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3.5 函数的零点与方程的根
考点清单
学生用书P18 知识结构化 考点清单化
考点 函数的零点 ａ ｂ 内至少有一个零点 即存在ｃ ａ ｂ 使得ｆ ｃ 这
( ꎬ ) ꎬ ∈( ꎬ )ꎬ ( )＝０ꎬ
个ｃ也就是方程ｆ ｘ 的解.
１.函数的零点 ( )＝０
２.二分法
概念 对于函数ｙ ｆ ｘ 把使ｆ ｘ 的实数ｘ叫做函数ｙ
(１) : ＝ ( )ꎬ ( )＝０ 对于在区间 ａ ｂ 上的图象连续不断且ｆ ａ ｆ ｂ 的函数ｙ
ｆ ｘ 的零点. [ ꎬ ] ( ) ( )<０ ＝
＝ ( ) ｆ ｘ 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 使所得
等价关系 方程ｆ ｘ 有实数解 函数ｙ ｆ ｘ 有零点 ( )ꎬ ꎬ
(２) : ( )＝０ ⇔ ＝ ( ) ⇔ 区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫
函数ｙ ｆ ｘ 的图象与ｘ轴有公共点. ꎬ
＝ ( ) 做二分法.
零点存在定理 如果函数ｙ ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 上的图象是
(３) : ＝ ( ) [ ꎬ ]
一条连续不断的曲线 且有ｆ ａ ｆ ｂ 那么 函数ｙ ｆ ｘ 在
ꎬ ( ) ( )<０ꎬ ꎬ ＝ ( )
第
三 章 函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
３７
题型方法
学生用书P18 题型经典 方法实用
一、判断函数零点个数或所在区间的方法 二、根据函数的零点求参数的取值 范围
( )
１.函数零点个数的判断方法 １.直接法 利用零点构建关于参数的方程 组 或不等式 组
: ( ) ( )ꎬ
直接求零点 令ｆ ｘ 方程有几个解就有几个零点. 直接求解
(１) : ( )＝０ꎬ ꎻ
利用函数零点存在定理 利用函数零点存在定理并结合函 ２.参数分离法 将参数与自变量分离 转化为求函数的最值或
(２) : : ꎬ
数的单调性 奇偶性等确定函数零点的个数 值域
、 ꎻ ꎻ
数形结合 转化为两个函数图象的交点 交点个数即为原 ３.数形结合法 对ｆ ｘ 适当变形 将求函数零点问题转化
(３) : ꎬ : ( )＝ ０ ꎬ
函数零点个数. 为两个函数图象的交点问题 利用数形结合法求解.
ꎬ
２.确定函数ｆ ｘ 的零点所在区间的常用方法 例2 (２０２１ 天 津ꎬ ９ꎬ ５ 分) 设 ａ Ｒ 函 数 ｆ ｘ
( ) ∈ ꎬ ( ) ＝
(１) 利用函数零点存在定理 : 首先看函数ｙ ＝ ｆ ( ｘ ) 在区间 [ ａ ꎬ ｂ ] { ｘ ａ ｘ ａ
上的图象是否连续 再看是否有ｆ ａ ｆ ｂ .若有 则函数ｙ ｃｏｓ(２π －２π )ꎬ < ꎬ 若ｆ ｘ 在区间 内恰有 个
ꎬ ( )( )<０ ꎬ ｘ２ ａ ｘ ａ２ ｘ ａ. ( ) (０ꎬ＋∞) ６
ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 内必有零点. －２( ＋１) ＋ ＋５ꎬ ≥
＝ ( ) ( ꎬ ) 零点 则ａ的取值范围是
数形结合法 画出函数图象 用特值估算法确定零点所在 ꎬ ( )
(２) : ꎬ ( ] ( ] ( ) ( ]
区间. ９ ５ １１ ７ ５ １１
Ａ. ２ꎬ ∪ ꎬ Ｂ. ꎬ２ ∪ ꎬ
解方程 当函数对应的方程易求解时 可通过解方程判断 ４ ２ ４ ４ ２ ４
(３) : ꎬ ( ] [ ) ( ) [ )
方程的根是否落在给定区间上. ９ １１ ７ １１
Ｃ. ２ꎬ ∪ ꎬ３ Ｄ. ꎬ２ ∪ ꎬ３
例1 (２０１９课标 文ꎬ５ꎬ５分)函数ｆ ｘ ｘ ｘ在 ４ ４ ４ ４
(１) Ⅲ ( )＝２ｓｉｎ －ｓｉｎ ２ 解析 当ｘ ａ时 ｆ ｘ ｘ２ ａ ｘ ａ２ 其图象的对
的零点个数为 ≥ ꎬ ( )＝ －２( ＋１) ＋ ＋５ꎬ
[０ꎬ２π] ( ) 称轴为直线ｘ ａ ａ
＝ ＋１> ꎬ
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ ｆ ｘ ｆ ａ ａ.
ｘ ( ) ∴ ( )ｍｉｎ＝ ( ＋１)＝４－２
函数ｆ ｘ ２ π ｘ ｘ ｘ 的零点 当 ａ 即ａ 时 ｆ ｘ 在 ａ 内无零点 当ｘ ａ
(２) ( )＝４ｃｏｓ ｃｏｓ － －２ｓｉｎ －｜ｌｎ( ＋１)｜ ① ４－２ >０ꎬ <２ ꎬ ( ) [ ꎬ＋∞) ꎬ∴ <
２ ２ 时 ｆ ｘ ｘ ａ 在 ａ 内有 个零点
个数为 . ꎬ ( )＝ｃｏｓ[２π( － )] (０ꎬ ) ６ ꎬ
解析 由 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 又Ｔ ２π 作出ｆ ｘ 的部分图象 如图
(１) ( )＝ ２ｓｉｎ －ｓｉｎ ２ ＝２ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ＝ ＝１ꎬ∴ ( ) ꎬ ꎬ
ｘ ｘ 得 ｘ 或 ｘ . ｘ ｋ ｋ Ｚ ２π
２ｓｉｎ (１－ｃｏｓ )＝０ꎬ ｓｉｎ ＝０ ｃｏｓ ＝１ ∴ ＝ πꎬ ∈ ꎬ
又 ｘ ｘ 即有 个零点 故选 .
∵ ∈[０ꎬ２π]ꎬ∴ ＝０ꎬπꎬ２πꎬ ３ ꎬ Ｂ
ｘ ( )
令ｆ ｘ ２ π ｘ ｘ ｘ
(２) ( )＝４ｃｏｓ ｃｏｓ － －２ｓｉｎ －｜ｌｎ( ＋１)｜＝０ꎬ
２ ２
( ｘ )
ｘ ２ ｘ 即 ｘ ｘ 令
∴２ｓｉｎ ２ｃｏｓ －１ ＝｜ｌｎ( ＋１)｜ꎬ ｓｉｎ ２ ＝｜ｌｎ( ＋１)｜ꎬ
２
ｙ １＝ｓｉｎ２ ｘ ꎬ ｙ ２＝｜ｌｎ( ｘ ＋１)｜ . ì ï ï ａ － １３ ≤０ꎬ 画 函 出 数图 ｙ １ 象 ＝ｓ 有 ｉｎ 两 ２ ｘ 个 ꎬ ｙ 交 ２＝ 点 ｜ｌｎ( ｘ ＋１)｜ 的图象 ꎬ 如图 ꎬ 结合图象可得两 ∴ í ï ïａ １ ４ １ ∴ １ ４ １ < ａ ≤ １ ４ ３ ꎬ∴ ａ无解 ꎻ ꎬ î － >０ꎬ
４
当 ａ 即ａ 时 ｆ ｘ 在 ａ 内有 个零点
② ４－２ ＝０ꎬ ＝２ ꎬ ( ) [ ꎬ＋∞) １ ꎬ
当ｘ ａ时 ｆ ｘ ｘ ａ 在 ａ 内有 个零点 ∴ < ꎬ ( )＝ｃｏｓ[２π( － )] (０ꎬ ) ５ ꎬ
ì
ïａ １１
ï － ≤０ꎬ
í ４ ９ ａ １１ ａ无解
方程有 个根 函数ｆ ｘ 有 个零点. ∴ ï ∴ < ≤ ꎬ∴ ꎻ
∴ ２ ꎬ∴ ( ) ２ ïａ ９ ４ ４
答案 Ｂ î － >０ꎬ
(１) (２)２ ４
当 ａ 即ａ 时
③ ４－２ <０ꎬ >２ ꎬ
当ｘ ａ时 ｆ ｘ ｘ ａ 在 ａ 内有 个零点
当ｆ ａ 即ａ ５ 时 ｆ ｘ 在 ａ 内有 个零点 ∴ < ꎬ ( )＝ｃｏｓ[２π( － )] (０ꎬ ) ４ ꎬ
(ｉ) ( )<０ꎬ > ꎬ ( ) [ ꎬ＋∞) １ ꎬ ì
２ ïａ ９
当ｘ ａ时 ｆ ｘ ｘ ａ 在 ａ 内有 个零点 ï － ≤０ꎬ
∴ < ꎬ ( )＝ｃｏｓ[２π( － )] (０ꎬ ) ５ ꎬ í ４ ７ ａ ９ ａ ９ .
ì ïａ １１ ∴ ï ïａ ７ ∴ ４ < ≤ ４ ꎬ∴２< ≤ ４
ï － ≤０ꎬ î － >０ꎬ
í ４ ９ ａ １１ ５ ａ １１ ４
∴ ï ∴ < ≤ ꎬ∴ < ≤ ꎻ ( ] ( ]
ïａ ９ ４ ４ ２ ４ 综上可得 ａ ９ ５ １１ .
î － >０ꎬ ꎬ ∈ ２ꎬ ∪ ꎬ
４ ４ ２ ４
答案 Ａ
当ｆ ａ 即ａ ５ 时 ｆ ｘ 在 ａ 内有 个零点
(ｉｉ) ( )≥０ꎬ ≤ ꎬ( ) [ ꎬ＋∞) ２ ꎬ
２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
３８
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 函数的零点
学生用书P143
Ａ.(０ꎬ１]∪[２ ３ꎬ＋∞)
１.(２０２０天津ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ
{ｘ３
ꎬ
ｘ
≥０ꎬ若函 Ｂ.(０ꎬ１]∪[３ꎬ＋∞)
( )＝ ｘ ｘ .
－ ꎬ <０ Ｃ.(０ꎬ ２]∪[２ ３ꎬ＋∞)
数ｇ ｘ ｆ ｘ ｋｘ２ ｘ ｋ Ｒ 恰有 个零点 则ｋ的取值范
( )＝ ( )－｜ －２ ｜( ∈ ) ４ ꎬ
围是
Ｄ.(０ꎬ ２]∪[３ꎬ＋∞)
( ) 答案 Ｂ
( )
１ ５.(２０２１北京ꎬ１５ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ｘ ｋｘ
Ａ. －∞ꎬ－ ∪(２ ２ꎬ＋∞) ( )＝ ｜ｌｇ ｜－ －２ꎬ
２ 给出下列四个结论
( ) :
１ 当ｋ 时 ｆ ｘ 恰有 个零点
Ｂ. －∞ꎬ－ ∪(０ꎬ２ ２) ① ＝０ ꎬ ( ) ２ ꎻ
２ 存在负数ｋ 使得ｆ ｘ 恰有 个零点
② ꎬ ( ) １ ꎻ
Ｃ.(－∞ꎬ０)∪(０ꎬ２ ２) 存在负数ｋ 使得ｆ ｘ 恰有 个零点
③ ꎬ ( ) ３ ꎻ
存在正数ｋ 使得ｆ ｘ 恰有 个零点.
Ｄ.(－∞ꎬ０)∪(２ ２ꎬ＋∞) ④ ꎬ ( ) ３
答案 Ｄ 其中所有正确结论的序号是 .
２.(２０１９ 天津文ꎬ ８ꎬ ５ 分ꎬ 综 合 性) 已 知 函 数 ｆ ｘ 答案
( ) ＝ ①②④
{
ｘ ｘ ６.(２０１９江苏ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)设ｆ ｘ ｇ ｘ 是定义在Ｒ上的
２ ꎬ０≤ ≤１ꎬ ( )ꎬ ( )
若关于ｘ的方程ｆ ｘ １ ｘ ａ ａ Ｒ 恰有两 两个周期函数 ｆ ｘ 的周期为 ｇ ｘ 的周期为 且ｆ ｘ 是奇
１ ｘ . ( )＝－ ＋ ( ∈ ) ꎬ ( ) ４ꎬ ( ) ２ꎬ ( )
ｘ ꎬ >１ ４ 函数. 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ２ ｇ ｘ
∈ (０ꎬ２] ꎬ ( ) ＝ １－( －１) ꎬ ( ) ＝
个互 [ 异的实 ] 数解 ꎬ 则ａ的取值范围为 ( ] ( ) {ｋ ( ｘ ＋２)ꎬ０< ｘ ≤１ꎬ
其中ｋ .若在区间 上 关于ｘ的方程
Ａ. ５ ４ ꎬ ９ ４ Ｂ. ５ ４ ꎬ ９ ４ － １ ꎬ１< ｘ ≤２ꎬ >０ (０ꎬ９] ꎬ
( ] [ ] ２
Ｃ. ５ ꎬ ９ ∪{１} Ｄ. ５ ꎬ ９ ∪{１} ｆ ( ｘ )＝ ｇ ( ｘ ) 有 ８ 个不同的实数根 ꎬ 则 ｋ 的取值范围是
４ ４ ４ ４ .
答案 Ｄ
é ö
３.(２０１７课标
Ⅲ
ꎬ文１２ꎬ理１１ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２ 答案
ë
êê １ ꎬ ２
ø
÷
－２ ｘ ＋ ａ (ｅ ｘ －１ ＋ｅ － ｘ ＋１ ) 有唯一零点 ꎬ 则ａ ＝ ( ) ７.(２０１８ 天津 ３ 理 ４ ꎬ１４ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知 ａ 函数 ｆ ｘ
>０ꎬ ( )＝
１ １ １ {ｘ２ ａｘ ａ ｘ
Ａ.－ Ｂ. Ｃ. Ｄ.１ ＋２ ＋ ꎬ ≤０ꎬ若关于ｘ的方程ｆ ｘ ａｘ恰有 个互异
２ ３ ２ ｘ２ ａｘ ａ ｘ . ( )＝ ２
答案 Ｃ － ＋２ －２ ꎬ >０
的实数解 则ａ的取值范围是 .
４.(２０１７山东理ꎬ１０ꎬ５分ꎬ综合性)已知当ｘ 时 函数ｙ ꎬ
∈[０ꎬ１] ꎬ 答案 ( ꎬ )
ｍｘ ２ 的图象与ｙ ｘ ｍ的图象有且只有一个交点 则正 ４ ８
＝( －１) ＝ ＋ ꎬ
实数ｍ的取值范围是
( )
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模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P144
考点 函数的零点 ｘ２ 的零点个数为 －４ ( )
１.(２０２２华大新高考联盟３月教学质量测评ꎬ５)函数ｆ ｘ ｘ
( )＝４ Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.３
答案 Ｄ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ.若关于ｘ的方程
(２－ )＝ (２＋ )ꎬ ≤２ ꎬ ( )＝ ｅ
２.(２０２２长沙雅礼中学第七次月考ꎬ８)已知函数ｆ ｘ 是定义域 ｆ ｘ ｋ ｘ 有三个不相等的实数根 则实数ｋ的取值范
( ) ( )＝ ( －２)＋２ ꎬ
为Ｒ的偶函数 且ｆ ｘ 是奇函数 当 ｘ 时 有ｆ ｘ 围是
ꎬ ( －１) ꎬ ０≤ ≤１ ꎬ ( )＝ ( )
１－
ｘ２
ꎬ
若函数ｙ
＝
ｆ
(
ｘ
)－
ｋ
(
ｘ
－２ ０２１)
的零点个数为
５ꎬ
则实数 Ａ.(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１) Ｂ.(－１ꎬ０)∪(１ꎬ＋∞)
ｋ的取值范围是
( )
Ｃ.(－ｅꎬ０)∪(０ꎬｅ) Ｄ.(－ｅꎬ０)∪(ｅꎬ＋∞)
{ } 答案 Ａ
ｋ １ ｋ １
Ａ. < < ｘ
５ ２ ４.(多选)(２０２２福建漳州一模ꎬ９)已知函数ｆ ｘ ２ 则
{ } ( )＝ｘ２ ꎬ
ｋ １ ｋ １ ＋９
Ｂ. < <
６ ３ ( )
{ } ｆ ｘ 的定义域为Ｒ
ｋ ３ ｋ ２或ｋ ６ Ａ. ( )
Ｃ. < < ＝－ ｆ ｘ 是偶函数
１２ ４ １２ Ｂ. ( )
{ } 函数ｙ ｆ ｘ 的零点为
Ｃ. ＝ ( ＋２０２２) ０
ｋ ３ ｋ ６或 ６ ｋ ３
Ｄ. － < <－ < < 当ｘ 时 ｆ ｘ 的最大值为 １
３ １２ １２ ３ Ｄ. >０ ꎬ ( )
答案 Ｃ ３
答案 ＡＤ
３.(２０２２湖南衡阳八中开学考ꎬ８)已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ
( )
第
三
章
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
３９
B组 综合应用题组 学生用书P144
25分钟 35分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) ｆ ｘ ｘ ｘ ａ 其中ａ为实数 则
( )＝ ｜ － ｜ꎬ ꎬ ( )
１.(２０２２山东省实验中学３月诊断性训练ꎬ８)已知函数ｆ ｘ 函数ｆ ｘ 有两个不同零点 和ａ
( )＝ Ａ. ( ) ０
{ ｆ ｘ ｆ ｘ
ｘ １ ｘ 若对于任意两个不同的实数ｘ ｘ 都有( ２)－( １) 则ａ
ｌｎ － ｘ ꎬ >０则函数ｙ ｆ ｆ ｘ 的零点个数是 Ｂ. １ꎬ ２ꎬ ｘ ｘ >０ꎬ
＝ [ ( )＋１] ( ) ２－ １
ｘ２ ｘ ｘ
＋２ ꎬ ≤０ꎬ ＝０
若ｆ ｘ 在 上单调递增 则ａ 或ａ
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ Ｃ. ( ) [０ꎬ１] ꎬ ≤０ ≥２
答案 Ｄ 若ｆ ｘ 有三个不同的实数根 则ａ
Ｄ. ( )＝１ ꎬ >２
２.(２０２２ 江苏南通如皋中学联考ꎬ７) 已知函数ｆ ｘ 答案 ＢＣＤ
( ) ＝
{
ｘ
ｘ２ １ ｘ ｘ ５.(２０２２江苏泰州二调ꎬ１２)已知直线ｙ ａ与曲线ｙ 相交
＋ ꎬ ≤０ꎬ 若关于ｘ的方程ｆ ２ ｘ ｋ ｘｆ ｘ ｋｘ２ ＝ ＝ ｘ
２ ( )－( ＋１) ( )＋ ＝０ ｅ
ｘ ｘ ｘ
－｜２ －１｜＋１ꎬ >０ꎬ 于Ａ Ｂ两点 与曲线ｙ ｌｎ 相交于Ｂ Ｃ两点 Ａ Ｂ Ｃ的横坐标
有且只有三个不同的实数解 则正实数ｋ的取值范围为 ꎬ ꎬ ＝ ｘ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
ꎬ
分别为ｘ ｘ ｘ 则
( ) １ꎬ ２ꎬ ３ꎬ ( )
( ] [ ) ｘ ａ ｘ ｘ ｘ
１ １ Ａ. ２＝ ｅ ２ Ｂ. ２＝ｌｎ １
Ａ. ０ꎬ
２
Ｂ.
２
ꎬ１ ∪(１ꎬ２)
Ｃ.
ｘ
３＝ｅ
ｘ
２ Ｄ.
ｘ
１
ｘ
３＝
ｘ２
２
答案 ＡＣＤ
Ｃ.(０ꎬ１)∪(１ꎬ２) Ｄ.(２ꎬ＋∞)
答案 Ｂ ６.(２０２２百师联盟(山东新高考卷)开年摸底联考ꎬ９)设函数
３.(２０２２广东汕头一模ꎬ８)定义在Ｒ上的偶函数ｆ ｘ 满足ｆ { ｘ ｘ
－ ｘ ) ＝ ｆ (２ ＋ ｘ )ꎬ 且 当 ｘ ∈ [０ꎬ ２] 时 ꎬ ( ) ｆ ( ｘ ) ( ＝ ２ ｆ ( ｘ )＝ ｌｏ ｘ ｇ２( ｘ －１)ꎬ >２ꎬ则以下结论正确的为 ( )
{ ｘ ｘ ２ －３ꎬ ≤２ꎬ
２ －１ꎬ０≤ ≤１ꎬ ｆ ｘ 为Ｒ上的增函数
若关于ｘ的方程ｍ ｘ ｆ ｘ 至少有 Ａ. ( )
πｘ ｘ ｌｎ｜ ｜＝ ( ) ８ ｆ ｘ 有唯一零点ｘ 且 ｘ
２ｓｉｎ －１ꎬ１< ≤２ꎬ Ｂ. ( ) ０ꎬ １< ０<２
２ 若ｆ ｍ 则ｍ
个实数解 则实数ｍ的取值范围是 Ｃ. ( )＝５ꎬ ＝３３
ꎬ ( ) ｆ ｘ 的值域为Ｒ
[ ) ( ] Ｄ. ( )
１ １ 答案 ＢＣ
Ａ. － ꎬ０ ∪ ０ꎬ
ｌｎ６ ｌｎ５ 三、填空题(共５分)
[ ]
１ １ ７. ( ２０２２ 石 家 庄 二 模ꎬ １５) 已 知 函 数 ｆ ｘ
Ｂ. － ꎬ ( ) ＝
( ｌｎ６ ｌｎ ) ５ ( ) { ｘ ｘ
｜ｌｏｇ３ ｜ꎬ０< <３ꎬ
１ １ ( ) 若存在实数ｘ ｘ ｘ ｘ 满足ｘ ｘ ｘ
Ｃ. － ｌｎ６ ꎬ０ ∪ ０ꎬ ｌｎ５ πｘ ｘ １ꎬ ２ꎬ ３ꎬ ４ꎬ １< ２< ３
( ) ｓｉｎ ꎬ３≤ ≤１５ꎬ
６
１ １ Ｄ. － ꎬ ｘ 且ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｘ ｘ ｘ
ｌｎ６ ｌｎ５ < ４ꎬ ( １)＝ ( ２)＝ ( ３)＝ ( ４)ꎬ １ ２＝ ꎬ( ３－
答案 Ｂ ｘ 的取值范围是 .
３)( ４－３)
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) 答案 ꎻ( ꎬ )
１ ０ ２７
４.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ１１)已知函数
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创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P145
１.(２０２２ ５３原创题)已知函数ｆ ｘ ｘ Ｒ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 若方程ｆ ｘ ｇ ｘ 有两个不等的实根ｘ ｘ 方程ｈ ｘ
( )( ∈ ) ( )＋(－ ) Ｂ. ( )＝ ( ) １ꎬ ２ꎬ ( )＝
ｇ ｘ 有两个不等的实根ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｘ ｘ 的值为定值
且ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ １ ｘ ｍ ( ) ３ꎬ ４ꎬ １＋ ２＋ ３＋ ４ ４
＝０ ( ＋１)＝ ( －１)ꎬ ∈(－１ꎬ０) ꎬ ( )＝ ＋ ＋
２ 若方程２０２２ ｈ ｘ 的根为ｘ 方程２０２２ ｆ ｘ 的根为
Ｃ. ｘ ＋ ( )＝０ １ꎬ ｘ －(－ )＝０
－ ２ ２ ( ｍ ∈ Ｒ ) . ｘ ２ꎬ 则ｘ １ ｘ ２ 的值为定值 １
Ａ. 若函数ｆ ( ｘ ) 在区间 [－１ꎬ１] 上恰有 ７ 个零点 ꎬ 则实数ｍ的取 Ｄ. 若方程 ｜ ｈ ( ｘ )｜－ ｆ ( ｘ )－１＝０ 有两个不同的实根ｘ １ꎬ ｘ ２ꎬ 则 ０<
( ) ｘ ｘ
值范围是 １ ９ １ ２<１
ꎬ 答案 Ｃ
２ １６
若函数ｆ ｘ 在区间 上恰有 个零点 则实数ｍ的取 ３. ( 多 选) ( ２０２２ ５ ３ 原 创 题) 函 数 ｆ ｘ
Ｂ. ( ( ) ) [－１ꎬ１] ５ ꎬ {ｇ ｘ ｘ ( ) ＝
值范围是 １ ９ ( )ꎬ０< ≤２ꎬ
ꎬ ( ) 若存在实数ａ ｂ ｃ ｄ 满足ａ ｂ ｃ ｄ 且ｆ ａ
２ １６ πｘ ｘ ꎬ ꎬꎬ ꎬ < < < ꎬ ( )
若函数ｆ ｘ 在区间 上恰有 个零点 则实数ｍ的取 ｓｉｎ ꎬ２< ≤１０ꎬ
Ｃ. ( ) [－１ꎬ１] ５ ꎬ ４
( ] ｆ ｂ ｆ ｃ ｆ ｄ 则
值范围是 １ ＝ ( )＝ ( )＝ ( )ꎬ ( )
０ꎬ ａ ｂ æ ö
２ 若ｇ ｘ ｘ ２ 则 ＋２ 的取值范围是ç ２ ５ ÷
若函数ｆ ｘ 在区间 上恰有 个零点 则实数ｍ的取 Ａ. ( )＝ ＋ ｘ －２ꎬ ｃ ｄ è ꎬ ø
Ｄ. ( ) [－１ꎬ１] ５ ꎬ ＋ ４ １２
[ ] ｆ ｃ
值范围是 １ １ 若ｇ ｘ ｘ ２ 则 ( )的取值范围是
ꎬ Ｂ. ( )＝ ＋ ｘ －２ꎬ ａ (２－ ２ꎬ１)
１６ ２
答案 Ａ ａ ｂ ( )
若ｇ ｘ ｘ 则 ＋２ 的取值范围是 １ ３
( )ｘ Ｃ. ( )＝ ｜ｌｎ ｜ꎬ ｃ ｄ ꎬ
２.(２０２２ ５３ 原创题)已知函数 ｆ ｘ １ ｇ ｘ ｘ ＋ ４ ８
( )＝ ꎬ ( )＝ ２－ ꎬ ｆ ｃ
２ 若ｇ ｘ ｘ 则 ( )的取值范围是
ｈ ｘ ｘ 则下列结论错误的是 Ｄ. ( )＝｜ｌｎ ｜ꎬ ａ (０ꎬｌｎ２)
( )＝ｌｏｇ１ ２ ꎬ ( )
若方程ｆ ｘ ｇ ｘ 的根为ｘ 方程ｈ ｘ ｇ ｘ 的根为 答案 ＡＢ
Ａ. (－ )＝ ( ) １ꎬ ( )＋ ( )＝０
ｘ 则ｘ ｘ 的值为定值
２ꎬ １＋ ２ ２
年
高
考
年
模
拟
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用
书
︶
４０
