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专题 08 三角函数图像与性质
【练基础】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数 的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式将函数化简成 形式，即可求出函数的最大值.
【详解】根据题意 ，
所以 ，故 ，
所以函数 的最大值为3.
故选：B.
2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）函数 在 上有唯一的极大值，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知函数 在 上有唯一极大值，进而得 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，所以函数 在 上有唯一极大值，
所以， ，解得 .
故选：C
方法二：令 ， ，则 ， ，
所以，函数 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以， 解得 .
故选：C
3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的图像与直线 的两个相邻交点的距离为
B．
C．将 的图像向右平移 个单位得到的图像关于y轴对称
D． 在区间 上单调递减，则a的最大值为
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简为
对于A项，根据相邻两个最大值之间的距离为一个周期解决.
对于B项，根据对称中心与对称轴来解决.
对于C项，平移后验证函数是否为偶函数.
对于D项，根据复合函数的单调性求解.【详解】
，
对于A项，因为 ，所以 的图象与直线 的两个相邻交点的距离为一个最小正周期，即
，所以A正确；
对于B项，因为 ，并且 ，
而把 代入 ，
所以 是函数 的对称中心,故 ；
因为 ，又因为
而把 代入 ，
所以 是函数 的对称轴，所以 ，
所以B正确.
对于C项，将 的图像向右平移 个单位得到 ，设
所以 为偶函数，图象关于 轴对称,所以C正确.
对于D项，设 ，
因为 ，所以又因为内层函数 在 上单调递增，根据复合函数的单调性法则同增异减，要想满足函数
在 的单调递减
则函数 在 上单调递减，所以满足
，解得：
所以 ，故D错误.
故选：D
4．（2023·山西·统考一模）定义在 上的函数 满足在区间 内恰有两个零点
和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，∴ ，∴ ，对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故D正确．
故选：D．
5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）函数 在 上恰有两个极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ， ，求出 的取值，即可得到函数在 轴右侧的第一、二、三个极大值点，从而
得到不等式组，解得即可.
【详解】解：令 ， ，则 ， ，又 ，
解得 ， ，
所以函数在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，第三个极大值点为 ，
因为 在 上恰有两个极大值点，
于是 ，解得 ，即 .故选：C
6．（2023·福建·统考一模）函数 恒有 ，且 在 上单调递增，
则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】由题意可得 时 取得最大值，可得 .根据单调性可得 ，即 .
当 时，根据 可求 的值；若 ，根据单调性可知不满足题意，从而可求
解.
【详解】易知 ，因为恒有 ，所以当 时 取得最大值，
所以 ，得 .
因为 在 上单调递增，所以 ,即 ，得 .
当 时，
因为 ，所以 .
因为 在 上单调递增，
所以 ,得 .
所以 ，且 ， ，解得 ， .
故 .当 ， ，
因为 ，所以 ，
故 在 上单调递减，不满足题意.
故选:B.
7．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，若函数
在区间 内恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求 ，再根据 ,求 的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求 的取值范围.
【详解】由条件可知 ， ，所以 ，
，当 时， ，
若函数在区间 上恰有2个零点，则 ，
解得 .
故选：D
8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知函数 ，其图象相邻两条对称轴的距离为，且对任意 ，都有 ，则在下列区间中， 为单调递减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过 的图像知识，先求出函数 的解析式，再求出其单调递减区间即可对选项一
一验证.
【详解】由 的图像可知，相邻两条对称轴的距离为最小正周期的一半，
，即 ，
，即 ，
，
对任意 ，都有 ，
当 时， 取最小值，
，
，
，
，
，
令 ，
得 ，的单调递减区间为 ，
对于A：区间 内， 上单调递增， 上单调递减，故A错误；
对于B：区间 内， 上单调递增， 上单调递减，故B错误；
对于C：区间 上单调递减，故C正确；
对于D：区间 上单调递增，故D错误；
综上所述选项C正确，
故选：C.
二、多选题
9．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数 ，将函数 的图象向
右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，则（ ）
A． 的周期为
B． 为奇函数
C． 的图象关于点 对称
D．当 时， 的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换得到 ，再由函数图象的变换得到 ，结合余弦函数的
图象和性质，逐一判断各个选项即可求解.【详解】函数 ，
对于A选项：函数 的最小正周期为 ，所以A选项正确；
对于B选项：函数 的定义域为 ， ，
则函数 是 上的偶函数，所以B选项错误；
由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到： ，
再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变）得到： ，
即函数 ，
对于C选项：令 （ ），解得： （ ），
当 时， ，此时 ，
即函数 的图象关于点 对称，所以C选项正确；
对于D选项：当 时， ，
由余弦函数的图象和性质得： ，即 ，
所以D选项错误；
故选：AC.
10．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 （其中ω＞0，0＜φ＜π）的图像
与x轴相邻两个交点之间的最小距离为 ，当 时，f(x)的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为 ，则（ ）
A．
B．f(x)在区间 内单调递增
C．f(x)的图像关于点 对称
D．f(x)的图像关于直线 对称
【答案】AB
【分析】由题意求出 的解析式，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】令f(x)=0，则 ，所以 ，k∈Z或 ，k∈Z，
解得 ，k∈Z或 ，k∈Z，
所以f(x)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为 ，
所以 ，解得ω=2，所以 ，所以f(x)的周期 ，
当 时， ，令f(x)=0，即 ，
又0＜φ＜π，所以 或 ，
所以 或 ，由 得 ，
所以 ， ，A项正确；
由 ，得 ，所以f(x)在区间 内单调递增，B项正确；，所以f(x)的图像不关于点 对称，C项错误；
，所以f(x)的图像不关于直线 对称，D项错误．
故选：AB．
11．（2023·重庆·统考一模）已知 （其中 ， ）的部分图像如图所示，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 在区间 单调递减
D．若 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】由三角函数图像结合周期性及对称性求参,确定函数解析式再分别判断选项即可
【详解】由图像可知 ,又因为 ,所以 ,即得 ,故 错误;
因为图像过点 ,且 ,所以 ,
由五点法作图可知， ,得 ,故 正确;
当 时,则 ,则 在区间 单调递减,故 正确;当 ,
又因为 ,所以 ,所以 ,故 正确;
故选:
12．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
B． 在 上单调递增
C． 在 内有2个零点
D． 在 上的最大值为
【答案】BC
【分析】将函数化简得 ，利用三角函数的性质即可判断各个选项的正误.
【详解】 .
对A， 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到，故A错；
对B， 在 上， ，函数 单调递增，故B对；
对C，令 ，可得 ，
当 时 ，故C对；对D， ，所以 ，
此时 ，故D错；
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数 （ ， ）在区间 内单调，在区
间 内不单调，则ω的值为______．
【答案】2
【分析】由函数的单调性列不等式组，解出ω的范围，即可得到答案.
【详解】依题意得 ，即 ．
因为当 时， ，
所以 ( )，则 ，( )，解得： ( ).
令k＝0，则1≤ω≤2，而 ，故 ，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．
故答案为：2
14．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数 ,若函数 的图象关于点 中心对称,
且关于直线 轴对称,则 的最小值为______．
【答案】3
【分析】图象关于点 中心对称,且关于直线 轴对称,即 与 之间相差 ,列出等式,根据范
围求解即可.【详解】解:由题知 的图象关于点 中心对称,
且关于直线 轴对称,
则 与 之间的距离为 ,
即 , ,
即 , ,
因为 ,
所以当 时, 的最小值为3.
故答案为:3
15．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）函数 的图象如图，则
的值为______．
【答案】
【分析】根据图象可确定 最小正周期 ，由此可得 ，由此可求得结
果.
【详解】由图象可知： 最小正周期 ， ，
.
故答案为： .
16．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知曲线 相邻对称轴之间的距离为，且函数 在 处取得最大值，则下列结论正确的序号是______.
①当 时， 的取值范围是 ；
②将 的图象向左平移 个单位后所对应的函数为偶函数；
③函数 的最小正周期为 ；
④函数 在区间 上有且仅有一个零点.
【答案】①③
【分析】根据题意确定函数周期，求得 ，先讨论 时情况，对于①，由函数 在 处取得最大值，
可得 ，结合辅助角公式可得 ，解不等式即可得 的取值范围；对于②，
取特殊值 ，求得一个值 ，代入验证，可判断②；对于③，根据函数 的最小正周期即可判
断；对于④，根据题意可得当 时， ，可得 ，此时 有无数
个零点，即可判断④.
【详解】由题意得
其中 ，
由函数 相邻对称轴之间的距离为 ，可得 ，
先讨论 时情况，则 ，
对于①，由函数 在 处取得最大值，则 ，
解得 ， ，又 ，则 ，故 ，
即 ，
解得 ，故①正确；
对于②，不妨令 ，则 ，
由函数 在 处取得最大值，则 ，可解得一个 ，那么将 的图象向左平移
个单位后得到的函数为 ，该函数为奇函数，故②错误；
对于③，由 的最小正周期为 ，则 的最小正周期为 ，则 也是 的周期，
则函数 的最小正周期为 ,故③正确；
对于④，函数 在 处取得最大值，且最小正周期为 ，
故当 时， ，则 ，此时 有无数个零点，
则函数 在区间 上有无数个零点，
则函数 在区间 上有无数个零点，故④错误；
同理讨论 时情况，①③正确，
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：此题综合考查正弦型函数性质，解答的关键是利用辅助角公式化简，并能结合周期确定参
数 的值，在判断④时，关键点在于要明确 时， ，则有 ，从而判断函
数零点个数.
四、解答题
17．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数 的一个零点为 ．
(1)求A和函数 的最小正周期；(2)当 时，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）解方程 即可求 ，然后把函数 降幂，辅助角公式后再求周期.
（2）若 恒成立，即求 .
【详解】（1） 的一个零点为
，即 ，
所以函数 的最小正周期为 .
（2）
当 时有最大值，即 .
若 恒成立，即 ,
所以 ，故 的取值范围为 .
18．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期及对称轴方程；
(2) 时， 的最大值为 ，最小值为 ，求 ， 的值.【答案】(1)最小正周期为 ，对称轴方程为 ，
(2) ， 或 ，
【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴
方程；
（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对 和 两种情况进行讨论即可.
【详解】（1）
∴ ，则 的最小正周期为 ，
∵ 的对称轴为直线 ， ，
∴由 ， ，解得 ， ，
∴ 的对称轴方程为 ， .
（2） ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，
∴由 ，解得 ，
当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，
∴由 ，解得 ，
综上所述， ， 或 ， .
19．（2023·上海静安·统考一模）平面向量 ，函数 .
(1)求函数y= 的最小正周期；
(2)若 ，求y= 的值域；
(3)在△ 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ，求△ 的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到 ，然后求最小正周期即可；
（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到 ，然后利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1） ，所以 ，
最小正周期为 .
（2）设 ， ， ，
在 上严格增，在 上严格减， ， ， ，所以 = 的值域
为 ．
（3） ，即 ，
因为 为三角形内角，所以 ．
，即 ，解得 .
所以△ 的面积为 .
20．（2022·重庆江北·校考一模）已知向量 ，且 ，
(1)求函数 在 上的值域；
(2)已知 的三个内角分别为 ，其对应边分别为 ，若有 ， ，求 面积的
最大值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据向量的数量积为 求得 解析式进而求得值域.
（2）利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.
【详解】（1）由已知 ， ，所以
所以 ，又因为
所以 ，所以 ，即
在 上的值域为
（2）由（1）知： 所以
，又
所以 ，所以 ，又因为 由余弦定理可得：
，所以
所以 ，当且仅当 时取“=”
故 面积的最大值为
21．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题知 ，进而根据题意得 在 上单调递增，且
，进而得 或 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解： ，
因为 ，所以
因为函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，且 ，即 .
因为 ，
所以，函数 在 上单调递增等价于 或 ，
所以，解不等式得 或 ，
所以， 的取值范围是 .
故选：D
【提能力】
一、单选题
21．（2023·全国·模拟预测）已知 .若存在 ，使不等式
有解，则实数m的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求
出最值，解不等式即可.
【详解】
，
若存在 ，使不等式 有解，
则问题转化为在 上
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得： 或
即实数m的取值范围为： ，
故选：B.
23．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ，关于函数 有如下四个命题：
① 的最小正周期是 ；
②若 在 处取得极值，则 ；
③把 的图象向右平行移动 个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称；
④ 在区间 上单调递减，则 的最小值为 ．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题可得 ，根据余弦函数的图象和性质可判断①②，根据图象变换规律及三角函数的性
质可判断③，根据函数的单调性可得 ，然后根据对勾函数的性质可判断④.
【详解】因为 ，
所以 的最小正周期是 ，故①正确；
若 在 处取得极值，则 ，即 ，又 ，故 ，故②错误；
把 的图象向右平行移动 个单位长度，可得 ，
因为 ，故函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故③正确；
由 ，可得 ，又 在区间 上单调递减，
则 ，即 ，根据对勾函数的性质可知 ，故④正确；
所以真命题的个数为3.
故选：C.24．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到如图
所示的奇函数 的图象，且 的图象关于直线 对称，则下列选项不正确的是（ ）
A． 在区间 上为增函数 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数平移变换原则可知 ；根据图象、 的对称轴和对称中心可确定
最小正周期 ，从而得到 ；由 为奇函数可知 ，由此可得 ，从而确定 的解析式；利用
代入检验法可确定A正确；根据特殊角三角函数值可知B正确；结合 的单调性可判断出CD正误.
【详解】由题意知： ，
由图象可知： ，则 与 是相邻的对称轴和对称中心，
，即 ，
为奇函数， ，
解得： ，又 ， ， ；对于A，当 时， ，则 在 上为增函数，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C， ， ，
在 上单调递减， ， ，C正确；
对于D， ， ，
在 上单调递减， ，
， ，即 ，D错误.
故选：D.
25．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的一条对称轴为
B． 的一个对称中心为
C． 在 上的值域为
D． 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】C
【分析】化简可得 ，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，
求出平移后的解析式可判断D的正误.【详解】 ，
因为 ，故 不是对称轴，故A错误.
， 不是 的一个对称中心，
故B错误.
当 时， ，故 ，
所以 ，即 在 上的值域为 ，
故C正确.
的图象向右平移 后对应的解析式为 ，
当 时，此时函数对应的函数值为 ，而 ，
故 与 不是同一函数，故D错误.
故选：C.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，且 在
上恰有50个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 得出 ，再由余弦函数的性质列出不等式组，进而得出 的取值范围.
【详解】因为函数 ， ，所以 ，， .
所以 ，所以 的取值范围是 .
故选：C.
27．（2022·四川遂宁·统考一模）函数 ， ，满足 ，若 ，在
有两个实根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对称性求得 的解析式，方法1：换元后画图研究交点个数可得m的范围；
方法2：直接画 的图象研究交点个数可得m的范围.
【详解】∵ ，
∴ 关于 对称，
∴ ， ，解得： ， ，
又∵ ， ∴ ，
∴
方法1： ， ，即： ， ，
设 ，
则 在 有两个实根，即： 在 有两个交点，
如图所示，
当 时， ，
∴ ，即： ，
故选：A.
方法2：∵ 在 有两个实根，
∴ 在 有两个交点，
如图所示，
当 时，
∴ ，即：即： ，
故选：A.28．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知 ，函数 恰有3个零点，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.
【详解】设 ， ，
求导
由反比例函数及对数函数性质知 在 上单调递增，
且 ， ，故 在 内必有唯一零点 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
令 ，解得 或2，可作出函数 的图像，
令 ，即 ，在 之间解得 或 或 ，
作出图像如下图
数形结合可得： ，故选：A
二、多选题
29．（2023·广东肇庆·统考二模）函数 的部分图像如图所示，
，则下列选项中正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是奇函数
C． 的单调递增区间为
D． ，其中 为 的导函数
【答案】AD
【分析】根据题意可求得函数的周期，即可判断A，进而可求得 ，再根据待定系数法可求得 ，再根据三角
函数的奇偶性可判断B，根据余弦函数的单调性即可判断C，求导计算即可判断D.
【详解】解：由题意可得 ，所以 ，故A正确；
则 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
则 为偶函数，故B错误；
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，故C错误；
，
则 ，故D正确.
故选：AD.
30．（2023·安徽淮南·统考一模）已知函数 图像过点 ，且存在 ，
当 时， ，则（ ）
A． 的周期为
B． 图像的一条对称轴方程为
C． 在区间 上单调递减D． 在区间 上有且仅有4个极大值点
【答案】ACD
【分析】利用图像上一点和周期性求出 ，再利用正弦函数的图像和性质判断各选项即可.
【详解】因为 图像过点 且 ，所以 ，解得 ，
因为存在 ，当 时， ，所以 ，即 ， ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
选项A： 的周期 ，正确；
选项B： 图像的对称轴为 ，解得 ， ，令 ， 无整数解，B错
误；
选项C：当 时， ，所以由正弦函数的图像和性质可得 在区间 上单调递
减，C正确；
选项D：当 时， ，所以由正弦函数的图像和性质可得 在区间 有4个极大
值点，3个极小值点，D正确；
故选：ACD
31．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数 ，其中 、 .则
下列说法中正确的有（ ）.
A． 的最小值为
B． 的最大值为C．方程 在 上有三个解
D． 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】根据题意，可得 ，由 ，求解出 的取值范围，
根据对应范围内的函数解析式， 即可求出 的最值，进而判断A、B选项；令 ，分
和 两种情况解方程，即可判断C选项；取 ，求出此时函数 的单调区间，即
可判断函数在 上的单调性，从而判断在 上的单调性，进而判断D选项.
【详解】 ，
即 ，其中 ， ， .
由 ，即 ， ，
所以当 时， ，
即 ， ，所以当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ；
当 时， ，
即 ， ，
所以当 ，即 时， ，
由于 ，所以 无最小值.
综上所述， 的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确；
由 ，所以当 时， ，
即 ，
即 或 ， ，
所以 或 ， .
当 时， ，
即 ，
即 或 ， ，
所以 ， ，
综上所述，方程 在 上有三个解，故C正确；取 时， ，
令 ，即 ；
令 ，即 ；
由于 ，所以当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，即函数
在 上有增有减，则 在 上有增有减，故D错误.
故选：BC.
32．（2022·安徽黄山·统考一模）已知函数 ,现将函数 的图象沿x抽向左平移
单位后,得到一个偶函数的图象,则（ ）
A．函数 的周期为
B．函数 图象的一个对称中心为
C．当 时,函数 的最小值为
D．函数 的极值点为
【答案】AC
【分析】运用半角公式,将 化为 ,再向向左平移 单位,写出解析式,根据其为偶函数且有 ,
可得 的值,代入 中可得解析式,求出 周期,对称中心,根据换元法求最值,再求除极值点即求对称轴处即可.
【详解】解:由题知将 的图象沿x抽向左平移 单位后为: ,
因为 为偶函数,所以把 ,因为 ,所以解得 ,
故 ;所以 周期为 ,故选项A正确;
令 ,解得 ,因为
故 为 的一个对称中心,故选项B错误;
因为 ,令 ,则 在 单调递减,所以 ,故选项C
正确;
令 ,可得 ,极值点处即为对称轴处,故 极值点为 ,故选项D错
误.
故选:AC
三、填空题
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，将 的图
象向左平移 个单位得到 的图象，若不等式 在 ，上恒成立，则 的取
值范围是 __．【答案】
【分析】先根据图象的变换规律求出 的解析式，进而求出 在 上的值域 ，再利用换元法，结合
函数性质，求出最值解决问题．
【详解】解：依题意有 ，
，
所以 ，所以 ，
由图知，函数 的最小正周期 满足： ，
所以 ，则 ，令 得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
故 ，所以 ，
令 ，
原不等式即化为 在 ， 上恒成立，令 ，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：
，解得 ，
故 的范围是 ．
故答案为： ．
34．（2022秋·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习）函数 的图象为C，以下结论中正确的是
____写出所有正确结论的编号）.
①图象C关于直线 对称；
②图象C关于点 对称；
③函数 在区间 内是增函数；
④由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C.
【答案】①②③
【分析】对于①，通过计算 可得答案；
对于②，通过计算 可得答案；
对于③，通过 的范围，求出 的范围，通过 单调性可判断；
对于④，直接通过平移的规则可得答案；
【详解】对于①， ，故图象C关于直线 对称，①正确；
对于②， ，故图象C关于点 对称，②正确；
对于③， ，则 ， 在 上单调递增，故函数 在区间 内是
增函数，③正确；
对于④，由 的图象向右平移 个单位长度得 ，不为 ，④错误；故答案为：①②③.
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程 在 上有三个
不同的实根，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】结合函数 的奇偶性，化简后画出函数在 上的图象，数形结合求出实数 的取值范围.
【详解】当 时， ，故 为偶函数，
当 时， ， 图象可由 向右平移 个单位得到.根据偶函数图
象关于 轴对称画出 在 上的图象如图所示，
要想保证方程 在 上有三个不同的实根，则 ，
故答案为：
36．（2022秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数 的
部分图像如图所示，则满足 的最小正整数x的值为_______．【答案】1
【分析】先根据图像求得 ，再解 求得最小正整数x．
【详解】解：由题意得函数f（x）的最小正周期 ，
解得 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
解得 ．
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
由 ，可得 ，
则 或 ，
即 或 ．
① 由 ，
可得 ，
解得 ，
此时正整数x的最小值为2；
② 由 ，
可得 ，
解得 ，
此时正整数x的最小值为1．
综上所述，满足条件的正整数x的最小值为1．
故答案为：1．
四、解答题
37．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：① ；② ；③
.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ，
所对的边分别是 ， ， ，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求
解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；
(2)根据正弦定理可得 ， ，从而 ，再根据 ，即可得到
，利用三角函数的性质即可求取值范围.
【详解】（1）选择条件① ：
，
所以 ，于是 ，又 ，所以 .
选择条件② ：
因为 ，
解得 ，又 ，所以 .
选择条件③ ：
则 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
整理得： ，
由 得： ，又 ，所以 .（2）由（1）知， ， 为锐角三角形，所以 ，
由正弦定理 ，得 ， ，
于是，
化简得， ，
因为 ,所以 ，所以 ，
，
故 的取值范围为 .
38．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数 ， ，
与 均在区间 上单调递增，若 的最大值为
(1)求 的值
(2)在不等腰 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
【分析】（1）把 降幂后，分别求出 的增区间，再求出得公共增区间，然后由题意可得 ；
（2）由（1）代入后化简，并由正弦定理、余弦定理化角为边，整理可证．
【详解】（1） ，
， ， ， ，的增区间是 ， ，
，
，则 ，
因此 的增区间是 ， ，
所以它们公共增区间是 ，每个区间的长度为 ，
由题意 ，∴ ；
（2）由（1） ， ，
已知式为 ， ，
由正弦定理、余弦定理得 ，整理得 ，
三角形是不等腰的三角形，即 ，
∴ ，即 ．
39．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知函数
(1)求函数 的对称中心及 在 上的单调递增区间；
(2)在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c， ， ，求 的值．
【答案】(1)对称中心为 ；单调递增区间为 ，
(2)【分析】（1）由三角恒等变换得 ，再根据整体代换求解即可；
（2）结合（1）得 ，进而得 ，再根据余弦定理和已知条件得 ， ，进而结合正
弦定理求解即可.
【详解】（1）解：函数
．
由 ， ，解得 ，
故所求对称中心为 ．
由 ， ，解得 ，
令 ，有 ，令 ，有
又 ，
所以所求的单调递增区间为 ，
（2）解：因为 ，所以 ，即
又在 中 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理知， ，
又所以 ，解得 ， ，
由正弦定理知， ，
所以
40．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知函数 ，再从条件①，条
件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使 的解析式唯一确定.
(1)求 的解析式；
(2)设函数 ，若 ，且 ，求 的值.
条件①： ；条件②： 图象的一条对称轴为 ；条件③：若 ，且 的
最小值为 .注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据条件结合三角函数图象性质即可求解;(2)利用三角恒等变换和配凑角即可求解.
【详解】（1）选择条件①②：
由条件① ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
由条件②得 ，解得 ，
所以 的解析式不唯一，不合题意；
选择条件①③：由条件① ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
由条件③得 ，得 ，所以 ，所以 .
选择条件②③：
由条件③得 ，得 ，所以 ，
所以 ，
又 图象的一条对称轴为 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2）由题意得
，
因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
若 ，则 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
.41．（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数 ，再利用导数求函数的
值域；
（2）首先由方程得 ，再利用三角函数的对称性，得 是等差数列，再求和.
【详解】（1）
令 ，
则 ， ，
，得 ，
当 ， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增。
所以 ，
所以 ，
的值域是（2）由已知得 ，
解得 或 （舍去），
由 得函数 图象在区间
且确保 成立的，
对称轴为 在 内有11个根，
数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列．
所以 .
42．（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度，
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 ，求 在区间 上的所有最大值点．
【答案】(1) ;
(2) 与 .
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式 ；
（2）结合函数特点，分 与 两种情况下进行求解.
（1）的图象向右平移 个单位长度，得到 ,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2）
，
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为2；
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求 在区间 上的所有最大值点有 与 .
