文档内容
第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
第三部分：第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f (x)，导函数方程f '(x)=0的根存在，却无法求出，设方程f '(x)=0的根为 x ，
0
则有：
①关系式
f '(x )=0
成立；②注意确定
x
的合适范围.
0 0
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f '(x,a)=0的根存在，却无法求出，设方程
f '(x)=0的根为 x ，则有
0
①有关系式
f '(x
0
)=0
成立，该关系式给出了
x
0
,a
的关系；②注意确定
x
0
的合适范围，往往和a的
范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间
内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 .
① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若 ，那么 在 不一定有零点
③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号
(3)若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯一.第二部分：典 型 例 题 剖 析
1．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线经过点 ，求实数a的值；
(2)若对任意 ，都有 （e为自然对数的底），求证： ．
2．（2022·甘肃·一模（文））已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)当 时，关于x的不等式 恒成立，求实数b的取值范围．
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
(1)求 的极值；
(2)（i）证明∶ 与 有相同的零点；
（ii）若 恒成立，求整数a的最大值.
4．（2022·四川南充·二模（理））已知 .
(1)求 在 的切线方程；
(2)求证： 仅有一个极值；
(3)若存在 ，使 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.5．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)当 时，若 满足 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，试比较a和1.5625的大小．
参考数据： ， ， ， ．
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知函数 的图象在点 处的切线
方程为 ．
(1)判断函数 的单调性．
(2)证明：当 时， ．
8．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)当 时，证明： 对 恒成立．9．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知函数 ( 为自然对数的底数， )．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围.
10．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底
数）．
(1)若 在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，求证： ．
11．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最大值与最小值之差；
(2)若 ，证明：
12．（2022·江西宜春·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个不等实根 ，证明： ．13．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知函数 的图象在点 (
为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．
(1)求实数 的值;
(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．
14．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数 ，函数 在
处取得最大值.
(1)求a的取值范围；
(2)当 时，求证： .
第三部分：第 11 讲 拓展四：导数中的隐零点问题
（精练）
1．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；(3)若 ，正实数 满足 ，证明： .
2．（2022·甘肃·二模（文））已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 ，证明：当 时， .
3．（2022·陕西汉中·二模（文））已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 .
(1)求实数 的值及函数 的单调区间；
(2)若 时， ，求 的最大值（注： 表示不超过实数 的最大整数）.
4．（2022·甘肃·二模（理））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 ，证明：当 时， .
5．（2022·江西省宜春中学高二开学考试（理））设函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调递减区间；(3)求证：不等式 恒成立.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
(2)若 ，求证：当 时， .
7．（2022·安徽滁州·二模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若 恒成立，求整数a的最大值．
