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第十讲：导数与函数的极值、最值
【考点梳理】
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ，而且在
点 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 的极小值点， 叫做函数
的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ，而且在
点 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 的极大值点， 叫做函数
的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1） ， 不一定是极值点
（2）只有 且 两侧单调性不同 ， 才是极值点.
(3)求极值点，可以先求 的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程 的根
（3）用方程 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由 在方程 的根左右的符号，来判断 在这个根处取极值的情况
若 左正右负，则 为极大值；
若 左负右正，则 为极小值；
若 左右同号，则 无极值。
3.最大值:
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有 ;
（2）存在 ，使得
那么，称 是函数 的最大值
4.最小值:
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ;
（2）存在 ，使得
那么，称 是函数 的最小值
【典型题型讲解】
考点一：求函数的极值与极值点
【典例例题】
例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数 ， 的图象都相切.
【详解】（1） 的定义域为 ，
且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，
故 的极大值为 ，没有极小值.
（2）设直线 分别切 ， 的图象于点 ， ，
由 可得 ，得 的方程为 ，即 ： ；
由 可得 ，
得 的方程 ，即 ： .
比较 的方程，得 ，
消去 ，得 .
令 （ ），则 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
因为 ，所以 在 上有一个零点；
由 ，得 ，
所以 在 上有一个零点，所以 在 上有两个零点，
故有且只有两条直线与函数 ， 的图象都相切.
例2.已知函数 ……自然对数底数）.
(1)当 时，求函数f（x）的单调区间；
(2)当 时，
（i）证明： 存在唯一的极值点：
（ii）证明：
【答案】
(1)
，构建当 时，则 在 上单调递减，且
当 时， ，当 时，
则函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
（i）由（1）可知：当 时， 在 上单调递减
∴ 在 内存在唯一的零点
当 时， ，当 时，
则函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
∴ 存在唯一的极值点
（ii）由（i）可知：
∵ ，即
，且
∵ 在 单调递减
则
构建 ，则 当 时恒成立
则 在 上单调递增，则
则 ，即
∴
【方法技巧与总结】
1．在求函数极值问题中，一定要检验方程 根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值
是否与已知有矛盾．
2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否
则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知函数 （ 且 为常数）.
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】
(1)
解：函数 的定义域为 ，则 .
令 ，则 ，由 ，可得 ，列表如下：
减 增
极小值
所以， .
①当 时，即当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时函数 在 上单调递增，则函数 无极值点；
②当 时，令 ，则 ，由 ，可得 ，列表如下：
减 增
极小值
且当 时， ；当 时， .作出函数 与函数 的图象如下图所示：
（i）当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为 、 ，且 ，
由图可知，当 或 时， ；当 时， .
此时，函数 有 个极值点；
（ii）当 时，由图可知，直线 与函数 的图象有一个交点，设其横坐标为 ，且 ，
当 时， ；当 时， .
此时函数 只有 个极值点.
综上所述，当 时，函数 无极值点；当 时，函数 有 个极值点；
当 时，函数 只有 个极值点.
(2)
解：不等式 对任意的 恒成立，
等价于 对任意的 恒成立，
所以， 对任意的 恒成立，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 ， ，故存在 ，使得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，
因为 ，则 ，因为 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，
由 可得 ，故 ，可得 ，
所以， ，故 .
2.函数 ．(1)求函数 在 上的极值；
(2)证明： 有两个零点．
【答案】(1)极大值， ；极小值， ；
(1)
∵ ，
∴ ， ，
由 ，可得 ，或 ，
∴ ， 单调递增， ， 单调递减， ，
单调递增，
∴ 时，函数 有极大值 ， 时，函数 有极小值 ；
(2)
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 单调递增，即 单调递增，
又 ，
故存在 ， ，
所以 单调递减， 单调递增，
∴ 时，函数 ， ，
，
故 时， 有两个零点，
当 时， ，
对于函数 ，则 ，又 ，
∴ ， ，即 ，此时函数 没有零点，当 时， ，
由上可知 ，故当 时，函数 没有零点，
综上，函数 有两个零点．
【典型题型讲解】
考点二：根据极值、极值点求参数
【典例例题】
例1．（2022·广东广东·一模）已知函数 ， ．
（1）若函数 在 处取得极大值，求实数 的值；
（2）当 时，若对 ，不等式 恒成立，求实数 的值．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取极大值，所以 ，所以 ，所以
当 时， ，
+
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以 在 处取极大值，符合题意；
（2）当 时， ， ．
又因为对 ，不等式 ，所以 时， ，
所以 时， ，
令 ，因为 为 上的增函数，且 的值域为 ，所以 ，故问题转化为“ 恒成立”，不妨设 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，这与题意不符；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，
记 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
又因为 ，即 ，所以 .
【方法技巧与总结】
极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。
【变式训练】
1.已知函数 在 上无极值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 在 上无极值 在 上无变号零点
，故选D.
2.若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】∵ 有两个不同的极值点，
∴ 在 有2个不同的零点，
∴ 在 有2个不同的零点，
∴ ，解得 ．
故选：D.
3.函数 在 上无极值，则m＝______．
【答案】3
【详解】
函数 在 上无极值即导函数 在 上无根．
在 上恒有 ①；
而 ，
当 时，①式解为 或 ；显然 时，①式不成立；
当 时，①式解为 或 ；显然 时，①式不成立；
当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．
故答案为：3．
4.已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 存在两个极小值点 ，求实数 的取值范围.
【答案】
(1)
解：当 时，函数 ，
可得 ，
令 ，可得 ，所以函数 单调递增，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
解：由函数 ，
可得 ，
令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
当 时，可得 ，所以 ，
①当 时， ，此时当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值；
②当 时， ，
又由 在 上单调递增，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
因为当 时，令 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以函数 有两个极小值点，故实数 的取值范围为 .
【典型题型讲解】
考点三：不等式恒成立与存在性问题
【典例例题】
例1．已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值是 ，无极大值.
(2)
(1)
当 时， ， 的定义域为 ，
，则 .
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取得极小值且为 ，无极大值.
(2)
对任意的 恒成立，
则 对任意的 恒成立，
令 ， ，所以 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， ，所以
，则 ，则 .实数a的取值范围为： .
【方法技巧与总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最
值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【变式训练】
1.已知函数 ， .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
定义域为 ，
即
解得
所以 在 单调递增
(2)
对任意 ，不等式 恒成立，即 恒成立，
分离参数得 .
令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 ，
即 ，
故a的取值范围是 .
2．（2021·广东佛山·一模）已知函数 的两个极值点为 ，2，且在 处的切线
方程为 ．(1)求函数 的表达式；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】．(1) (2)
(1)
由 可得 ，
则 ，2是方程 的两根，
所以 ，（*）
因为又因为 处的切线方程为
故 ，
代入（*）式解得 ，
故
(2)
由（1）知： ，
①当 时， 即 恒成立，此时 ，
②当 时，由 即 ，
分离参数 可得： ，
设 ，则 ，
，故 在 上单调递减， 上单调递减， 上单调递增，
故当 时， 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，
③当 时，由 分离参数可得
设 ，则 ，
由②过程知 在 上单调递减，
故 ，
所以 ，
综上所述： 的取值范围为 .
3．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对 、 ，使 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)
(1)
的定义域为 ， ，
设 ，则 ， ，
所以 在 上为增函数，所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在 上为减函数.
综上可得， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)
对 ，使 恒成立，即对 ，
成立.
由（1）知 在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以 ，
为 和 中的较大者，
∵ ， ， ，
又∵ ，得 .
∴ ，即 .
∴在[0，2]上
∴ ，即 ，
解之，得 或 ，
∴对 ，使 恒成立时，a的取值范围为 .
4．（2022·广东佛山·高三期末）已知函数 ，其中 且 .
(1)设 ，过点 作曲线 的切线（斜率存在），求切线的斜率；
(2)证明：当 或 时， .
(1)
， ，而 ，即点 不在曲线C上，
设切点 ，则切线AT的斜率为 ，又 ，于是得 ，即 ，
整理得： ，即 ，有 ，
而 ，因此， ， ，
所以切线的斜率为 .
(2)
当 时， ， ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ，即 ，
因此当 时， ，当且仅当 时取“=”，
则 ，
于是得当 且 时， .
当 时， ， ，
令 ， ，
由 得 ，则 ，即 在 上单调递增，
又 ，即当 时， ，
于是得当 ， 时， ，而 ，因此， ，
从而得当 ， 时 ，
所以当 或 时， .【巩固练习】
一、单选题
1．已知 是函数 的一个极值点，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
∴ ，∴ ，
∴
故选：D
2．已知 ，函数 的极小值为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
，则 在 和 上单调递减，在 上单调递增，所以
，则 ，则 ．
故选：C
3．设 ，若 为函数 的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ，
若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ；
故选：C.
4．函数 ，若 在 上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，
若 时，当 时，可得 ， 在 上单调递减，
此时函数 在 没有最小值，不符合题意；
当 时，令 ，即 ，即 与 的交点，
画出函数 与 的图象，如图所示，
结合图象，可得存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
此时函数 在 上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是 .
故选：A.
5．已知函数 ，a为实数， ，则 在 上的最大值是
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，
令 ，则 或 ，
当 或 时， ，即函数 在 和 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，又 ， ，
故函数 在区间 上的最大值为 ，
故选：A．
6．若函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由函数 ，可得 ，
且 在区间 上存在最小值，
即 在区间 上存在 ，
使得 且 ， ，
设 ，即满足 ，且 ，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：D.
二、多选题
7．已知 ．则下列说法正确的有（ ）
A．函数 有唯一零点 B．函数 的单调递减区间为C．函数 有极大值
D．若关于x的方程 有三个不同的根．则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【详解】
由 得： ，即 ，故函数 有唯一零点
由题可知：
设 ， ，则 ，
由 得： ；由 得； ；
故 在 上单调递增﹐在 上单调递减，
作出 图象，并将 的部分图象关于x轴对称可得 的图象如下：
观察图象可得函数 的单调递减区间为 ， ，B错，
函数 在 时有极大值 ，C对，
方程 有三个不同的根，则实数a的取值范围是 ，D对，
故选：ACD.
8．设函数 的定义域为 ， 是 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． ， B． 是 的极大值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极小值点
【答案】BD
【详解】
对A. 是 的极大值点，并不是最小值点，故A不正确；
对B. 相当于 关于 轴的对称图象，故 应是 的极大值点，故B正确；
对C. 相当于 关于 轴的对称图象，故 应是 的极小值点，跟 没有关系，故C不正
确；
对D. 相当于 先关于 轴的对称，再关于 轴的对称图象.故D正确.
故选：BD.
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 为 的极小值点 D． 仅有两个零点
【答案】ABC
【详解】
由题意，函数 的定义域为 ，
因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
所以 ，解得 ，故选项A正确；
由 ，得 ，所以 ，当时， ，
此时 ，所以 ，所以 在 上单调递增，故选项B正确；
又由 的图象关于直线 对称，所以 在 上单调递减，
所以 为 的极小值点，故选项C正确；
由 在 上单调递增，且 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 没有零点，故选项D不正确．
故选：ABC.
三、解答题
10．已知函数 在 上有两个极值点， ，且 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)
【解析】
(1)
解：∵ ，
∴ ，
∵函数 在 上有两个极值点 ，且
∴由题意知方程 在 上有两不等实根，
设 ，其图像的对称轴为直线 ，故有 ，解得
所以，实数a的取值范围是 .
(2)
证明：由题意知 是方程 的较大的根，故 ，
由于 ，∴ ，
∴ ．
设 ， ， ，
∴ 在 单调递增，
∴ ，即 成立．
∴不等式成立,证毕.
11．设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
【答案】(1)1(2)
(1)
定义域为R， .由题设知 ,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.
所以a的值为1
(2)
由(1)得 .
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单减，在 上
单增，所以 在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；
若 时,则 恒成立，所以 在R上单增，所以 在x=2处不能取得极值，不合题意，舍
去；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单增，在
上单减，所以 在x=2处取得极大值，符合题意；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单增，在
上单减，所以 在x=2处取得极大值，符合题意；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单减，在
上单增，所以 在x=2处取得极大值，符合题意.
综上所述： .即实数a的范围为 .
12．已知函数 ．（注： 是自然对数的底数）(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
(1)
当 时， ，故 ，
故在点 处的切线方程为 ，化简得 ．
(2)
由题意知 有且只有一个根且 有正有负．
构建 ，则
①当 时， 当 时恒成立， 在 上单调递增，
因为 ，
所以 有一个零点，即为 的一个极值点；
②当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
③当 时，当 ；当 ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
故 ，
若 ，则 即 .
当 时， ，
当 时， ,
设 ，故 ，故 在 上为增函数，故 ，
故 ，
故当 时， 有两个零点，此时 有两个极值点．
当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
综上所述： ．
(3)
由题意知，对与任意的 ，使得 恒成立，则 ，又要使 取到最小值，则
．
当 时， ，故 ，所以 的最小值为e；
当 时，当 时， ，
所以 无最小值，即 无最小值；
当 时，由（2）得 只有一个零点 ，即 且
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
此时 ，因 ，所以 代入得
，
令 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，此时 ，
所以 的最小值为 ．
13．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知函数 ， .
（1）若 的最大值是0，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若对于定义域内任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】．（1） ；（2） .
【详解】（1） 的定义域 ， ，
若 ， ， 在定义域内单调递增，无最大值；
若 ， ， ， 单调递增；
， ， 单调递减；
所以 时 取得最大值 ，所以 .
， .
函数 的图象在 处的切线方程 .
（2）原式子恒成立，即 在 恒成立，
设 ， ，设 ， ，
所以 在其定义域内单调递增，且 ， ，
所以 有唯一零点 ，
而且 ，所以 ，
两边同时取对数得 ，
易证明函数 是增函数，所以得 ，所以 ，
所以由 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
于是 的取值范围是 .
14．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数 ，在定义域上有两个极值点
．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证:
【答案】
(1)
解： ，
因为函数 的定义域上有两个极值点 ， ，且 ，
所以方程 在 上有两个根 ， ，且 ，
即 在 上有两个不相等的根 ， ，所以 ，解得 ，
当 时，若 或 ， ， ，所以函数 在 和 ， 上
单调递增，
若 ，所以函数 在 ， 上单调递减，
故函数 在 上有两个极值点 ， ，且 ，
所以，实数 的取值范围是 ；
(2)
证明：由（1）知， ， 是方程 在 上有两个不等的实根，
所以 ，其中 ，
故
，
令 ，其中 ，故 （a） ，
令 ，所以函数 （a）在 上单调递增，
由于 ， （1） ，
所以存在常数 ， ，使得 ，即 ， ，
且当 时， ，所以函数 （a）在 上单调递减，当 时， ，所以函数 （a）在 上单调递增，
所以当 时， ，
又 ， ，
所以 （a） ，即 （a） ，
所以 ．
15．（2022·广东东莞·高三期末）已知 且 ，函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】
解：当 时， ，则 ，
故 ，
时， ，故切点为 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 .
(2)
函数 有两个零点，
方程 在 上有两个根，
方程 在 上有两个根，
函数 与 的图象在 上有两个交点，
设 ，则 ，
时， ； 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， ，当 时， ，当 时， ，作图如下：
由图得 ，即 ，
设 ，则 ，
时， ， 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 时 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
又因为 ，
所以 的解集为
综上所述 .
16．（2022·广东深圳·高三期末）已知定义在 上的函数 ．
(1)求 的单调递增区间；(2)对于 ，若不等式 恒成立，求a的取值范围．
【答案】
(1)
解： ，
①当 时， ，所以， 在 上单调递减，即 无单调递增区间；
②当 时，令 ，则 ，所以， 在 上单调递增，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， 的单调递增区间为 ，
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 无单调递增区间.
(2)
解：由（1）可知，当 时， 有最小值，且最小值为 ，
构造函数 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，故 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
易知不等式 等价于 ，
当 时，须有 成立，令 ，则 ，所以， 在 上单调递增，
又 ，所以， 等价于 ，
下证当 时， ，有不等式 恒成立.
一方面， ， ，
所以， ， ，即 ，
所以， ， ，
所以， ， ，
所以，只需证当 时， ，有不等式 恒成立即可，
另一方面，由 ， ，可得 ，所以， ，
又当 时， ，显然有 ，
所以，当 时， ，显然有不等式 恒成立，
所以，当 时， ，显然不等式 恒成立，
综上所述，实数 的取值范围为 .
17．（2022·广东清远·高三期末）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
【答案】
（1）
因为 ，所以1不是 的零点．
当 ，可变形为 ，令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数．
因为 ， ，得 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且当 时， ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
（2）
证明：由（1）知，当 时， 有两个零点．
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增．
要证 ，即证 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ．
因为 ，所以即证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 ．18．（2022·广东汕尾·高三期末）已知函数 ，a是常数且 ．
(1)求曲线 在点P 处的切线l的方程；并证明：函数 的图象在直线l
的下方；
(2)已知函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】
(1)
由 ，得 ，
，∴切线方程为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
令 ，
，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，且 时， ，即 ，即函数 的图象在直线l的下
方；
(2)
，
，
当 时， 在 上单调递减，
所以函数 在 至多有一个零点，故 不合题意；
当 时， ，
令 ，得 或 （舍去），∴ 时， 在 上单调递减，
时， 在 上单调递增，
∴ 为函数 唯一极值点，且为极小值点，
∴ ，
∴函数 在定义域 上有两个零点必须满足 ，
∴ ，
下面证明 时，函数 有两个零点，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
故函数 在 存在一个零点，
由（1）可知， 时， 恒成立，即 恒成立（当且仅当 时等号成立），
∴ （当且仅当 时等号成立），
∴ ，
∴ ，
故函数 在 存在一个零点，综上所述： 时，函数 在其定义域上有两个零点.
