文档内容
专题 3-6 利用导函数研究方程的根（函数的零点）
目录
..................................................................................1
题型一：判断（证明）函数零点个数.............................................................................................1
题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点........................................................................9
题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值)..........................................................15
题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根）......22
题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明..................................................................32
题型六：导数解决函数隐零点问题...............................................................................................44
.............................................................50
题型一：判断（证明）函数零点个数
【典例分析】
例题1．（2022·河南·驻马店开发区高级中学高三阶段练习（文））已知函数
图象的对称中心为 ，则 的零点个数为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论函数
的零点的个数.
例题3．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知函数 .(1)若 的图象在点 处的切线斜率为 ，求 的值；
(2)当 时，判断 在 内有几个零点，并证明.
【提分秘籍】
1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等函数零点的个数(或
方程根的个数)问题的一般思路:
(1)可转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图
象;
(3)结合图象求解.
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:
第一步,利用导数证明该函数在该区间上单调性，
第二步,证明端点的导数值异号.
【变式演练】
1．（2022·湖南·高三阶段练习）已知函数 ，则函数 的零点个数
为_________．
2．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)求证：函数 有唯一的零点，并求出此零点；
(2)求曲线 过点 的切线方程．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.
4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））设函数 为常
数).
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
(1)求 的极值点个数；
(2)求函数 在区间 内的零点个数.
题型二：利用函数极值（最值）研究函数的零点
【典例分析】
例题1．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数
在 时取得极值，且在点 处的切线的斜率为 .(1)求 的解析式；
(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
例题2．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上有且只有一个零点，求 在 上的最大值与最小值的和．
【提分秘籍】
借助导数研究函数的单调性与极值后,通过极值（最值）的正负,函数的单调性判断函数图
象的走势,从而判断零点的个数.
【变式演练】
1．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若函数 有三个零点，求实数a的取值范围．
2．（2022·广东·高二阶段练习）已知函数 在 与 处都取得
极值.
(1)求实数a，b的值；
(2)若函数 有三个不同的零点，求c的范围.3．（2022·全国·模拟预测（文））设函数 ，其中 ， 为常数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有且仅有3个零点，求 的取值范围．
题型三：已知函数的零点个数求参数的取值范围(或值)
【典例分析】
例题1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知函数 是定义在 上的奇
函数，且当 时， ，若关于 的函数 恰有4个零
点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知关于 的方程
有4个不等实数根，则 的取值范围是______．
例题3．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的图像在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.【提分秘籍】
转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
【变式演练】
1．（2022·北京通州·高三期中）已知函数 设 ，
若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数 ，若f（x）在
（0，+∞）内有零点，则a的取值范围为___________.
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数 有且只有一个零点，则
实数 的取值范围是___________.
4．（2022·天津·高三期中）已知函数 在点 处的切线斜率为
4，且在 处取得极值.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 恰有两个零点，求实数m的取值范围.
题型四：利用数形结合法（等价为两个函数图象交点）研究函数的零点（方程的根）
【典例分析】
例题1．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有三个不同的根，求 的取值范围．例题2．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 ，函数 与 轴有两个交点，求 的取值范围.
例题3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）给定函数 .
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值；(2)画出函数 的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；
(3)求出方程 的解的个数.
【提分秘籍】
转化为用导数研究其函数的图象与 轴(或直线 )在该区间上的交点问题;
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围．
2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有两个根，求a的取值范围．
3．（2022·广东·珠海市第二中学高二期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；(2)设 ，若方程 有三个不同的解，求a的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若函数 的图象与直线 仅有一个公共点，求实数 的取值范围.
题型五：以函数零点为背景的含双参不等式的证明
【典例分析】
例题1．（2022·河南·一模（文））已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，求 的取值范围．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有两个不同的零点(其中 为自然对数的底数).
（1）当 时，求证： ；
（2）求实数 的取值范围；
（3）若函数 的两个零点为 ，求证： .
例题3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））设函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ， ，求 的取值范围，并证明： ．
【提分秘籍】
破解含双变量不等式的证明的关键
一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,
并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式;
二是巧构造函数,借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量
不等式,即可证得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，设函数 ．
(1)当 时，若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若对任意实数 ，函数 均有零点，求实数 的最大值；
(3)若函数 有两个零点 ，证明： ．2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)求证：函数 存在两个零点（记为 ），且 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若 ，设 为 的导函数，若函数 有两个不同的零点 ，求证：
．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （a为常数）．且 有两
个不同的极值点
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：题型六：导数解决函数隐零点问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二单元测试）设 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）讨论 零点的个数；
（3）当 时，设 恒成立，求实数 的取值范围.
例题2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数 .
（1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断 的零点个数并说明理由；
（3）若 恒成立，求 的取值范围.
【提分秘籍】
函数隐零点在很多时候无法直接求出来，基本解决思路是：虚设零点，整体代换，数值估
算，等价转化，分离参数，反客为主。
【变式演练】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的零点及单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线 存在斜率为 的切线，且切点的纵坐标 ．2．（2022·北京·北师大二附中高三阶段练习）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）当 时，若方程 在区间 上有唯一解，求 的取值范围.
一、单选题
1．（2022·上海市杨浦高级中学高三开学考试）已知点P是曲线 上任意一
点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则使得 的点P的个数为（ ）.
A．0 B．仅有1个 C．仅有2个 D．至少有3个
2．（2022·全国·高三专题练习）设 ，若函数 在区间 上有
三个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知函数 有两个零点
，对于下列结论：① ；② ；则（ ）
A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对
4．（2022·山东德州·高三期中）已知定义在 上的函数 ，若 的图像与 轴有4个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津·高三期中）已知定义在R上的函数 ，若函数
恰有2个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·云南·昆明市第三中学高三阶段练习）过点 有 条直线与函数
的图象相切，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·湖北·高三阶段练习）直线 与两条曲线 和 共有三个不
同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是 、 、 ，则下列关系式正确的是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高三阶段练习）已知当 时，函
数 的图像与函数 的图像有且只有两个交点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有唯一零点，则实数 的值可以
是（ ）
A． B． C．0 D．1
10．（2022·湖南·益阳市箴言中学高二开学考试）已知函数 在区间
内有唯一零点，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·全国·高三专题练习）若函数 有两个零点，则 的取值范围为
______．
12．（2022·重庆南开中学模拟预测）若关于x的方程 有解，则实数a的取值
范围为________．
四、解答题
13．（2022·江苏·昆山震川高级中学高二阶段练习）已知函数 ， ，试
讨论函数 的零点个数.
14．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知函数 （其中 ）.
（1）求函数 的极值点；
（2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.15．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三阶段练习（理））设函数 ，
．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点．
16．（2022·上海市七宝中学高二期中）已知函数 , ,设
．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若以函数 图像上任意一点 为切点的切线的斜率 恒成
立，求实数 的最小值；
（3）是否存在实数m,使得函数 的图像与函数 的图像恰有
四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 的最大值与最小值；
（Ⅱ）讨论方程 的实根的个数.
