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第三章 一元函数的导数及其应用（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）设f(x)是可导函数，且 ，则
（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】B
由题设， .
故选：B
2．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：因为 ，所以 ， ，所以 ，
即切点为 ，切线的斜率为2，所以切线方程为 ，即 ．
故选：A
3．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））已知函数 的导函数为 ，且满足
，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
由题意，函数 ，可得 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
4．（2022·湖北·高二阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∵ ，∴ ，
由 ，解得 ，又 ，∴ .
故选：B.
5．（2022·江苏省天一中学高二期中）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法
正确的是（ ）
A． B．
C． 在区间 内有3个极值点 D． 的图象在点 处的切线的斜率小于0
【答案】B
由图象可知：当 和 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增；在 上单调递减；
对于A， ， ，A错误；
对于B， ， ，B正确；
对于C，由极值点定义可知： 为 的极大值点； 为 的极小值点，即 在区间 内
有 个极值点，C错误；
对于D，当 时， ， 在点 处的切线的斜率大于 ，D错误.
故选：B.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）若函数 三个不同的零点，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
，令 得 或 ，令 得 ，
当 变化时， 的变化情况如下表：0 0
要使函数有三个不同的零点，则 ，解得 .
故选：D.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 （ 为自然对数的底数），若 在 上
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
若 在 上恒成立，则 在 上恒成立等价于
在 上恒成立，令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
故 .
故选：B.
8．（2022·江西·模拟预测（文））定义方程 的实数根x叫做函数 的“新驻点”，若函数
， ， 的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
而可得答案.
【详解】
， ， ，由题意得：
，即 ，解得 ，所以 ，
， ，
令 ，所以 为单调递减函数，，
可得 ，所以 ，
， ，
令 ，则 ，得 或 ，
当 或 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
所以当 时 有极大值为 ，
当 时 有极小值为 ，
因为 ， ，
所以 ， .
故选：D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·河北·邢台市南和区第一中学高二阶段练习）若函数 恰有两个零点，则实数a
的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
函数 有2个零点等价于在 时，
直线 与 有2个交点，
，显然当 时， ，当 时， ，
即在x=1处， 取得最小值=1，
图像如下：若 与 有2个交点，则 ；
故选：BCD.
10．（2022·山东菏泽·高二期中）已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A．当 时，
B．函数 有2个零点
C． 的解集为
D． ，都有
【答案】ACD
②当 时，则 ， ,因为 是定义在R上的奇函数,所以
，故A对.
② 时，令 ,解得 ，由 是定义在R上的奇函数，所以 时 ，又
；故函数 有3个零点，故B不对.
③ 时，令 ,解得 ； 时，令 ，解得 ，故
的解集为 ，所以C对.
④当 时， ， ，当 时， ，此时单调递增，当 时，
，此时单调递减，且当 时， ， 时， 所以
由 是定义在R上的奇函数，故当 时， ，因此对 ，都有
，故D对.
故选:ACD
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
因为函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
当 时， 恒成立.
当 时， 恒成立，即 恒成立，
设 ， ，
， ， 为减函数， ， ， 为增函数，
所以 ，所以 ，
综上所述： .
故选：ABC
12．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知函数 在 上可导且 ，当 时，
其导函数 满足 ，对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上为增函数 B． 是函数 的极大值点
C． D．函数 有2个零点
【答案】AC
由题意得 ，而
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
是函数 的极小值点，故A正确，B错误，
对于C，由单调性可知 ，则 ，故C正确，
对于D， ，若 ，则函数 无零点，故D错误，
故选：AC三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图所示，直线 是曲线 在点
处的切线，则 __________.
【答案】 ##
由图象可知直线 过 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以 .
故答案为：
14．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）若 在
上是减函数，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
，
因为 在 上是减函数，
所以 在 上恒成立，
即 ，
当 时， 的最小值为 ，所以 ，
故答案为：
15．（2022·北京·101中学高二阶段练习）设 是函数 的两个极值点，若 ，
则实数a的取值范围是______．
【答案】,
因为 是函数 的两个极值点，且 ，
所以 是方一元二次方程 的两个实根，且 ，
所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
16．（2022·江苏扬州·高二期中）已知 ，若 在 不是单调函数，则实数 的取
值范围为_____．若任意 都有 ，则实数 的取值范围为________．
【答案】
第一空：对 求导
若 在 不是单调函数，即 ，
∴
第二空：
当 时， ，此时函数 单调递增，不满足条件，舍去；
当 时， ，此时满足条件；
当 时，当 ， 此时函数 在区间 上单调递减，当 ， ，此时
函数 在区间 上单调递增，
∴
化简得
设 ， ，
当 ， 此时函数 在区间 上单调递减，
当 ， ，此时函数 在区间 上单调递增，图象如图所示，
∴
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： ， .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·山东菏泽·高二期中）已知函数 .
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
【答案】(1) ；
(2)2个零点，理由见解析.
(1)由 ，
而 ，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为：
；
(2)函数 的定义域为 ，
由（1）可知： ，
当 时， 单调递增，
因为 ，所以函数在 时有唯一零点；
当 时， 单调递增，
因为 ，所以函数在 时有唯一零点，
所以函数f（x）有 个零点.
18．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数 是 的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当 时，求函数 的最大值．
【答案】(1) (2)
(1) ，
∵ 是 的一个极值点，∴
解得 ．经检验，满足题意．
(2)由（1）知： ，则 ．
令 ，解得 或
x 1 2+ 0 - 0 +
递增 递减 递增
∵ ，
∴函数 的最大值为
19．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知 ， ， ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1) ，当 时， ，即 在 上单调递减，
故函数 不存在极值；
当 时，令 ，得 ，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故 ，无极小值.
综上，当 时，函数 不存在极值；
当 时，函数 有极大值， ，不存在极小值．
(2)显然 ，要证： ，
即证： ，即证： ，
即证： ．
令 ，故只须证： ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，所以 ，从而有 ．
故 ，即 ．
20．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间和极值；
(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】(1)减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值
(2)
(1)函数 的定义域为 ，
当 时，
求导得 ，整理得： .
由 得 ；由 得
从而，函数 减区间为 ，增区间为
所以函数 极小值为 ，无极大值.
(2)由已知 时， 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，则 .
令函数 ，由 知 在 单调递增，
从而 .
经检验知，当 时，函数 不是常函数，所以a的取值范围是 .
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1) (2)答案见解析
(1)当 时， ，则 ，故 ，且 ，故 在点
处的切线方程为(2)求导可得 ，
当 时， ，故当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调
递减；
当 时，令 ，则 ，
1.当 时， ，故当 和 时， ， 单调递减；当 时， 单
调递增；
2.当 时：
①当 ，即 时，在 ， 上 ， 单调递增；在 上 ，
单调递减；
②当 ，即 时， ， 在定义域R单调递增；
③当 ，即 时，在 ， 上 ， 单调递增；在 上 ， 单
调递减；
综上有：
当 时， 在 ， 单调递减， 单调递增．
当 时， 在 单调递增， 单调递减．
当 时， 在 ， 单调递增， 单调递减．
当 ， 在定义域R单调递增．
当 时， 在 ， 单调递增， 单调递减．
22．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 无零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
(1)由题知，当 时， ，
∴ ，令 ， ．∴ 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
∴ 是 的极小值点，∴ 的极小值为 ，无极大值．
(2)由题知 ，
∴ ， ；令 ，
∴ ，∵ ，∴ 恒成立，
∴ 单调递增，即 单调递增．
①当 时，∴ ，∴ 单调递增
∴ 恒成立，即 在 上无零点，∴ ．
②当 时，令 ， ， ，又 单调递增，
∴ 时， ， 时， ，
∴ 在 时单调递减， 时，单调递增，
∴ ，又∵ 时，
∴ ， ，即 在 上有零点，不合题意；
综上所述 ．
