即 ，解得 ，
所以 ；
学科网（北京）股份有限公司（3）因为 ，令 ，
则 ，当且仅当 即 时取等号，
所以当 时， 在 上单调递减，
所以 ，因为 ，
所以 ；
当 时，因为 ，所以 ，
；
当 ， 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，
所以 ．
【点睛】关键点点睛：第二问主要考查根据函数的值域求参数，函数的单调性和函数不等式恒成问
题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
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