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微重点 2 函数的嵌套与旋转、对称问题
函数的嵌套与旋转、对称问题在高考中经常出现，主要与函数的性质、函数的零点综合，
考查判断函数的零点、方程的根的个数、求参数问题，以及求函数的函数值、值域等，难度
较大，主要以选择、填空的形式出现．
考点一 嵌套函数中的零点问题
考向1 函数的零点个数问题
例1 已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(f(x))－的零点个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 令u＝f(x)，令g(x)＝0，
则f(u)－＝0，
当u≥0时，则f(u)＝ln(u＋1)，
所以ln(u＋1)＝，
所以u＝－1.
当u<0时，f(u)＝－ueu，
则f′(u)＝－(u＋1)eu，
当u<－1时，f′(u)>0；
当－1>，
所以直线u＝－1与函数u＝f(x)的图象只有一个交点，因此，函数g(x)只有一个零点．
考向2 求参数的取值范围
例2 (2022·安康质检)已知函数f(x)＝若函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点，则m的取值
范围是( )
A. B.
C. D.答案 D
解析 设t＝f(x)，则y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函数f(x)的大致图象，如图所示，
则函数y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6个零点等价于g(t)＝0在[－3,1)上有两个不同的实数根，
则
解得20 时，f(x)＝，f′(x)＝，
当00，f(x)单调递增，当 x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
且f(x) ＝f(1)＝1；
max
当x<0时，f(x)＝＝＋，
由此作出函数f(x)＝的大致图象，如图所示，
方程[f(x)]2－af(x)＝0(a∈R)，
即f(x)＝0或f(x)＝a，
当f(x)＝0 时，得x＝－2或x＝，
故要使方程[f(x)]2－af(x)＝0(a∈R)有5个不相等的实数根，
需f(x)＝a有三个根，即f(x)的图象与y＝a有三个交点，
由图象可知00时，由log x＝0，得x＝1，
3
由f(x)＝1，可得2x＋4＝1或log x＝1，
3
∴x＝－或x＝3，
∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－3，，－，3，∴所有零点之和为－3＋－＋3＝－.
考点二 函数的旋转
例3 (2022·青岛模拟)将函数y＝－2(x∈[－3,3])的图象绕点(－3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)得
到曲线C，对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为(
)
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 由y＝－2(x∈[－3,3])，
得x2＋(y＋2)2＝13(x∈[－3,3])，
原函数的图象是以(0，－2)为圆心，以为半径的圆的部分，如图，
设过(－3,0)与圆x2＋(y＋2)2＝13相切的直线的斜率为k，倾斜角为β，
则直线方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.
由＝，
解得k＝，则tan β＝.
要使对于每一个旋转角α，曲线C都是一个函数的图象，
则当α最大为θ时，函数在(－3,0)处的切线为x＝－3，即β＋θ＝，
则tan θ＝tan＝＝.
规律方法 函数的旋转，要使旋转后需满足函数的定义，则每个自变量，都有唯一的函数值
与之对应．
跟踪演练2 函数y＝f(x)定义在R上，已知y＝f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，则关于方
程f(x)＝x的根，下列说法正确的是( )
A．没有实根
B．有且仅有一个实根
C．有两个实根
D．有两个以上的实根答案 B
解析 ∵函数y＝f(x)定义在R上，
y＝f(x)的图象绕原点旋转90°后不变，
∴f(x)与其反函数是同一个函数，
∴f(x)关于y＝x对称，原点(0,0)是它的对称点，
当f(x)＝x时，2y＝x，y＝x，
解得x＝y＝0，是唯一解．
∴方程f(x)＝x有且仅有一个实数根．
考点三 函数的对称问题
例4 已知函数f(x)＝ax－ex与函数g(x)＝xln x＋1的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则
实数a的取值范围为( )
A．(e－1，＋∞) B.
C. D．(－∞，e－1)
答案 A
解析 由已知可得，
方程f(x)＝－g(x)在(0，＋∞)上有两解，
即a＝－ln x－在(0，＋∞)上有两解．
设h(x)＝－ln x－，
则h′(x)＝－＋＝，
令h′(x)＝0，得x＝1，
∴当01时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
∴当x＝1时，h(x)取得最小值h(1)＝e－1，
∵x→0时，h(x)→＋∞；x→＋∞时，h(x)→＋∞，
∴实数a的取值范围是(e－1，＋∞)．
规律方法 注意区分函数图象关于点对称和轴对称、函数本身的对称性和两函数的对称性，
会在函数解析式中寻找对称性．
跟踪演练3 (2022·山东联考)函数f(x)＝1＋sin πx－xsin πx在区间上的所有零点之和为( )
A．0 B．3 C．6 D．12
答案 C
解析 函数f(x)＝1＋sin πx－xsin πx的零点就是函数y＝sin πx与y＝的图象公共点的横坐标．
如图，因为函数y＝sin πx与y＝的图象均关于点(1,0)成中心对称，且函数y＝sin πx与y＝的
图象在区间上共有6个公共点，它们关于点(1,0)对称，所以函数f(x)在区间上共有6个零点，它们的和为3×2＝6.
专题强化练
1．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，
f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x ，则称点(x ，f(x))为函数y＝f(x)的“拐
0 0 0
点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
请你根据这一发现判断函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 依题意，得f′(x)＝x2－x＋3，所以f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，得x＝，
又f ＝1，故函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.
2．(2022·山东省实验中学检测)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 令t＝f(x)＋1＝
①当t>0时，f(t)＝ln t－，f′(t)＝＋>0，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－>0，由零点存在定理可知，存在t∈(1,2)，使得f(t)＝0；
1 1
②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t＝－2，t＝0.
2 3
作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t，t＝－2，t＝0的图象如图所示，
1
由图象可知，直线t＝t 与函数t＝f(x)＋1的图象有2个交点；
1
直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有2个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只
有1个交点．
综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.3．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝2对称，则实数a的值为( )
A．－15 B．8 C．－8 D．4
答案 C
解析 由已知可得，±1是f(x)的两个零点，因为函数图象关于直线x＝2对称，
因此3和5也是f(x)的零点，即3和5是函数y＝x2＋ax＋b的零点，
所以3＋5＝－a，解得a＝－8.
4．将函数f(x)＝ex(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，π])得到曲线C，若曲
线C仍然是一个函数的图象，则θ的取值不可能为( )
A. B. C. D．π
答案 A
解析 要使曲线C仍然是一个函数的图象，则需满足在旋转过程中，曲线 C的任意切线的
倾斜角小于等于，由f(x)＝ex(x≥0)，
则f′(x)＝ex∈[1，＋∞)，当且仅当x＝0时，f′(x)取得最小值，即在x＝0处的切线的斜率
最小，此时倾斜角为，故θ∈.
5．(2022·安阳模拟)已知函数f(x)＝|2|x|－2|－1，关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋n＝0有7个不同
的实数解，则实数m，n满足( )
A．m>0且n>0
B．m<0且n>0
C．00，h＝1－<0，
由零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有解，故C可以是g(f(x))；
对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解，所以方程有解，故D可以是g(f(x))．
7．(2022·青岛质检)对于函数f(x)，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f(x)为“倒戈
函数”，设函数f(x)＝3x＋sin x－m＋1(m∈R)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m
的取值范围是______________．
答案 2≤m≤
解析 因为函数f(x)＝3x＋sin x－m＋1(m∈R)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
所以存在x∈[－1,1]，
0
使f(－x)＝－f(x)，
0 0
即 －sin x＋m－1＝ ＋sin(－x)－m＋1，
0 0
即2m－2＝ ，
令t＝ ，则t∈，
所以2m－2＝t＋≥2，
当且仅当t＝1，即x＝0时取等号，
0
解得m≥2，
当t＝或t＝3时，(2m－2) ＝3＋＝，
max
解得m≤.所以2≤m≤.
8．(2022·安徽师大附中联考)已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋a－1＝0仅有一
个实数解，则实数a的取值范围为________．
答案 1－e＜a≤1或a＝2解析 由题意得，函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
对函数f(x)求导得f′(x)＝，
令f′(x)>0，可得x>e；
令f′(x)<0，可得0
