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第七讲：函数图像、函数与方程
【考点梳理】
1、函数的图象
(1)平移变换：
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：
(4)翻折变换：
2、函数与方程
(1)判断二次函数 在 上的零点个数，一般由对应的二次方程 的判别式
来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象
进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确
定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又 ，则
在区间 内有唯一零点．【典型题型讲解】
考点一：函数的图像
【典例例题】
例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
依题意，当 时，函数 图象与y轴交点在点 上方，排除B，C，
而 ，因此， 在 上递减，且x<0时，0<f(x)<1，D不满足，A满足；
当 时，函数 图象与y轴交点在原点上方，点 下方，排除A，D，
而 ，因此，f(x)在 上递增，且x>0时，0<f(x)<1，B不满足，C满足，
所以给定函数的图象可能是AC.
故选：AC
【方法技巧与总结】
1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法
2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换【变式训练】
1.已知图①中的图象是函数 的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数 的图象在 轴右侧的部分，
然后将 轴左侧图象翻折到 轴右侧， 轴左侧图象不变得来的，
∴图②中的图象对应的函数可能是 .
故选：C.
2.已知函数 无最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于函数 ，
可得 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∴函数 在 时有极大值2，在 时有极小值 ，作出函数 与直线 的图象，
3.若函数 （ 且 ）在R上为减函数，则函数 的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数 （ 且 ）在R上为减函数.
所以 .
因为函数 ，定义域为 ，故排除A、B.
当 时，函数 在 上单调递减.
当 时, 函数 在 单调递增.
故选:D.由图可知，当 时，函数 有最小值 ，当 时，函数 没有最小值.
故选：D.
4.函数 的图象如图所示，则函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】
将函数 的图象作以 轴为对称轴的翻折变换，得到函数 的图象，再将图象向右平移一个单位，
即可得到函数 的图象．
故选：D．
考点二：求函数的零点或零点所在区间判断
【典例例题】
例1.已知函数 满足 ，且 是 的一个零点，则 一定是下列函数的零点的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，所以函数 是奇函数．由已知可得 ，即
．所以 ，所以 ，故 一定是 的零点，故A正确，B
错误；
又由 ，得 ，所以 ，故C错误；由
，故D错误.
故选：A．
例2.函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
函数 是 上的连续增函数,
,
可得 ,
所以函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
【方法技巧与总结】
f (x)
求函数 零点的方法：
f (x)=0
（1）代数法，即求方程 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数
y=f (x)
的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式训练】
1.已知函数 ，则 的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
时，由 得 ，
时，由 得 或 ，
所以四个零点和为 ．
故选：D．
2．已知函数 ， ， 的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大
小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
由已知条件得
的零点可以看成 与 的交点的横坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横
坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出 ， ， ， 的函数图象，如下图所示,
可知 ，
故选： .
3.（2022·广东广州·二模）函数 的所有零点之和为__________．
【答案】9
【详解】
由 ，令 ， ，
显然 与 的图象都关于直线 对称，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 对称，有 ，则 ，
所以函数 的所有零点之和为9.
故答案为：9
4．若 ， ， ，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
【答案】
【详解】
依题意， ， ， ， ，
因此， 成立的x值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的y值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的z值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，
观察图象得： ，即 ，所以x、y、z由小到大的顺序是 .
故答案为：
6.函数 的零点所在的区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
为 上的递增函数，
，
，
，
则函数 的零点所在的区间为
故选：B
考点三：函数零点个数的判断
【典例例题】
例1.函数 的零点个数为___________.
【答案】2
【详解】
当 时，令 ，解得 ， ，此时有1个零点；当 时， ，显然
单调递增，
又 ，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
例2.定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵ ，
∴函数 关于直线 对称，又 为定义在R上的偶函数，
故函数 关于直线 对称，
作出函数 与直线 的图象，
要使关于x的方程 恰有5个解，则函数 与直线 有5个交点，
∴ ，即 .
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个
数.
2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题
意结合图像写出答案
3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
【变式训练】
1.已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，则方程
在区间 上的解的个数是________
【答案】10
【解析】
【分析】
根据函数满足 ，得到函数图象关于 对称，再结合奇偶性得到函数的周期性，作出函
数 和函数 在区间 ， 上的图象，把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题
解决．
【详解】
函数 是偶函数， ①，
②， 的图象关于 对称，
由①②得， ，即 ，
∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数 和函数 在区间 ， 上的图象，
方程 在区间 ， 上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．2.已知函数f（x）＝ 和函数g（x）＝ ，则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数
是________．
【答案】3
【详解】
在同一直角坐标系中，作出 与 的图象如图，
由 可得， ，即函数的零点为 图象交点的横坐标，
由图知 与 的图象有3个交点，即 有3个零点．
故答案为：3
3.已知函数 若函数 有6个零点，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，作出函数 的大致图象，如图所示，则函数 有6个零点等价于 在 上有两个不同的实数根，
则 解得 .
故选：D.
4.已知函数 ，若函数 有4个零点，则实数k的取值范围为
_______________.
【答案】
【详解】因为 有4个零点，
所以方程 有4个实数根，
画出 的图像，以及 ，
则两函数的图象有4个公共点．其中直线 经过定点 ，斜率为
当直线与 相切时，联立 ， ，可求出 ，由图可知，当 时，
方程 有4个交点，故 的取值范围为
故答案为 .
5.已知函数 ， 若关于x的方程 有四个不同的解，则实
数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，根据 的解析式，可得 的单调性、奇偶性，即可作出 的图象，即可求得t的最小值，
利用导数判断 的单调性，结合t的范围，作出 的图象，数形结合，可得 时，
的图象与 图象有2个交点，此时 与 分别与 有2个交点，即即
有四个不同的解，满足题意，即可得答案.
【详解】
设 ，则 有四个不同的解，
因为 ，
所以 为偶函数，且当 时， 为增函数，
所以当 时， 为减函数，
所以 ，即 ，
当 时， ，
则 ，
令 ，解得 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
又 ，
作出 时 的图象，如图所示：所以当 时， 的图象与 图象有2个交点，且设为 ，
作出 图象，如下图所示：
此时 与 分别与 有2个交点，即 有四个不同的解，满足题意.
综上实数m的取值范围为 .
故选：A
6.已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有三个不同的实数解，则实数
的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
0-=，看【详解】因为 s0zkol，所以 ，
当 ， ；当 ， ，
所以 在 和 单调递减，在 单调递增，
且当 时， ， ，
故 的大致图象如图所示：
关于 的方程 等价于 ，
即 或 ，
由图知，方程 有且仅有一解，则 有两解，
所以 ，解得 ，
故选:C.
【巩固练习】
一、单选题
1．函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
依题意， ， ，
故函数 为偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项可排除B；
而 ，结合选项可排除C，D．
故选：A．
2．声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全
段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用决定了
声音的音色，人们以此分辨不同的声音．己知刻画某声音的函数为 ，则其部分
图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】
解：令 ，
求导得
，
所以，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
由于 ，
所以， 时， ，且单调区间变化不具有对称的性质，
所以，只有C选项满足.
故选：C
3．若函数 （ 且 ）在R上既是奇函数，又是减函数，则 的
大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数 在R上是奇函数，
所以 ，所以 ，经检验， 满足题意，
又因为 为减函数，所以 ，则 （ ）
由
可知 的图象关于直线 轴对称，排除选项CD ；
又 ，可知选项A错误.所以 的大致图象为B．
故选：B
4．已知函数 ，若函数 与 的图象恰有5个不同公共
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 时， ；
当 时， ，
当 时， 有极大值 ，当 时， ，
作出 的大致图象如图：
函数 与 的图象恰有5个不同公共点，
即方程 有5个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论 有解情况如下：
令 ,
(1当 在 和 上各有一个解时，即 ，解得 ，
（2）当 在 和 上各有一个解时，
，解得 ，
（3）当 有一个根为6时，解得 ，此时另一个根为 ，不合题意；
（4）当 有一个根为1时，解得 ，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知： ，
故选：A
二、多选题
5．设函数 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，则 的取值范围是
B．若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，则 的取值范围是
C．若方程 有四个不同的实根，则 的取值范围是
D．方程 的不同实根的个数只能是1，2，3，6
【答案】AD
【详解】
解：对于A：作出 的图像如下：若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，则 ，不妨设 ，
则 ， 是方程 的两个不等的实数根， ， 是方程 的两个不等的实数根，
所以 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B：由上可知， ， ，且 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C：方程 的实数根的个数，即可函数 与 的交点个数，因为 恒过坐标原点，
当 时，有3个交点，当 时最多2个交点，所以 ，
当 与 相切时，设切点为 ，即 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以当 与 相切时， 即 时，此时有4个交点，
若 有4个实数根，即有4个交点，
当 时由图可知只有3个交点，当 时，令 ， ，则 ，
则当 时 ，即 单调递增，当 时 ，即 单调递减，所以当 时，
函数取得极大值即最大值， ，又 及对数函数与一次函数的增长趋
势可知，当 无限大时 ，即 在 和 内各有一个零点，即 有5个实数根，
故C错误；
对于D： ，
所以 ，
所以 或 ，由图可知，当 时， 的交点个数为2，
当 ，0时， 的交点个数为3，
当 时， 的交点个数为4，
当 时， 的交点个数为1，
所以若 时，则 ，交点的个数为 个，
若 时，则 ，交点的个数为3个，
若 ，则 ，交点有 个，
若 且 时，则 且 ，交点有 个，
若 ，交点有1个，
综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正确；
故选：AD．
6．已知 为常数，函数 ，若函数 恰有四个零点，则实数
的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】
由题意，函数 ，
当 时，可得 ，此时 是函数的一个零点；
当 时，令 转化为 ，其中 ，要是使得 有三个零点，
只需 和 的图象有三个不同的交点，
作出函数 的图象，如图所示，
结合图象，可得当 或 .
结合选项，实数 的值可以是 和 .
故选：AC.
7．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数 若关于x的方程
有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
令 ，记 的两个零点为 ，则由 的图象可知：方程有5个不同的实根 与 的图象共有5个交点 ，
且 （不妨设 ）.
则 解得 .
故选：BCD
8．已知 、 分别是方程 ， 的两个实数根，则下列选项中正确的是
（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
函数 在同一坐标系中的图象如下：所以 ，
所以
所以
所以 ，
故选：BD
三、填空题
9．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则方程 有
___________个根.
【答案】10
【详解】
由 可知，函数周期为 ，
作出函数 与 ，由图象可知， 与 有10个交点，
所以方程 有10个根.
故答案为：10
10．对实数a和b，定义运算“ ”： 设函数 ．若函数
恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】
因为 ，
所以
由图可知，当 或 时，函数 与 的图象有两个公共点，
的取值范围是 .
故答案为：11．已知 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】
当 时， ， ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减.
在 时的极大值为 ，当 时，
画出函数图像，如图所示：
函数 有三个零点，即 有三个交点，故
故答案为： .
