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专题20 函数嵌套问题
一、单选题
1．已知函数 ，则方程 的根个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【解析】令 ，即 根的个数，
设 ，所以 ，即 或 ，解得 或 ，
即 或 ，即 或 ，解得 ；
或 或 ，无符合题意的解.
综上所述：程 的根个数为 个.故选：A.
2．已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】作出 的图象，如图所示：
则 的值域为 ，求 的零点，即求 ，即 ，对应方程的根.
设 ，则 ，则 等价于 ，如图所示：有3个交点，则 有三个解，
当 时，有 ，解得 或 ，
当 时，有 ，解得 或 （舍）
故 的值分别为 ， ， ，则 对应解如下图
对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述： 的零点个数为 个.故选：D
3．已知 是定义在 上的单调函数， 是 的导函数，若对 都有
，则方程 的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，对任意的 ，都有 .
则 为定值.设 ，则 .
又由 ，即 .可解得 .则 ，
∴ .∴ .
令 ， ，故 在 上单调递增，又由 ， .
故 的唯一零点在区间 之间.则方程 的解在区间 上.故选:A.
4．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】令 ，当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递减，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
当 时， 且递增，此时 ，
所以， 的零点等价于 与 交点横坐标 对应的 值，如下图示：
由图知： 与 有两个交点，横坐标 、 ：
当 ，即 时，在 、 、 上各有一个解；
当 ，即 时，在 有一个解.
综上， 的零点共有4个.选：B5．已知函数 ，若关于 的方程 有且只有三个不同的
实数解，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，由 可得 ，
所以，关于 的方程 、 共有 个不同的实数解.
①先讨论方程 的解的个数.
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
所以，方程 只有两解 和 ；
②下面讨论方程 的解的个数.
当 时，由 可得 ，可得 或 ，
当 时，由 ，可得 ，此时方程 有无数个解，不合乎题意，
当 时，由 可得 ，因为 ，由题意可得 或 或 ，解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 .故选：B.
6．函数 ，若关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则实数
范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数 的图像如下所示，当 ， 时， ，所以 时递增，
当 时递减，所以当 时，
在 处取最大值为： （如下图所示平行于 直线）；
因为 ，即 ，解得 或 ，
当 时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，
要使关于 的方程 恰有四个不同的实数根，
则需要 与图像有三个不同交点，只需要 ，即 .故选：D.7．已知函数 ，若函数 与 的图象恰有8个不同公共点，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ， ，
由 时， ，得 单调递减，由 时， ，得 单调递增，
故 时， ；
当 时， ，
由 时， ，得 单调递减，
由 时， 得 单调递增，
所以 时， 有极大值 ，当 时， ，
作出 的大致图象如图：
函数 与 的图象恰有8个不同公共点，
即方程 有8个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论 有8解情况如下：令 ，当 在 有两个解时，满足题意，即 ，解得 ，故选：A.
8．定义在 上的函数 ，若关于 的方程 恰有 个不同的实数解
，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数 的图象，如图所示，
令 ，由图象可知，当 时，方程 有3个根，
当 或 时，方程 有2个根，
则方程 等价于 ，
因为方程 恰有 个不同的实数解 ，
所以等价于方程 有两个实数解 ，或 ，或 ，
可得这5个根也关于直线 对称，
所以 ，所以 ，故选：D9．设函数 ，若关于 的方程 恰好有六个不同的实数解，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】画出函数 的图象如下图所示，
令 ，则方程 可化为 .
由图可知：当 时， 与 有 个交点，
要使关于 的方程 恰好有六个不同的实数解，
则方程 在 内有两个不同实数根，
∴ ，解得 ，∴实数 的取值范围为 .故选：B
10．已知 为三次函数，其图象如图所示.若 有9个零点，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解析】作出 的图像如图所示，由 的图像可知，
的极大值为 ，极小值为 ，
有9个零点，令 ，结合 和 的图像可知，
有3个解，分别设为 ，且 ，
且每个 对应都有3个满足 ，欲使 有9个零点，由图可知： ，
且 ， ， ，由函数 的解析式知：
， ， ，由 图像可知，
，则 ，解得 ，得 ，故选：A.
11．已知函数 （ 且 ），若函数 的零点有5个，则实数a的取
值范围为（ ）A． B． 或
C． 或 或 D． 或
【解析】依题意函数 的零点即为方程 的根，
①当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有两个根 ， （ ， ），
而 对应2个根，所以需要 对应3个根，所以 ，即 ，解得 ；
②当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有两个根 ， （ ， ），而 对应2个根，
对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；
③当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有三个根 ， ， ，
从而 ， ， ，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；
④当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有三个根 ， ， ，（ ， ， ），
而 ， ， 分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；
综上可得实数 的取值范围为 或 ；故选：D
12．已知函数 （e为自然对数的底数），函数 ，若关于x的方程
有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【解析】由题设 ，且方程的根分别为 、 ，
当 时 ，在 、 上 ，在 上 ，
所以 在 、 上递增，在 上递减，则极大值 ，极小值 ，在各单调区间上恒有 ；
当 时 ，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上递减，在 上递增，且 ， ；综上， 的图象如下：
显然 时有一个解，而原方程共有2个实数根，
所以，由图知： ，即 .故选：D
二、多选题
13．已知函数 在 上先增后减，函数 在 上先增后减.若
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ ，∴ ， ，∴ .
设 ，∵ ， ， 在 上先增后减，
∴ .∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ .∵ ，∴
设 ，∵ ， ， 在 上先增后减，
∴ .∴ .故选：BC.
14．已知函数 ，方程 有四个不同的实数根，从小到大依次是 则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D． 可以取到3
【解析】由题设， ，其函数图象如下：
而 的对称轴为 且 ，即 ，
所以 必有两个零点 、 分别在 的两侧，
由上图知： 且 ，满足原方程有四个实根，
故 ，则 ，D正确；
所以 ： ；且 ；
： ；且 ： .；
所以 且 ，则 ，
故A、C错误，B正确.
故选：BD
15．已知函数 若关于x的方程 有5个不同的实根，则
实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，记 的两个零点为 ，则由 的图象可知：方程有5个不同的实根 与 的图象共有5个交点 ，
且 （不妨设 ）.则 解得 .故选：BCD
16．已知函数 若关于x的方程 有6个不同根，则整数m的取值
可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】作出函数f(x)的图象如图：
关于 的方程 有6个不同根，令 ， ，
即方程 有2个不同的解，可能一个在 上，一个在 上，也可能两个都在 上.
令 ，若 在 上和 上各有一个不同的零点，所以 ，解得 ，所以整数 的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
若 在 有两个不同的零点，所以 ，该不等式组无解，故选：ABC
17．设函数 ，集合 ，则下列命题正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时
C．若集合M有三个元素，则k的取值范围为
D．若 （其中 ），则
【解析】A： 时， 或 ，结合 解析式： 时有 或 ，
时有 ，所以 ，正确；
B： 时，由 ，知方程 无解，则 ，正确；
由 解析式可得其函数图象如下图示：
令 ，开口向上且对称轴为 ，
若 ，则 ，即 ，有以下情况：
1、 ， ：此时，令 ，则 在 上有一个零点，
∴ ，可得 ，
2、 ， ，由A知： .
综上： ，故C错误；
若 ，由函数 的性质及 图象知：必有 ， .
此时， ， ，
所以 ， ，所以 ，故D正确.
故选：ABD
18．若 ，则关于 的方程 的实数解的个数可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知 ，作出函数图象如图所示，
又 ，所以 或 ，因为 ，有 个实数解，
当 ，即 时， 无解， 共有 个实数解；
当 ，即 ， ，共有 个实数解；
当 ，即 时， 有 个实数解， 共有 个实数解；当 ，即 时， 有 个实数解， 共有 个实数解；
当 ，即 时， 有 个实数解， 共有 个实数解；
故选：ACD.
三、填空题
19．已知函数 ，当 时，关于x的方程
恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_______．
【解析】原方程可化为 ，解得 ， ，
因为 ，则 ， ，
的图象如图所示：
因为方程 恰有两个不同的实数根，
所以当 时，则 ，解得 ；
当 时， ，此时方程有三个不同的实数根，不成立；
当 时，则 ，此时无解；
当 时，则 ，解得 ；
当 时，此时方程无实数根，不成立；
综上： 或
20．已知函数 ， ，若关于x的方程 （ ）恰好有6
个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.【解析】令 ，则方程转化为 ，画出 的图象，如图
可知 可能有 个不同解，二次函数 可能有 个不同解，
因为 恰好有6个不同的实数根，所以 有2个不同的实数根，
有3个不同的实数根，则 ，
因为 ，解得 ， ，解得 ，
所以 ， ， 每个方程有且仅有两个不
相等的实数解，所以由 ，可得 ，即 ，解得
；
由 ，可得 ，即 ， 解得 ；
由 ，可得 ，
即 ，而 在 上恒成立，
综上，实数λ的取值范围为 .
21．已知函数 .当 时，关于 的方程
恰有三个不同的实数根，则 的取值范围是_________.
【解析】 等价于 ，
解得 或 ， 因为 ，所以 ， ，
如图，绘出函数 的图象，方程 有三个不同的实数根
等价于 有一个实数解且 有两个不同的实数解
或 有两个不同的实数解且 有一个实数解，
①当 或 时， 无解，不符合题意；
②当 时，则 ， 有一个实数解， 有两个不同的实数解，符合题意；
③当 时，则 ， 有两个不同的实数解， 有一个实数解，符合题意；
④当 时，则 ， 有一个实数解， 至多有一个实数解，不符合题意，
综上，m的取值范围为 .
22．已知函数 ，若函数 （其中 ）有 个不同的
零点，则实数 的取值范围是___________．
【解析】画出函数 的图像，如下图所示：设 ，则当 时，方程 有一个根，
当 时，方程 有两个根，
当 时，方程 有三个根，
当 时，方程 有四个根，
当 时，方程 有三个根，
当 时，方程 有两个根，
所以，若 和 为方程 的两根时，
原函数有 个不同的零点，
则得到方程组 ，方程组无解；
若 ， 为方程 的两根时，
原函数有 个不同的零点，得不等式组 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题
23．已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）对任意的实数x、x，且 ，求证： ；
（3）若关于x的方程 有两个不相等的正根，求实数a的取值范围．【解析】（1） ．
当 时， ，有 ，即 ．
当 时， ，有 ，即 ．
综上，函数 在R上是奇函数．
（2）因为函数 在 上是增函数，函数 在R上也是增函数，
故函数 在 上是增函数．
由（1）知，函数 是R上的奇函数．由奇函数的单调性知，
函数 在 上也是增函数，从而函数 在R上是增函数．
由 ，得 ，所以 ，即 ．
（3）由（1）知，函数 是R上的奇函数，故原方程可化为 ．
令 ，则当 时， ．
原方程有两个不相等的正根等价于：关于t的方程 有两个不相等的正根，
即
因此，实数a的取值范围为 ．
24．已知向量 （其中 ）， ，函数 ，当 时，
函数f（x）的值域为 .(1)求实数a，b的值；
(2)设函数 在 上有两个零点，求实数λ的取值范围；
(3)若对 ，都有 恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】(1) ，
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
依题意可得 ，解得 .
(2)由（1）知， ，
当 时，函数 的图象如图：
因为函数 在 上有两个零点，
所以 在 的图象与 有两个交点，由图可知， .
(3)因为 ，
所以对任意的 ，都有 恒成立，设 ，则 ,即 ，解得 .
25．已知函数 的图象相邻对称轴之间的距离是 ，若将 的图象向右
移 个单位，所得函数 为奇函数．
(1)求 的解析式；
(2)若关于x的方程 在 上有三个解，求a的取值范围．
【解析】(1)因为图象相邻两对称轴之间的距离是 ，所以函数的最小正周期 ，解得 ，
即 ，
因为 为奇函数，
所以 ， ，即 ， ，
又因为 ，所以 ， ，
(2)因为 ， ，所以 ，所以 ，
当 时，解得 ， 时，解得 ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， ，
，函数 ， 的图象如下所示：因为关于 的方程 在 上有三个解，
令 ，即 ， ，
若 为方程 的根，此时 ，则 ，不符合题意；
依题意方程 在 有两不相等实数根 、 ，不妨令 ，且 ， ；
若 为方程 的根，此时 ，则 ，此时符合题意；
若 时，令 则 ，即 ，解得 ，
综上可得
