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第 07 讲 函数与方程
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数 在区间 上的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】求函数 在区间 上的零点个数，
转化为方程 在区间 上的根的个数.
由 ，得 或 ，
解得： 或 或 ，
所以函数 在区间 上的零点个数为3.
故选：A.
2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）设 表示m，n中的较小数．若函数
至少有3个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 有解，
所以 ，解得 或 ，
当 时，必有 ，解得 ；
当 时，必有 ，不等式组无解，
综上所述， ，∴ 的取值范围为 .
故选：A
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，若 恰有两个零点，则 的取
值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 恰有两个零点,即 恰有两个实数根，由于 ，所以 恰有
两个实数根等价于 恰有两个实数根，
令 ，则 ，
当 时， ，故当 此时 单调递增，当 ，
此时 单调递减，故当 时， 取极小值也是最小值，且当 时， ，
当 时， ，且 单调递增，
在直角坐标系中画出 的大致图象如图：
要使 有两个交点，则 ，
故选：D
4．（2023·江西·统考模拟预测）函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由 ，
得 ，又 ，所以 ，所以 或
解得 或 .
所以函数 在 的零点个数是2.
故选：A.
5．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数 ，则方程 的实根个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】 ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ， ，解得 （舍）；
当 时， ，解得 或 （舍）， ，解得 或
（舍）；
综上，方程 的实根为 或 或 ，
即方程 的实根个数为3个，
故选：A.
6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数 ， ， ，
，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出 的图象如下图：
由题意可知 ， ，由图象可知 关于直线 对称，
所以 ，因此 ，当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
当存在 ， ， ， 使得 时，此时
，
故选：C
7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数 ，若方程 在
上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 ，
当 时，方程 可化为 ，解得
，则当 时， ，
当 时，方程 可化为 ，解得 ，则当 时，
因为根据方程 在 上恰有5个不同实根，
所以这5个不同实根为 ，则 ，
故选：D.
8．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最
为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对
称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起
了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 的图像来刻画，满足关于 的方
程 恰有三个不同的实数根 ，且 （其中 ），则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 关于 对称，所以 的根应成对出现，
又因为 的方程 恰有三个不同的实数根 且 ，
所以该方程的一个根是 ，得 ，
所以 ，
由 得 ，
当 ，即 时， ，①
则 ，②
由① ②可求出 ，所以 ；当 ，即 时， ，③
，④
由③ ④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为 ，
所以 ．
故选：C.
9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【解析】选项A：对于 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，得
，所以 ，则 ，A正确；
选项B：由 得 ，由 得 ，所以
， 是奇函数，B正确；
选项C：由 ，得 ，所以12是 的一个周期，又 是奇函数，
所以 的图像关于点 对称，因为 不恒为零，所以 的图像不关于直线 对称，C错误；
选项D：由A知 ，对于 ，令 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ， ，所以 ，所以 在 上的零点为
0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
10．（多选题）（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）下列函数中，是奇函数且存在零点
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A：设 ， ，则 ，得 为奇函数，令
，方程无解，即函数不存在零点，A不符合；对于B：设 ，则 ，得 为奇函数，令 ，
得 ，即函数存在零点，B符合；
对于C：设 ，其为 上的偶函数，C不符合；
对于D：设 ，其为 上的奇函数，且存在零点，D符合.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．存在 ，使得函数 为奇函数
C．任意 ，
D．函数 有且仅有2个零点
【答案】ABC
【解析】对于A： ，
因为 ，所以 ， ，因此 ，
故 ，所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B：令 ，则 ，令 ，定义域为 ，关于原点对称，
且 ，故 为奇函数，B正确；
对于C： 时， ； 时， ；
时， ；C正确；
对于D： 时， ， 时， ，
时， ，所以 只有1个零点，D错误；故选：ABC
12．（多选题）（2023·湖北·校联考三模）已知函数 和 都是偶函数，当 时，
，则下列正确的结论是（ ）
A．当 时，
B．若函数 在区间 上有两个零点 、 ，则有
C．函数 在 上的最小值为
D．
【答案】ACD
【解析】因为函数 和 都是偶函数，则 ， ，
所以， ，即 ，
因此 是周期为 的周期函数．
对于A，当 时， ，则 ，
当 时，则 ，则 ，
综上所述，当 时， ，A对；
对于B选项，当 时， ，则 ，
不妨设 ，因为函数 在 上单调递减，则 ，
由 可得 ，
所以， ，
即 ，则 ，B错；
对于C，因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于函数 是周期为 的周期函数，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
而函数 在 上单调递增，所以， ，则 ，所以，当 时， ，
所以，函数 在 上的最小值为 ，C对；
对于D选项， ，
，
，
又函数 在 上单调递减， ，D对.
故选：ACD.
13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数 的图像过点 ，则函数
的零点为________．
【答案】 ， ，
【解析】设幂函数 ，因为函数 的图像过点 ，所以 ，解得
所以 ，则函数 的零点为方程 的根，解得 或 ，
所以函数 的零点为 ， ， .
故答案为： ， ， .
14．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知 且 ，方程 有
且仅有两个不等根，则 的取值范围为______
【答案】
【解析】由 ，得 .
令 ，则 ，
设函数 ，得 .令 ，得 .
在 上 单调递增；在 上 单调递减，
所以 ， ，又当 时， 恒成立，
所以方程 有且仅有两个不等根，
即曲线 图象与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
15．（2023·广东深圳·统考一模）定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数 的零点
属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过 的开区间）．
【答案】 （不唯一）
【解析】因为 都是减函数，
所以 是减函数，
又 ，
即 ，
所以函数 在 上有零点，且 ，
故答案为 （不唯一）
16．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数 ，若 存在四个不相等的实根 ，
， ， ，则 的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作函数 与 图象如下：由图可得 ，
存在四个不相等的实根 ，可得 ，
可得 ， ，即 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 且 等号成立，
则 的最小值是 .
故答案为： .
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数 若函数 恰有4
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .综上， 的取值范围为 .
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
2．（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，得 ； 最多一个
零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不
合题意；
当 ，即 时，令 得 ， ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，上有2个零点，
如图：
且 ，
解得 ， ， ．
故选 ．
3．（2014·山东·高考真题）已知函数 若方程 有两个不相等的实根，则
实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】9．（2014·北京·高考真题）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
4．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a
的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程 有两个解，将其转化为
有两个解，即直线 与曲线 有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 的图像（将 去掉），再画出直线 ，并将其上下移动，从图中可以发现，当 时，
满足 与曲线 有两个交点，从而求得结果.
画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，
再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，
此时满足 ，即 ，故选C.
5．（2013·湖南·高考真题）函数 的图象与函数 的图象的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln
x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
6．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
7．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
8．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
【答案】 1
【解析】∵ ，∴
∴故答案为：1，
