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第 35 讲 高考题中的解答题六（导数）
导数与函数的零点问题
(一) 探求函数零点的个数
[典例] (2022·太原一模)已知函数f(x)＝xex－x－1.
(1)求函数f(x)在区间[－1,1]上的最值；
(2)讨论方程f(x)＝ln x＋m－2实根个数．
[关键点拨]
切入点 求导，根据函数的单调性求最值
隐藏点 换元，令t＝xex，构造函数h(t)＝t－ln t＋1(t>0)
迁移点 再根据导函数求出单调性、最值，结合图象求解
方法技巧
求解函数零点(方程根)的个数问题的步骤
将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直
第一步
线y＝k)在该区间上的交点问题
利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性
第二步
质，进而画出其图象
第三步 结合图象求解
针对训练
(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝aln(x＋1)sin x－(a∈R)，且f(x)在上的最大值为.
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)在内的零点个数，并加以证明．．
(二) 由函数零点的个数求参数
[典例] (2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
[关键点拨]
切入点 先算出切点，再求导算出斜率
隐藏点 求导，对a分类讨论
迁移点 对x分(－1,0)，(0，＋∞)两部分研究
本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定
反思点
只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明
方法技巧
已知函数零点个数求参数范围的策略
(1)根据区间上零点的个数情况估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求
出参数满足的条件．
(2)先求导，通过求导分析函数的单调性情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要
满足的条件．此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．
针对训练
(2022·郑州二模)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝aex－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．(三) 隐零点问题
近几年高考中隐零点问题也经常出现，该类问题主要是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，
再结合其他条件求解，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，
题目的综合性较强，难度大.
[典例] (2022·鹰潭二模)已知函数f(x)＝2aln x－x＋a，g(x)＝x2－.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
[关键点拨]
切入点 利用导数的几何意义求切线
隐藏点 设h(x)＝2aln x－x2－x＋a＋，研究其单调情况
迁移点 讨论a≥和a<两种情况，分析函数的零点
方法技巧
隐零点问题求解三步曲
(1)用零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f′(x)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点
0
的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
针对训练
已知函数f(x)＝ln(2x＋1)＋2ax－4aex＋4，且a>0.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．综合性考法针对练——导数与函数的零点问题
1．(2022·江南十校一模)已知函数f(x)＝ax＋ln x＋－2，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围．
2．(2022·汕头三模)已知函数f(x)＝x－2sin x.
(1)求f(x)在的极值；
(2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在上有且只有两个零点．
3．(2022·湖北新高考联考协作体联考)已知函数f(x)＝2exsin x－ax.(e是自然对数的底数)
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若00.
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)讨论方程ex＋e－x－a|ln(ax)|－＝0根的个数．
导数与不等式恒(能)成立问题
(一) 分类讨论解决不等式恒成立问题
近几年高考中利用导数解决不等式恒成立问题是常见的题型，函数中经常含有参数，对参数进行分类
讨论解决问题，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，题目的综合
性较强，难度大．
[典例] 已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．
[关键点拨]
(1)构造函数m(x)，判断f′(x)的单调性，进而判断f(x)的单调性
切入点
(2)构造函数，把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题
障碍点 不能把导函数正确的分解因式，分类讨论的标准不可解
方法技巧不等式恒成立问题的解题关键点
针对训练
已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
(二) 分离参数解决不等式恒成立问题
近几年高考中利用导数解决不等式恒成立问题是常见的题型，函数中经常含有参数，利用分离参数法
解决该类问题，主要在解答题中以压轴题的形式出现，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，题目的综合
性较强，难度大．
[典例] 已知函数f(x)＝(x＋a)ln x－x2－ax＋a－1.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＞aln x－x2－2x在(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值．
[关键点拨]
(1)问直接求导判断函数f(x)的单调区间．
切入点 (2)问看到求整数a的最大值，想到分离参数a，然后构造函数，利用导数
及函数的性质求解
迁移点 把f(x)＞aln x－x2－2x转化为a＜在(1，＋∞)上恒成立
(1)想不到分离导数，导致对a进行分类讨论．
障碍点 (2)构造函数后，若其导函数无法直接判断单调性，不要忽略零点存在定理
的应用方法技巧
分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，
应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决．
针对训练
(2022·西安二模)已知f(x)＝＋nln x(m，n为常数)，在x＝1处的切线方程为x＋y－2＝0.
(1)求f(x)的解析式并写出定义域；
(2)若∀x∈，使得对∀t∈上恒有f(x)≥t3－t2－2at＋2成立，求实数a的取值范围．
(三) 等价转化法解决不等式能成立问题
[典例] 已知函数f(x)＝－ax＋b在点(e，f(e))处的切线方程为y＝－ax＋2e.
(1)求实数b的值；
(2)若存在x∈[e，e2]，满足f(x)≤＋e，求实数a的取值范围．
0 0
[关键点拨]
(1)利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求b；
切入点 (2)将问题转化为a≥－在[e，e2]上有解，构造函数，利用导数与函数单调性关系
求解
隐藏点 存在x∈[e，e2]满足f(x)≤＋e，只需f(x) ≤＋e即可，即求a≥ 即可
0 0 0 max min
障碍点 不会根据需要多次构造函数方法技巧
根据不等式能成立求参数的步骤
(1)利用题设条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式的能成立问题；
(2)用导数求该函数在区间上的最值；
(3)构建不等式求解．
针对训练
已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax－1.
(1)当a>0时，证明函数f(x)在区间(0, ＋∞)上只有一个零点；
(2)若存在x∈R，使不等式f(x)<－e－1成立，求a的取值范围．
1．(2022·连云港二模)已知函数f(x)＝x－－2ln x.
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f－8bf(x)，当x>1时，g(x)>0，求实数b的取值范围．
2．(2022·桂林、梧州一模)已知函数f(x)＝x2＋.
(1)当a＝－5时，求f(x)的单调区间；
(2)若存在x∈，使得f(x)－x2>2x＋成立，求实数a的取值范围．4．(2022·湖南新高考联盟联考)已知函数f(x)＝2ax－ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式ex－2＋x≥xf(x)恒成立，求实数a的取值范围．
导数与不等式的证明问题
(一) 单变量不等式的证明问题
[典例] (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；
(3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln(n＋1)．
[关键点拨]
切入点 求出f′(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性
隐藏点 设h(x)＝xeax－ex＋1，求导后进行分类讨论
由(2)可得2ln t1恒成立，从而可得ln(n＋1)－ln n<对任意的
迁移点
n∈N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式方法技巧
证明不等式的基本方法
若f(x)在[a，b]上是增函数，则
①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；
利用单调性
②∀x，x∈[a，b]，且x＜x，有f(x)＜f(x)．
1 2 1 2 1 2
对于减函数有类似结论
若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或
利用最值
f(x)≥m)
构造函数 证明f(x)＜g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)＜0
针对训练
(2022·邯郸模拟)设函数f(x)＝x3＋ln(x＋1)．
(1)求曲线y＝f(x)在处的切线方程；
(2)证明：当n∈N*且n≥2时，ln(n＋1)>＋＋…＋.
(二) 极值点偏移问题(双变量不等式)
近几年高考中经常出现极值点偏移问题的题目，采用对称化构造函数法和比值代换法进行研究，该类
问题思维含量高，过程繁琐，计算量大，在解答题中以压轴题的形式出现，题目的综合性强，难度大.
[典例] (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x，x，则xx<1.
1 2 1 2
[关键点拨]
切入点 由导数确定函数单调性及最值
隐藏点 f(x)的零点满足x<10
迁移点
转化要证明条件为－ －2方法技巧
极值点偏移问题的四种基本题设形式
(1)若函数f(x)存在两个零点x，x 且x≠x，求证：x＋x＞2x(x 为函数f(x)的极值点)．
1 2 1 2 1 2 0 0
(2)对于函数f(x)，存在x，x 且x≠x，满足f(x)＝f(x)，求证：x＋x＞2x(x 为函数f(x)的极值点)．
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
(3)若函数f(x)存在两个零点x，x 且x≠x，令x＝，求证：f′(x)＞0.
1 2 1 2 0 0
(4)对于函数f(x)，存在x，x 且x≠x，满足f(x)＝f(x)，令x＝，求证：f′(x)＞0.
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针对训练
已知函数f(x)＝ln x－ax2(a∈R)．
(1)若函数f(x)的极大值为－，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＝f(x)，且x＜x，求证：x＋x＞4a.
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综合性考法针对练——导数与不等式的证明问题
1．(2022·郑州质检)设函数f(x)＝ln－x＋e.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝e时，证明：f
