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第 8 节 函数与方程
考试要求 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二
次方程根的存在性及根的个数.
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；
② f ( a )· f ( b )<0 .则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 ( x ， 0 ) ， ( x ， 0 ) ( x ， 0 ) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的
零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出
f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分
不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( )
⊆
答案 (1)× (2)× (3)√
解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错误.
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.
2.函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案 C
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.
3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
解析 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0，
得x＝0，π，2π.
由cos x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，
即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
4.(易错题)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取
值范围是________.答案 (－8，1]
解析 二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需
f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.
5.(易错题)设函数f(x)＝则g(x)＝f(x)－的零点的集合为________.
答案
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log x|＝，
2
解得x＝或x＝.
故零点的集合为.
6.(2021·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
答案 [5，10)
解析 令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在
(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，
即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.
又当f(1)＝0时，k＝5.
综上，实数k的取值范围是[5，10).
考点一 函数零点所在区间的判定
1.函数f(x)＝ex-1－－1的零点所在区间是( )
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
答案 C
解析 f(x)＝ex-1－－1，则f(1)＝－1<0，f(2)＝e－>0.
故函数在(1，2)上有零点.
2.(2021·西安调研)函数f(x)＝log x－的一个零点所在的区间是( )
8
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
答案 B
解析 ∵f(1)＝－<0，f(2)＝log 2－＝>0，∴f(1)f(2)<0.
8
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1，2)内.3.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分
别位于区间( )
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 ∵a<b<c，
∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点.
又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区
间(a，b)，(b，c)内.
4.设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x ，y )，若x ∈(n，n＋1)，n∈N，则n的
0 0 0
值为________.
答案 1
解析 设f(x)＝x3－，则x 是函数f(x)的零点，f(x)单调递增且图象是一条连续不
0
断的曲线.
因为f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，所以f(x)有唯一的零点x ∈(1，2)，所以n＝1.
0
感悟提升 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，
再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来
判断.
2.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，
一定要结合函数性质进行分析判断.
考点二 确定函数零点的个数例1 (1)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)(2021·兰州诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，
当x∈[0，1]时，f(x)＝cos x，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 (1)B (2)B (3)A
解析 (1)法一 由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)法一 ∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
法二 设y ＝2x，y ＝2－x3，
1 2
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.
(3)由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，
令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.
作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示.由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
感悟提升 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
训练1 (1)(2022·太原模拟)函数f(x)＝的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________.
答案 (1)C (2)6
解析 (1)当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，
f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.综上，f(x)有3个零点.
(2)在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg |x|与y＝sin x的图象，如图所示，
由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点.
考点三 函数零点的应用
角度1 根据函数零点个数求参数
例2 (1)(2021·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝
2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.R(2)函数 f(x)＝x·2x－kx－2 在区间(1，2)内有零点，则实数 k 的取值范围是
________.
答案 (1)C (2)(0，3)
解析 (1)作出函数f(x)的图象如图：
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或<2a≤1.
解得a>1或<a≤.
(2)令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，
即k＝2x－，
从而y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0<k<3.
角度2 根据零点范围求参数
例3 函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求m的取值
范围.
解 (1)∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6，
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
依题意解得－<m<0，
故实数m的取值范围是.
感悟提升 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图
象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
训练2 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数 a的取
值范围是( )
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(0，1) D.(－∞，1]
(2)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且 a<b<10，则abc
的取值范围是________.
答案 (1)A (2)(0，1)
解析 (1)画出函数f(x)的大致图象如图所示.
因为函数f(x)在R上有两个零点，
所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点.
当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；
当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.
综上，0<a≤1.
(2)由题意知，如图，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同
交点，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1).
嵌套函数的零点问题
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零
点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的
图象、性质求解.
例1 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数 a的取值范围
是________.答案 [－1，＋∞)
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作 y＝a，y＝f(t)的
图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t ，t (不妨设t >t )，则t <－1，t ≥－1.
1 2 2 1 1 2
当t <－1时，t ＝f(x)有一解；当t ≥－1时，t ＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时
1 1 2 2
函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
例2 (2021·长沙质检)已知函数f(x)＝ 其中e为自然对数的底数，则函数 g(x)＝
3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.3
答案 A
解析 当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当0<x<1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，
作出函数f(x)的图象，
g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
可得3t2－10t＋3＝0，
解得t＝3或，
当t＝，即f(x)＝时，g(x)有三个零点；
当t＝3时，可得f(x)＝3有一个实根，
即g(x)有一个零点，
综上，g(x)共有四个零点.1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
f(x) －4 －2 1 4 7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
答案 B
解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值
的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.
2.函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为( )
A.－ B.0
C. D.0或－
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－x－1，
令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1，
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，
∴a＝－.
综上有a＝0或－.
3.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0 C. D.0
答案 D
解析 当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，令f(x)＝1＋log x＝0，解得x＝，
2
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
4.(2021·青岛模拟)已知x＝a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x <a，则f(x )的
0 0
值满足( )A.f(x )＝0
0
B.f(x )>0
0
C.f(x )<0
0
D.f(x )的符号不确定
0
答案 C
解析 f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上单调递增，且f(a)＝0，
又0<x <a，∴f(x )<f(a)＝0，即f(x )<0.
0 0 0
5.函数f(x)＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解.f(x)＝x·cos 2x＝0 x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x
＝0在[0，2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点.
⇒
6.(2022·成都诊断)曲线y＝与y＝x的交点横坐标所在区间为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设f(x)＝－x，
∵f＝－>0，
f＝－<0，
∴f·f<0.故选B.
7.(2022·渭南调研)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)
＝0，g(b)＝0，则( )
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
答案 A
解析 易知函数 f(x)单调递增，且 f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，由 f(a)＝0 知
0<a<1；函数g(x)在定义域内单调递增，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，由g(b)
＝0知2>b>1，所以g(a)<g(1)<0，f(b)>f(1)>0，故g(a)<0<f(b).
8.(2021·惠州模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]
时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log |x|的零点有( )
3A.多于4个 B.4个
C.3个 D.2个
答案 B
解析 分别作出y＝f(x)与y＝log |x|的图象如图所示，
3
由图可知y＝f(x)与y＝log |x|有4个交点，
3
故函数y＝f(x)－log |x|有4个零点.
3
9.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________.
答案 －
解析 依题意，f(1)＝＋a＝0，
∴a＝－.
10.(2021·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范
围是________.
答案
解析 由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，
设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
11.已知函数 f(x)＝若函数 y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数 m 的取值范围是
________.
答案 [－3，－1)
解析 令f(x)＝0 x＝－2或1.
令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，
⇒
∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.
作出y＝f(x)的图象，如图所示，y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，
f(x)＝1－m各有两个根，
∴
解得－3≤m<－1.
12.若x 是方程xex＝1的解，x 是方程xln x＝1的解，则x x ＝________.
1 2 1 2
答案 1
解析 x ，x 分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横
1 2
坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x x ＝1.
1 2
13.已知函数 f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为 x ，
1
x ，x ，则( )
2 3
A.x <x <x B.x <x <x
1 2 3 2 1 3
C.x <x <x D.x <x <x
2 3 1 3 1 2
答案 C
解析 作出y＝x与y＝(x>0), y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选
C.
14.(2021·长郡中学调研)若函数f(x)＝|log x|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，
a
n，则( )
A.mn＝1 B.mn>1
C.0<mn<1 D.以上都不对答案 C
解析 由题设可得|log x|＝，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|log x|，y＝的图象
a a
如图所示，结合图象可知0<m<1，n>1，且－log m＝，log n＝，以上两式两边相
a a
减可得log (mn)＝－<0，所以0<mn<1，故选C.
a
15.已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，则实数
a的取值范围是________.
答案 (－2，－1)
解析 作出f(x)的图象如图所示，
令g(x)＝0，∴f(x)＝2或f(x)＝－a，
∵f(x)＝2有一解，∴f(x)＝－a有两解.
由图知1<－a<2，即－2<a<－1.
16.(2021·北京卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2) k<0，使得f(x)有一个零点；
(3) k<0，使得f(x)有三个零点；
∃
(4) k>0，使得f(x)有三个零点.
∃
以上正确结论的序号是________.
∃
答案 (1)(2)(4)
解析 零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.
令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，
可转化成两个函数y ＝|lg x|，y ＝kx＋2的图象的交点个数问题.
1 2
对于(1)，当k＝0时，y ＝2与y ＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正确；
2 1
对于(2)，存在k<0，使y ＝kx＋2与y ＝|lg x|的图象相切，(2)正确；
2 1
对于(3)，若k<0，y ＝|lg x|与y ＝kx＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；
1 2对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的切线，此时共有
两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.
