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一轮复习——函数
课时：2 次课
课时一
课时二
主线
代数法
图象法
基础知识
函数理论：函数的三要素、
函数的四性
函数模型：分段函数、复合
函数、指对幂函数
图象变换、函数零点、二次函
数根的分布
基础题型
判断单调性、判断奇偶性、
单调性的简单应用（求参、
比较大小）、奇偶性的简单
应用（求参、求值求解析
式）、对称性与周期性的判
定、利用对称周期求值
函数图象的画法
重点题型
解函数不等式
图象识别问题、含参零点问
题、复合零点问题、恒成立能
成立问题
第二讲 函数图象与零点问题
模块一 函数图象与图象变换
【知识总结】
一、常见函数的图象
1. 掌握基本初等函数的图象
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；
（6）三角函数．
2. 掌握分段函数图象的画法
3. 几类重要函数的图象与性质
（1）绝对值型函数
函数
（
）
（
）
图象
x=
a+b
2
b
a
x=
a+b
2
b
a
定义
域
R
值域
单调
性
上单调递减
上单调递增
上单调递减
上单调递增
上单调递增
对称
性
关于
轴对称
关于
轴对称
关于
中心对称
（2）对勾函数与飘带函数
函数
（
）
（
）
图象
a
a
a<0
a>0
y=x
O
y
x
定义
域
值域
R
单调
性
在
与
上单调递
增
在
与
上单调递减
在
，
上单调递增
奇偶
性
奇函数
奇函数
渐近
线
，y 轴
二、图象变换
函数
的图象经过变换后的对应解析式如下（
）
四种基本
变换形式
九种具体的
变换方式
针对图象的具体操作
变换后对应的解析
式
平移变换
水平平移
向右（左）平移
个单位
（
）
垂直平移
向上（下）平移
个单位
（
）
翻折变换
上下翻折
轴上方的图象不变，将
轴下方的
图象翻折到
轴上方来
左右翻折
轴右边的图象不变，将
轴右边
的图象翻折到
轴的左边覆盖原来
左边的图象
对称变换
按
轴对称
将
的图象作关于
轴的对称
按
轴对称
将
的图象作关于
轴的对称
按原点对称
将
的图象作关于原点的对称
伸缩变换
横向伸缩
纵坐标不变，横坐标变为原来的
（倍）
纵向伸缩
横坐标不变，纵坐标变为到原来的
（倍）
【方法点拨】
面对函数问题，不妨先试着作出函数的大致图象．作图的过程，本质上即是研究函
数的单调性/奇偶性/定义域/值域/定点等性质的过程．函数图象能帮助我们更直观地掌握函
数的各类性质，进而给予我们一些解题思路.
【题型归纳】
题型1——作函数图象
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆
【例1】分别画出下列函数的图象：
；
；
；
；
（5）
；
（6）
；
（7）
.
题型2——函数图象识别问题（由式选图）
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆
【方法点拨】
函数的图象识别问题，基本方法是排除法：利用函数的一些重要图象特征（如定义域、
特殊点、单调性、奇偶性等）排除错误选项，从而筛选出正确答案．
【例2】（1）（2017 深圳一模）已知函数
，则
的图象大致是
( )
（2）已知函数
(
为
)，则
的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
（3）（2016 衡水中学调研第一次）
已知函数
的图像如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
（4）（2018 鞍山一中一模9）如图，半径为
的半圆
与等边三角形
夹在两平行线
之间，
，与半圆相交于
，
两点，与三角形
两边相交于
，
两点．
设弧
的长为
，
，若从
平行移动到
，则函数
的图象大致是( )
模块二 零点个数问题
【知识总结】
1．零点的定义
一般地，如果函数
在
处的值等于零，即
，则
叫做这个函数的零
点．
2．零点存在定理
如果函数
在区间
上的图象不间断，且
，则函数
在区间
上至少有一个零点，即存在一个
，使得
．
3．单调区间的零点存在定理
若函数
在
上单调，且
，则函数
在区间
上有唯一的零
点；
反之，若
在
上单调，且
在
上有零点，则
．
【方法点拨】
1. 直接判断零点个数的方法
函数
的的零点个数即
不等实根的个数，一般有两种常用的方法：
（1）代数法，如果方程可解，那么直接求根即可；如果能判断出函数的单调性，那么可利
用零点存在定理判断零点个数．
（2）图象法，通常可以将方程
通过恒等变形化为
，分别画出
与
的图象，图象的交点个数即为函数零点个数．
2. 已知零点个数求参数范围
含参，已知零点个数求参数范围：
（1）通常将
化为
（或只含
的代数式）这样右边只有参数的形式，考虑
与水平直线
的交点个数；
（2）有时也可将右侧化为含参的一次函数形式，考虑
与该直线的交点个数；
（3）更复杂的情况下，转化为两函数图象的交点问题，此时解题关键在于当参数变化时，
分析图象的动态变化过程，找出临界情形.
【易错提示】
画图过程中，需要特别注意：
① 分段函数，分段点处空心点、实心点；
② 含绝对值的函数，整体做图象变换或分类讨论去绝对值化为分段函数；
③ 函数
与函数
在
处相交，且在同侧的单调性相同时，
需要根据
的大小确定在
附近是否有其他交点．
④ 一次函数与其它函数的图象交点问题，常常需要考虑相切的临界情况，临界值通常利用
导数的几何意义或判别式计算．
⑤ 有时需要根据导数确定函数的单调性，进一步画出函数草图．
【易错题】方程
的解的个数为（ ）
A.1 个
B.2 个
C.3 个 D.4 个
【题型归纳】
题型3——直接判断零点个数
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆
【例3】（1）函数
的图象因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧
函数”．则方程
的实数根的个数为( )
A.
B.
C.
D.
（2）函数
的零点个数为________．
（3）函数
的零点的个数为________．
（4）已知函数
，
，则函数
的零点个
数为________．
题型4——已知零点个数求参数范围
重要性：☆☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例4】（1）已知函数
，若函数
有两个零点，则实数
的取值范围是________．
（2）（2016 衡水一调12）已知函数
，则方程
恰
有两个不同的实根时，实数
的取值范围是( )．
A．
1
0, e
B．
1 1
4，e
C．
1
0, 4
D．
1
4，e
（3）若方程
有两个不相等的实数根，则实根
的取值范围是
．
，
．
．
．
（4）（2017 高考真题山东卷10）已知当
时，函数
的图象与
的图象有且只有一个交点，则正实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
（5）（2015 湖南）已知函数
，若存在实数
，使函数
有
两个零点，求实数
的取值范围.
题型5——对称点转化为零点
重要性：☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例5】已知函数
的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，求
的取值范围.
模块三 二次函数的零点分布问题
【知识总结】
一元二次方程
根的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是
充要条件）
表1：两根与
的大小比较
表2：根在区间上的分布
【题型归纳】
题型6——二次函数的零点分布问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆
【例6】已知方程
，求在下列条件下
的取值范围．
（1）方程的两个不等实根均小于
．
（2）方程的一个根大于
，一个根小于
．
（3）方程的两个不等实根均在
内．
（4）方程的两不等实根有且仅有一个在
内．
（5）方程在
内有根．
（6）方程的一个根在
，另一个根在
．
（7）方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大．
模块四 复合零点问题
【知识总结】
函数
的零点个数问题，一般令
，先求
的不等实根
，
再分别看
，
，
等等解的个数，所有不等实根的个数和即为
的零点个数．
【注】复合函数问题的基本思路：逐层分解．
（1）若从x 到y，如求值，求值域等，则应从内向外逐层求；
（2）若从y 到x，如求零点，解不等式等，则应从外向内逐层求.
【题型归纳】
题型7——复合零点问题
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆☆
【例7】（1）已知函数
和函数
在
的图象如下：
则对于以下说法，
①方程
有且仅有6 个根；②方程
有且仅有3 个根；
③方程
有且仅有5 个根；④方程
有且仅有4 个根；
正确的有 .
（2）已知函数
，则方程
的根的个数不可能为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）（2017 秋•成都七中期末）设
为自然对数的底数，若函数
存在三个零点，则实数
的取值范围是 ．
（4）（2017 深圳一模理12）已知函数
，
，
为自然对数的底数，关于
的
方程
有四个相异实根，则实数
的取值范围是( )
A．
B．
C.
D．
模块五 零点问题的其他考法
题型8——与对称周期的结合
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆
【例8】（1）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在区间
上是
增函数，若方程
在区间
上有四个不同的实数解
，则
.
（2）（2016 衡水二调理10）函数
与函数
的图象
所有交点的横坐标之和为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
（3）（2017 葫芦岛模拟）已知函数
，若正实数
，
，
互不相等，且
，则
的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
题型9——共轭零点
重要性：☆☆☆ 难度：☆☆☆☆☆
【例9】（1）已知方程
的根为
，方程
的根为
，求
.
（2）已知方程
的根为
，方程
的根为
，求
.
（3）已知方程
的根为
，方程
的根为
，求
.
（4）已知方程
的根为
，方程
的根为
，求
.
