文档内容
本溪高中 2023-2024 学年度高考适应性测试（一）
数学参考答案
1．B
【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦定理求
，最后根据二倍角公式求
【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正四面体，碳原子是正四面体的中心，
如图，连结 并延长交平面 于点 ， 平面 ,
设两个氢原子距离为 ，则 ， ，
设 ， 中， ，得 ，
则 中，
.
故选：B
2．C
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出 和 在 上的图象,根据交点个数列出不等式求出 的
范围.
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【详解】
，
是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出 的图象如图所示,
在 上有且仅有三个零点，
和 的图象在 上只有三个交点，
结合图象可得
，解得 ，
即 的范围是 ，故选C.
【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的
单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点
函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.
3．B
【分析】将 转化为 、 转化为 ， 转化为 ，作出 的
图像，根据 ，可得 .
【详解】构造函数 （ ）， ，
函数 在 上单调递减， ，
答案第2页，共2页可转化为 ， 可转化为 ，
可转化为 ，
下面比较 的大小关系，
显然： ，
，
设 ，由 和 的图像可知：
当 时， ，而 ，所以 ，
所以 ，即 .
,
设 ， 和 的图像如图所示：
因为 ，所以 ，使得 ，
所以当 时， ，而 ，所以 ，
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
综上： ,
则 分别函数 与直线 的交点横坐标，
如图所示：
由图可知： .
故选：B
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上
看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到
化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常
必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用
这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．D
【分析】建立空间坐标系，运用空间向量知识求解出点 的轨迹方程，再运用三棱锥体积、线面角等相关知识进
行选项判定.
【详解】建系如图， 为等腰直角三角形，
答案第4页，共2页在 所在圆上，设 ，
，
，
则M的轨迹为圆 ，
是以OA为直径在xoy面上的圆.
又 随着M运动，H轨迹是以OC为直径的圆，故①正确
②由图可得，B到面COH的距离为1， ，
故②正确；
③设 ，则 ， ，
，当 时等号成立，
即当H运动到点C时， ，故③正确；
④由①知H在以OC为直径的圆上，且该圆所在的平面与平面PAB垂直，由对称性，只考虑C在上半圆，
如图，
过H作 ，过B作 ，
则BH与平面PAB所成的角为 ，又 ，
，
故④错误.
综上所述，正确的序号为①②③
故选：D
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能够建立空间坐标系，用空间向量知识进行求解，具有较强的综合能力.
5．B
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【解析】点代入椭圆方程，点到准线距离和 ，解得 ，由 ，得 ，
联立直线与椭圆方程得到 ，联立消去 即可求出
【详解】解：由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 ，
设 ： ,设
因为 ，所以
由 得
则 结合 ，联立消去 解得
故选：B.
【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：
①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；
②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
6．D
【分析】将原函数零点看做函数 与函数 的交点，根据单调性和零点存在定理求
解.
【详解】令 ， ，其中 是奇函数， 是二次函数，也是偶函数，
令 则 是偶数， 共有3个零点，
当 时， ， ， 时， ；根据对称性当 时， ，
答案第6页，共2页时， ；
由条件： ，
，令 ，则有
，显然 是偶函数，当 时是增函数，
当 时， ， 单调递增，当 时， 单调递减，再根据对称性，
大致图像如下图：
原函数 ，等价于求 与 的交点的个数，
有2个零点： ，当 时， ，无交点；
当 时， ， ，存在一个交点，
当 时， ，
存在一个交点，
当x趋于 时，由于 ，并且 ， 的增长速度明显大于 ，必然存在
一个交点，所以有3个交点；
故选：D.
7．A
【分析】将问题转化 有且只有一个负整数解，构造函数 与 ，利用导数法求函
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司数 的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.
【详解】已知函数 ，则
有且只有一个负整数解.
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
当 时， 取得最小值为 .
设 ，则 恒过点
在同一坐标系中分别作出 和 的图象，如图所示
显然 ，依题意得 且 即
且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：将问题转化为 有且只有一个负整数解，构造函数
与 ，利用导数法求函数 的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.
8．B
【分析】由题目条件可先求出 ，再根据向量模的不等式求出 的值域，由 即可
答案第8页，共2页求出 .
【详解】由题意得 ，
又因为 ，
所以 ，
当 与 同向时， ， 与 反向时， ，
又因为 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以 为中间量是解题
的关键.
9．ABD
【分析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即
可得到结论.
【详解】对于A，由 ，得 ，则 从而可得曲线 在点 处的切线为 . 当
时， ，当 时， ，则曲线 在点 附近位于直线 的两侧，故A正确.
对于B，由 ，得 ，则 ，从而可得曲线 在点 处的切线为
.
因为 ，
故当 时， ，当 时， ，
则曲线 在点 附近位于直线 的两侧，故B正确.
对于C，由 ，得 ，则 ，从而可得曲线 在点 的切线为 .因为
，所以 ，则曲线 在点 附近位于直线 的同侧，故C错误.
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司对于D，由 得 ，则 ，从而可得曲线 在点 处的切线为
.
令 ，则 且 ，
，故 且 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 为增函数，在 上为减函数，
故在 上， ，在 上，
故 当且仅当 时等号成立，
故当 时， ，当 时， ，
故当 时， ，
当 ， ，则曲线 在点 附近位于直线 的两侧，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能
力，属于综合题题.
10．BCD
【分析】A.易知 ，作 ，过 作 的平行线，与 交于点F，证得 平面 ，在
AB上取一点H，作 ，得到平面 平面 ，再根据点H有无数个判断； B. 根据
是正三角形，设 是 中点， 与 重合，则 ，求得四边形 的面积为 ，再分
答案第10页，共2页析 不是 中点，或 不与 重合时，线段 的长度变化判断；C.根据 ，设 是 中点，记 中
点为 ，则 ，再结合B的结论判断； D.设 是 中点， 是 中点，记 中点为 ，得到四边形
是平行四边形，再结合C的结论判断.
【详解】如图所示：
因为AA=AC，则平行四边形 是菱形，则 ，作 ，因为平面 平面 ，所以
1
平面 ，则 ，过 作 的平行线，与 交于点G，则 ，又 ，则
平面 ，在AB上取一点H，作 ，分别交线段AC，AB 上于点E，F，易得 平
1 1
面 ， 平面 ，又 ，所以平面 平面 ，则 平面HEF，所以 ，
因为点H有无数个，所以有无数条直线EF，使得EF⊥AC，故A错误．
1
如图所示：
若 ，则 是正三角形，设 是 中点， 与 重合，则 ，且四边形 的面积为
．∵平面 平面 ，∴ 平面 ，∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴当
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司不是 中点，或 不与 重合时，线段 的长度将增加，四边形 的面积不再等于 ．故B正确．
如图所示：
若 ，设 是 中点，记 中点为 ，则 ．由结论B知 ，∴ 平面 ．由于
， ，即 ，∴直线 与 确定的平面就是平面 ．∴ 为线段 上任意一点，
都有 ，故C正确．
如图所示：
设 是 中点， 是 中点，记 中点为 ，则 ， ．又 ， ，∴
， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ， ．根据结论C， ，∴
，∴平行四边形 的面积为 ，即四边形 的面积为 ．所以D正确．
故选：BCD
11．BC
【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为 ）：
答案第12页，共2页共36种，
若 ，此时取 或
所以 ，故A错误；
若 ，则 恒成立，
所以与 互斥，故B正确；
，故C正确；
当 时， ，此时事件 与 均未发生，
所以事件 与 不对立，故D错误.
故选：BC
12．BC
【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A，求出
点 的坐标，从而得到 即可判断B，求出 的中点，代入抛物线方程即可判断C，对D举反例即可.
【详解】首先推导抛物线的切线方程，
设过抛物线 上一点 的切线的斜率为 ,则，
由点斜式得切线方程为： ，
联合抛物线方程，有： 消去 ，得
，
相切, ，即 ,
整理得: ， ，
点 是抛物线 上的点, ，
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司， ，代入得: ,整理,得
即: ，
当 不存在时，此时 ，切线方程为 ，适合上式切线方程，
所以，过抛物线 上一点 的切线的方程为: .
故对于本题来说，设
对A，则过点 的切线方程为 ，代入 坐标有
过点 的切线方程为 ，代入 坐标有
故切点弦方程为 ，当 时， ，故过定点 ，
而抛物线焦点坐标为 ，故A错误；
对B，由切于 的切线方程 ,
切于 的切线方程 ， ，解得 ，
而 ，则 ，故B正确；
对C， ，故 ，
故 的中点为 ，代入抛物线方程有 ，
故 的中点在抛物线上，故C正确；
对D，取 ，此时切点弦 所在直线方程为： ，即 ，
此时 中点即圆心的坐标为 ，当 时， ， ，
故圆的半径为 ，而圆心 到准线 的距离为 ，故此时直线与圆相离，故D错误.
故选：BC.
答案第14页，共2页【点睛】方法点睛：（1）抛物线 上一点 的切线的方程为: .
（2）过椭圆 上一点 的切线的方程为 ；
（3）过双曲线 上一点 的切线的方程为 ；
13．
【分析】题目等价于 在区间 上 的取值范围，分类 ，
， 三种情况，分别计算得到答案.
【详解】 表示 向左平移 个单位，向上平移 个单位.
不影响 的取值范围，等价于 在区间 上 的取值范围.
画出函数图像：
当 时： ；
当 时： ；
当 时： .
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了函数的最大值最小值，等价转化和分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.
14．
【分析】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,设 ,写出相关点的坐标,并
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题.
【详解】以点B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 , ,
, , , .设 ,则 .又 , ,
所以
, 所
以 ,所以 .
又 ,所以 ,从而 .因为
点E是正方形ABCD内一动点,所以 ,所以当 时, 取最小值,为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力. 试题
以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情境中考查,重点
考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
15．
【分析】求出函数 在 上的最大值，分类探讨函数 在 上的最大值，再根据给定条件列出不等
式求解判断作答.
【详解】依题意，函数 在 上单调递增，则当 时， ，
答案第16页，共2页因对任意 ，总存在 ，使得 ，则存在 ， 成立，
则当 时， 成立，而函数 是奇函数，当 时， ，当 时，
，
因此， 在 上的最大值只能在 上取得
而当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
由 解得 ，于是得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而 ，此时不存在 使得 成立，
综上得 ，即 ，
所以a的最大值为 .
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数 ， ，若 ， ，有 成
立，则 .
16．
【分析】变换得到 ，则点 为 的顶点时取最大值，计算得到答案.
【详解】正 的边长为1，则高为 ，内切圆半径为
如图所示， ，
答案第17页，共2页
学科网（北京）股份有限公司当点 为 的顶点时， 取得最大值 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了向量的最值计算，变换得到 是解题的关键.
17．(1) ， ，
(2)
【分析】（1）利用题给条件即可求得 ， 的值；先由递推关系判定数列 为等比数列，进而求得数列 的
通项公式；
（2）分别求得数列 的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列 的前2n
项和 .
【详解】（1）由题意得 ， ， ， ， ，
， ， ，
当 时， ，
又 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以
答案第18页，共2页.
18．(1)证明见解析
(2)靠近B的三等分点
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；
（2）根据（1）的结果，作出平面 与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点 到平面
的距离，再根据比例关系，确定点 的位置.
【详解】（1）取 的中点 ，连结 ，则四边形 是正方形，
则 ， ，所以 ，且
所以 ,所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，PA在面PAB内，
所以 平面 ；
（2）
在 上取点 ，使 ，连结 ，在 上取点 ，使 ，
在 上取点 ，使 ，连结 ，则 ，且 ，则 ，
即 ，且 ，
则四边形 是平行四边形，所以 ，且 ，即 ，
则 ，所以四点 四点共面，连结 ，
答案第19页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，因为 ，所以点 三点共线，
所以 五点共面，即 与平面 交于点 ，
由（1）可知， 平面 ， 平面 ，
所以 ，且 ， ，且 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 是等腰直角三角形，点 为 的中点，
所以 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
,
所以 ，
， ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
即 ，所以 ，
因为点 是 的中点，所以点 到平面 的距离也是 ，
若点 到平面 的距离为 ，则 ,
答案第20页，共2页所以存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，点 为靠近点 的三等分点.
19．(1) . (2)17320元
【分析】（1）利用圆的几何性质证得 ，利用 表示出 ，由此求得三角形 面积的表达式，
并求得 的取值范围.
（2）求得 ，由此求得矩形 面积的表达式，利用辅助角公式，结合三角函数求最值的方法，求得矩形
面积的最大值，从而求得最高造价.
【详解】（1）连接OF,因为 ,所以 ,易得 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 , ,
所以 .
（2）因为 ,
所以 ,
所以
.
因为 ,所以当 时, 最大.
答案第21页，共2页
学科网（北京）股份有限公司故矩形花坛的最高造价是 元.
【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查扇形中的三角形、矩形面积计算，考查三角函数辅
助角公式以及三角函数最值的求法，属于中档题.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无
抗体，再结合概率公式即可求解；
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，求出相应的概率，再由 可求得P关于k
的函数关系式 ；②由 得 （ 且 ），构造函数 ，
利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.
【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件 ，
事件 分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，
所以 ，
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为 ，
（2）①由已知得 ， 的所有可能取值为1， ，
所以 ， ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，得 ，
所以P关于k的函数关系式 （ 且 ）
答案第22页，共2页②由①知 ， ，
若 ，则 ，所以 ，得 ，
所以 （ 且 ）
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ，
，
所以不等式 的解是 且 ，
所以 且 时， ，采用方案二混合检验方式好，
且 时， ，采用方案一逐份检验方式好，
【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根
据题意求出两随机变量的期望，再由 化简，再构造函数利用导数可求出 的范围，考查数学计算能力，
属于难题.
21．(1)
(2)直线 恒过定点，定点坐标为
【分析】（1）设椭圆 的右焦点为 ，连接 ， ，然后在 由条件可得 ， ，
，然后利用余弦定理求解即可；
（2）首先求出椭圆的方程，然后由 可推出 ，然后设直线 的方程为 ，
， ，联立直线与椭圆的方程消元表示出 、 ，然后由 求出 的值可得答案.
答案第23页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）
设椭圆 的右焦点为 ，连接 ，
根据椭圆的对称性可知 ，四边形 为平行四边形.
又 ，所以
而 ，所以 ，
在四边形 中， ，
所以 ，
在 中，根据余弦定理得
即
化简得 .
所以椭圆 的离心率 ；
（2）
答案第24页，共2页因为椭圆 的上顶点为 ，所以 ，所以 ，
又由（1）知 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
在 中， ， ，
所以 ，从而 ，
又 为线段 的中点，即 ，所以 ，
因此 ，从而 ，
根据题意可知直线 的斜率一定存在，设它的方程为 ， ， ，
联立 消去 得 ①，
，
根据韦达定理可得 ， ，
所以
所以 ，
整理得 ，解得 或 .
又直线 不经过点 ，所以 舍去，
于是直线 的方程为 ，恒过定点 ，
该点在椭圆 内，满足关于 的方程①有两个不相等的解，
所以直线 恒过定点，定点坐标为 .
答案第25页，共2页
学科网（北京）股份有限公司22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求解导函数，再根据导函数分析函数的单调性即可；
（2）先将题中问题转化为函数的零点问题，再根据相应函数的最值求解参数的值.
【详解】（1）由已知， ， ，
．
当 为奇数时， ， ，
在区间 上单调递增，
当 为偶数时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
在区间 上单调递减，在 上单调递增，
综上所述，当 为奇数时， 在区间 上单调递增，
当 为偶数时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增.
（2） ， ．
设 与 上各有一点 ， ， ， ．
则 在以 为切点的切线方程为 ，
在以 为切点的切线方程为 ．
由两条切线重合，得 ，
由题意，方程组有唯一解，
消去 ，整理得： ．
令 ， ．
答案第26页，共2页可知 在区间 上单调递减，在 ， 上单调递增．
又当 时， ，
有唯一解，则有 ，即 ．
即 ．
令 ， ．
可知 在区间 上单调递减，在区间 ， 上单调递增．
又 ， 只有唯一一实根 ．
当 时，函数 与 的图象有且只有一条公切线
故满足条件的m的值为 .
答案第27页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
