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8.10 零点定理（精练）（基础版）
题组一 零点的求解
1．（2022·上海）若函数 的零点为2，则函数 的零点是（ ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
【答案】A
【解析】因为函数 的零点为2，所以 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
令 ，得 或 ．
故选：A.
2．（2022·北京）已知 且 ，则 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】 ， ，又 ， ，
二次函数 有 个零点.
故选：C.
3．（2022·福建福州 ）（多选）已知函数 ，则函数 的零点是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【解析】令 ，
当 时，有 ，则 ；
当 时，有 ，则 ；
当 时，有 ，则 ；故函数 的零点是
故选：ABC
4．（2021高三上·吉林月考）（多选）等比数列 中， 与 是函数 的
两个零点，则 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-5 D．5
【答案】B
【解析】由题意， 与 是函数 的两个零点
令
由韦达定理，
由于 为等比数列，故
故答案为：B
5．（2022·全国·专题练习）函数 的零点是___．
【答案】8
【解析】由 得 ，解得 ，即 的零点为8.故答案为：8
6．（2022·福建·厦门外国语学校 ）已知函数 则方程 的根___________.
【答案】 或2
【解析】当 时， ，所以 ，
令 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
故当 时， 有唯一根 ，
当 时， ，
令 ，解得 （舍去）或2，
故当 时， 的根为2，
综上， 根为 或2.
故答案为： 或2.
7．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学 ）函数 的导数的零点组成的集合为
___________.
【答案】
【解析】 ,
令 ，则 或 或
故答案为：
题组二 零点区间1．（2021高三上·陕西月考）函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
【答案】B
【解析】函数 在 上单调递增且连续，
且 ，
；
故函数 的零点所在的一个区间是(2，3).
故答案为：B.
2．（2021高三上·月考）下列区间中，包含函数 的零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 函数 在 上单调递减，且 ，
的零点在 内.故答案为：C
3．（2022高三上·兴宁期末）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】设函数 ，则 在 上单调递增，
又 ，
，
所以有 ， ，
所以由零点存在性定理可知函数 的一个零点位于 .
故答案为：C
4．（2022高三上·辽宁期中）已知函数 ，那么在下列区间中含有函数 零点
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 ，是连续单调函数，
且
，
∴函数f(x)在区间 必有零点，
故答案为：B．5．（2022高三上·海安月考）函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 在 上单调递增，
且 ， ，
所以函数 的零点所在的大致区间为 .
故答案为：A.
题组三 零点的个数
{x2−2x，x≥0
1．（2022高三上·河南期中）已知函数
f(x)=
4 ，则函数 的零点个数为
x− ，x<0
x
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】当 时，令 ，解得 或 （舍）；
当 时，令 ，解得 或 （舍）
∴ 或 为函数 的零点，
则函数 有2个零点.
故答案为：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 ， 的零点个
数（ ）A．5或6个 B．3或9个 C．9或10个 D．5或9个
【答案】D
【解析】设 ，则由 ，
得 ，即 ，
又 ，
由 得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，此时函数单调递减，
即函数在 处取得极大值 ，
函数在 处取得极小值 ，
又由 ， 可得图象：
若 ， ，则方程有三个解，
满足 ， ， ，
则当 时，方程 ，有3个根，
当 时，方程 ，有3个根，
当 时，方程 ，有3个根，
此时共有9个根，
若 ， ，则方程有两个解，满足 ， ，
则当 时，方程 ，有3个根，
当 ，有2个根，
此时共有5个根，
同理 ， ，也共有5个根
故选：D．
3．（2022·黑龙江 ）已知函数 ，则函数 的零点个数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令 ， ，则 ，即 ，
分别作出函数 和直线 的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为 ， ，
则 ， ，对于 ，分别作出函数 和直线 的图象，如图所示，
由图象可得，
当 时，即方程 有两个不相等的根，
当 时，函数 和直线 有三个交点，
即方程 有三个不相等的根，
综上可得 的实根个数为 ，
即函数 的零点个数是5.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则
函数y＝f(x)－log |x|的零点个数是（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log |x|的图象，如下：
3观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log |x|有4个零点．
3
故选：D.
5．（2022·西安模拟）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零
点个数至少为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】 是定义在 上的奇函数，
，且零点关于原点对称，
零点个数为奇数，排除选项 ，
又
，
，
，
，
的零点至少有 个，
故答案为：C.6．（2022·新疆三模）函数 的零点个数为 .
【答案】2
【解析】当 时，令 ，解得 ， ，此时有1个零点；当 时，
，显然 单调递增，
又 ，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
7．（2022·全国·课时练习）函数 的零点个数为________．
【答案】1
【解析】解法一：令 ，可得方程 ，即 ，
故原函数的零点个数即为函数 与 图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数 与 的图象只有一个交点，
故函数 只有一个零点，
故答案为：1解法二：∵ ， ，
∴ ，
又 的图象在 上是不间断的，
∴ 在 上必有零点，
又 在 上是单调递增的，
∴函数 的零点有且只有一个，
故答案为：1
8．（2022·全国·课时练习）函数 的零点个数为________．
【答案】1
【解析】令 ，可得方程 ．
在同一平面直角坐标系内作出函数 与 的图象，如图，
由图可知，函数 与 的图象只有一个交点，
故方程 只有一个解，
故函数 只有一个零点．
故答案为：1.9．（2022·河南·郑州十九中高三阶段练习（文））已知函数 则函数
的零点个数是___________.
【答案】5
【解析】令 ， ，
则 ，
分别作出 和直线 ，
由图象可得有两个交点，横坐标设为 ， ，
则 ， ，
即有 有2根；
时， 有3个不等实根，
综上可得 的实根个数为5，
即函数 的零点个数是5．
故答案为：5．
10．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数 满足 ，在 时， ，则关于x的方程 在 上根的个数是___．
【答案】4
【解析】 满足 ，故可得 ，所以函数 是以2为周期的周期函数，
且 是偶函数
根据 ， 得该函数在[0，4]上的图象为：
再在同一坐标系中做出函数 的图象，当 时， ，当 时， ，而当 时，
如图，当 时，两函数图象有四个交点．
所以方程 在[0，4]上有4个根．
故答案为：4．
11．（2022·全国·专题练习）奇函数 定义在 上，且对常数 ，恒有 ，则在区间
上，方程 根的个数最小值为_______.
【答案】5【解析】 函数 是定义在 上的奇函数，
故 ，
又 ，即周期为 ，
，
又由 ，且
， ，
故在区间 ，方程 根有 ， ， ， ， ，
个数最小值是 个，
故答案为：5.
12．（2022·全国· 专题练习）已知函数 图象关于直线 对称，则函数
在区间 上零点的个数为_______.
【答案】3
【解析】 函数 图象关于直线 对称，
，( 的对称轴是 )
， ，
由 知， 时， ，
故 ，
令 得 ， ．因为 ，所以 时， 满足条件，
故零点有三个．
故答案为：3
题组四 求参数
1．（2022·四川雅安）已知函数 ，若函数 有两个不同的零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 有两个不同的零点，即方程 有两个不同的根，从而函数
的图象和函数 的图象有两个不同的交点，
由 可知，当 时，函数 是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数 的图象和函数 的图象，
数形结合可得，当 即 时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数 有两个不同的零点.
故选：A.2．（2021·全国· 单元测试）已知函数 有唯一的零点，则实数a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．－2
【答案】B
【解析】函数 定义域为R，函数 ，即函数 为偶函数，
当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， ，因函数 有唯一的零点，于是得 ，解得 ，
所以实数a的值为 .
故选：B
3．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数 ，若关于x的方程
有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出 的图象如图，令 ，则先讨论 的零点.
当 ，即 时，不合题意；
当 ，即 时，易得 或 ，此时当 或 时均不满足有6个零点，
不合题意；
故 ， 或 ，设 的两根为 ，不妨设 ，由韦达定理 ，
且 .
①当 时， 与 均无零点，不合题意；②当 时：
1. 若 ，则 ，此时 有4个零点， 有2个零点，合题意；
2. 若 ，此时 有3个零点，则 有且仅有3个零点，此时 ，故 ；
综上可得 或 .
又 ，故 ，结合 在 上为减函数可得 在 ，
上为增函数.
故
故选：A
4．（2022·河南模拟）已知函数 至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（
）．
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】C
【解析】令 ，得到 ，
函数 至多有2个不同的零点，等价于 至多有两个不同的根，即函数 与 至多有2个不同的交点
令 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 或 时， ， 单调递减，
所以 与 为函数 的极值点，且 ，
且 在R上恒成立，
画出 的图象如下：
由图可知： 或 时，符合题意，
其中 ，解得：
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 可得： ，所以 ，
综上所述：实数a的最大值为2。
故答案为：C
5．（2022·江西省临川第二中学 ）已知函数 恰有一个零点，则实数a的取值范围为
______．
【答案】 ．
【解析】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线 与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线 的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在 处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时， ，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，故图像如下图：
；
故答案为： .
