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考点 09 二分法与求方程近似解（5 种题型与基础、易错专
练）
一、 2022 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共1小题）
1．（2020•天津）已知函数 f（x）＝ 若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|
（k R）恰有4个零点，则k的取值范围是（ ）
∈
A．（﹣∞，﹣ ）∪（2 ，+∞） B．（﹣∞，﹣ ）∪（0，2 ）
C．（﹣∞，0）∪（0，2 ） D．（﹣∞，0）∪（2 ，+∞）
二．填空题（共2小题）
2．（2020•上海）设a R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：
（1）对任意的x R，f（x ）的值为x 或x 2；
0 ∈ 0 0 0
（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，
∈
则a的取值范围是 ．
3．（2022•天津）设a R，对任意实数 x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f
（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
∈
三．解答题（共2小题）
4．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作： 变换：
f（x）﹣f（x﹣t）； 变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
φ
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做 变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
ω
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做 变换
φ
后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做 变换后得到u（x），u（x）再
ω
做 变换后得到h （x）；f（x）先做 变换后得到v（x），v（x）再做 变换后得到
1 φ
h 2 （ ωx）．若h 1 （x）＝h 2 （x）恒成立， ω 证明：函数f（x）在R上单调递增． φ
5．（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 1二、考点清单
一．函数的零点
一般地，对于函数y＝f（x）（x R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝
f（x）（x D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一
∈
个点，而是一个实数．
∈
【解法——二分法】
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点
x ；③计算f（x ）；
1 1
④若f（x ）＝0，则x 就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x ）＜0，则令b＝x （此时零
1 1 1 1
点x （a，x ））；⑥若f（x ）f（b）＜0，则令a＝x ．（此时零点x0 （x ，b） ⑦
0 1 1 1 1
判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
∈ ∈
【总结】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与 x轴的
交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少
有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
二．函数零点的判定定理
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）
•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c （a，b），使得f
（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
∈
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说
明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函
数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f
（x）在（a，b）上有唯一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y＝f（x）的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程 x2﹣2x+1＝
学科网（北京）股份有限公司 20在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
三．函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一
样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不
多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的
乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于 0
时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
四．二分法的定义与应用
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜
0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x ＝ 时，若f（x ）＝0，这说x 为零点；
1 1 1
若不为0，假设大于0，那么继续在[x ，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，
1
直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
【二分法的应用】
我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：
例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，
有图象可得，只有③能满足此条件，
故答案为 ③．
在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查
形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．
学科网（北京）股份有限公司 3【二分法求方程的近似解】
二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们
主要以例题来做讲解．
例：用二分法求方程 在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是
[1.5 ， 2] ．
解：令函数f（x）＝lnx﹣ ，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣ ＝ （ln1.52﹣2）＜
（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，
而f（2）＝ln2﹣ ＝ln2﹣ln ＝ln ＝ ln ＞ ln1＝0，即f（2）＞0，
故函数f（x）在[1.5 2]上存在零点，故方程 在[1.5，2]上有根，
故答案为[1.5，2]．
通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b
点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第
一步．
五．函数与方程的综合运用
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从
问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或
方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，
还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际
问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
三、题型方法
一．函数的零点（共4小题）
1．（2023•乌鲁木齐三模）定义符号函数 ，则方程x2sgnx＝5x﹣6的解
是（ ）
A．2或﹣6 B．3或﹣6 C．2或3 D．2或3或﹣6
2．（2023•北京模拟） 的零点为 ．
3．（2023•毕节市模拟）给出下列命题：
①函数f（x）＝2x﹣x2恰有两个零点；
②若函数 在（0，+∞）上的最小值为4，则a＝4；
学科网（北京）股份有限公司 4③若函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝4，则 ；
④若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则实数m的取值范围是（0，1]．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
4．（2023•汉中模拟）设x ，x 分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝xlog x﹣1的零点
1 2 a
（其中a＞1），则x +4x 的取值范围是（ ）
1 2
A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．[5，+∞） D．（5，+∞）
二．函数零点的判定定理（共7小题）
5．（2023•西安模拟）已知f（x）＝ex+lnx+2，若x 是方程f（x）﹣f'（x）＝e的一个解，
0
则x 可能存在的区间是（ ）
0
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．（2023•重庆一模）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（2023•海南一模）函数 的零点所在的大致区间为（ ）
A．（1，e） B．（e，e2） C．（e2，e3） D．（e3，e4）
8．（2023•洪山区校级模拟）已知函数f（x）＝ax+（1+a）x﹣2（a＞0且a≠1），若函数
f（x）恰有一个零点，则实数a的取值范围为 ．
9．（2023•桃城区校级模拟）已知函数 在区间[2，4]上有零点，
则 的最小值为 ．
10．（2023•荔湾区校级模拟）设函数 g（x）＝f（x）
﹣4x﹣1．若函数g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围
是（ ）
A．{﹣1}∪[ ，+∞） B．
C． D．
11．（2023•杭州模拟）函数f（x）＝ex+ax+b在区间[1，3]上存在零点，则a2+b2的最小值
为 ．
三．函数的零点与方程根的关系（共18小题）
学科网（北京）股份有限公司 512．（2023•海淀区校级模拟）已知函数f（x）＝ ，方程f（x）﹣t＝0
有两个实数解，分别为x 和x ，当1＜t＜3时，若存在t使得x +x ＝4成立，则k的取
1 2 1 2
值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023•龙华区校级模拟）关于函数f（x）＝ ，其中
a，b R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点．
∈
乙：4是该函数的零点．
丙：该函数的所有零点之积为0．
丁：方程f（x）＝1有两个不等的实根．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
14 ． （ 2023• 山 西 模 拟 ） 已 知 函 数
，则f（x）与g（x）图
象的交点个数是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
15．（2023•阿勒泰地区三模）已知 ，若函数 f（x）在区间
上有且只有3个零点，则 的范围为（ ）
θ
A． B． C． D．
16．（2023•烟台模拟）已知函数 ，若f（x）＝m存在四个
不相等的实根x ，x ，x ，x （x ＜x ＜x ＜x ），则 的最小值是 ．
1 2 3 4 1 2 3 4
17．（2023•龙岩模拟）已知函数f（x）＝ 关于x的方程f（x）＝k
恰有三个不同实数解 x ，x ，x （x ＜x ＜x ），且关于 m 的方程 5lnm+
1 2 3 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司 6有实数解，则实数 m 的取值范围为
．
18．（2023•赤峰模拟）已知函数 ，若方程f（x）＝b有解，则
实数b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，log 5） B．（﹣∞，log 5] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）
2 2
19．（2023•江西模拟）函数 在区间[﹣3，5]
上的所有零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
20．（2023•咸阳模拟）已知函数 ，则函数 g（x）＝f（f
（x））﹣1的零点个数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．3
21．（2023•聊城三模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x+1）
是偶函数，g（x）＝（x﹣1）f′（x）﹣1恰有四个零点，则这四个零点的和为
．
22．（2023•天津三模）已知函数 ，若函数g（x）＝f（x）﹣ax
﹣1在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是 ．
23．（2023•苏州三模）设a＞0，函数 ，若g（x）＝f（x）﹣
b 恰有三个不同的零点，且 b 是其中的一个零点，则实数 b 的值为
．
24．（2023•高州市二模）已知函数 ，若存在实
数k，使得方程f（x）＝k有6个不同实根x ，x ，x ，x ，x ，x ，且x ＜x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5
＜x ，则a的取值范围是 ； 的值为 ．
6
25．（2023•绍兴二模）设函数f（x）＝x﹣sin ．
（1）证明：当x [0，1]时，f（x）≤0；
（2）记g（x）＝f（x）﹣aln|x|，若g（x）有且仅有2个零点，求a的值．
∈
学科网（北京）股份有限公司 726．（2023•南昌一模）已知函数f（x）＝（x﹣a）2+bex（a，b R）．
（1）若a＝0时，函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围；
∈
（2）若a＞0，b＝ ，方程f（x）＝3有解，求a的取值范围．
27．（2023•宁波模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|ex和g（x）＝a|x|的图象共有三个不同的交
点，并且它们的横坐标从左到右依次记为x ，x ，x ．
1 2 3
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：2x ﹣x +x ＜2a．
3 2 1
28．（2023•湖南模拟）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＞0）在区间[1，2]上有
最大值2和最小值1．
（1）求a，b的值；
（2）不等式g（x）﹣kx≥0在x [1，2]上恒成立，求实数k的取值范围；
∈
（3）若 且方程 有三个不同的实数
解，求实数t的取值范围．
29．（2023•东阳市模拟）已知函数 ．
（1）对任意m≥1，方程f（x）＝0恒有三个解，求实数t的取值范围；
（2）已知m＝1，方程f（x）＝0有三个解为x ，x ，x ，且x ＜x ＜x ，求证：x ﹣x ＜
1 2 3 1 2 3 3 2
学科网（北京）股份有限公司 8t，x ﹣x ＞1．
2 1
四．二分法的定义与应用（共4小题）
30．（2023•梅州二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以
是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
31．（2023•辽宁三模）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数
法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，
在科学界已被广泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3＝0的近似解，先用函数零点存在定理，
令f（x）＝x3+2x2+3x+3，f（﹣2）＝﹣3＜0，f（﹣1）＝1＞0，得（﹣2，﹣1）上存在
零点，取x ＝﹣1，牛顿用公式 反复迭代，以x 作为f（x）＝0
0 n
的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 ；以（﹣2，﹣1）
为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近
似解为 ．
32．（2023•大连模拟）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数
f（x）在x 附近一点的函数值可用f（x）≈f（x ）+f'（x ）（x﹣x ）代替，该函数零点
0 0 0 0
更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，
解方程x3﹣3x+1＝0，选取初始值x ＝ ，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
0
A．0.333 B．0.335 C．0.345 D．0.347
33．（2023•桃城区校级模拟）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、
假设待检测的总人数是2m（m N*）将2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一
次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中
∈
有感染者，则将这批人平均分为两组，每组2m﹣1人的样本混合在一起做第2轮检测，每
组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果
为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过
检测来确定）．若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检
测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为 人．若待检测的总人数为 2m
（m≥3），且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为
学科网（北京）股份有限公司 9n，则n的最大值为 ．
五．函数与方程的综合运用（共11小题）
34．（2023•南平模拟）A，B分别是函数y＝ex﹣1和 图象上的点，若AB与x轴平
行，则|AB|的最小值是（ ）
A． B． C． D．
35．（2023•天津二模）设函数 ，g（x）＝e﹣|x﹣1|．当x [﹣2023，
2025]时，f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
∈
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
36．（2023•张家口二模）已知函数 ，若曲线y＝cosx上存在点
（x ，y ）使得f（f（y ））＝y ，则实数m的取值范围是（ ）
0 0 0 0
A．（﹣∞，ln2] B．[﹣1，ln2] C．（﹣∞，2ln2] D．[0，2ln2]
37．（2023•南昌二模）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的三个零点分别为1，x ，x （0＜x
1 2 1
＜x ），若函数f（x+1）为奇函数，则f（2）的取值范围为（ ）
2
A．[0，1] B．（0，1） C．（0，2） D．[0，2]
38．（2023•合肥模拟）设A，B，C，D是曲线y＝x3﹣mx上的四个动点，若以这四个动点
为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
39．（2023•济宁三模）若对任意的 ，总存在三个不同的y [﹣1，3]，使
得方程xey+y2﹣aey＝0成立，其中e≈2.71828⋯为自然对数的底数，则实
∈
数a的取值范
围是 ．
40．（2023•保山模拟）对于函数f（x），若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f
（x）为“倒戈函数”，设函数f（x）＝3x+tanx﹣2m+1（m R）是定义在[﹣1，1]上的
∈
“倒戈函数”，则实数m的取值范围是：[1， ]．
41．（2023•安徽模拟）若函数 f（x）对定义域内任意实数 x均满足f（ x）＝f（x）•f
λ
（x+ ），其中 ＞0，则称f（x）是“ 等值函数”．若函数 （a＞0）
是“2等值函数”，则实数a＝ ，函数y＝g（x）﹣1在区间[0，2023]上零点个数
λ λ λ
为 ．
42．（2023•南关区校级模拟）定义：对于函数f（x），若f（x ）＝x ，则称x 为f（x）的
0 0 0
“不动点”，若f[f（x ）]＝x ，则称x 为f（x）
0 0 0
的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”集合分别记为A和B，即A＝{x|f
（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，有如下性质：
学科网（北京）股份有限公司 10性质1：A B；
性质2：若函数f（x）单调递增，则A＝B．
⊆
已知函数f（x）＝eax，x＞0，a≠0．
（1）讨论集合A＝{x|f（x）＝x}中元素个数；
（2）若集合B＝{x|f[f（x）]＝x}中恰有1个元素，求a的取值范围．
43．（2023•全国一模）已知函数 ．
（1）当m＝2时，求函数f（x）的定义域；
（2）设函数f（x）的定义域为M，当 时， ，求实数m的取值范
围．
44．（2023•滨州二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），若不等式f（x）≥f′（x）对
任意实数x恒成立．则称函数f（x）是“超导函数”．
（1）请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；
（2）若函数g（x）与h（x）都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个
在R上单调递减，求证：函数F（x）＝g（x）h（x）是“超导函数”；
（3）若函数y＝ （x）是“超导函数”且方程 （x）＝ ′（x）无实根， （1）＝e
（e为自然对数的
φ
底数），判断方程 （﹣x﹣lnxφ ）＝e﹣x﹣
φ
lnx的实数根的个数并
φ
说明理由．
φ
学科网（北京）股份有限公司 11四、刷基础
一．选择题（共16小题）
1．（2023•青羊区校级模拟）“m＜0”是“函数f（x）＝m+log x（x≥1）存在零点”的（
2
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2023•西固区校级模拟）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
3．（2023•大庆模拟）已知函数 ，则（ ）
A．f（0.1）＞f（0.2）
B．函数f（x）有一个零点
C．函数f（x）是偶函数
D．函数f（x）的图象关于点 对称
4．（2023•湖北模拟）已知函数 ，若f（a﹣1）≥f（2a+1）
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）
C． D．
5．（2023•河东区一模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），当x [﹣
2，0]时，f（x）＝x+2，设函数h（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣2＜x＜6）（e为自然对数的底数
∈
），
则f（x）与h（x）的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2023•兴庆区校级三模）函数 在区间（2，4）上存在零点．则
实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣18） B．（5，+∞） C．（5，18） D．（﹣18，﹣5）
7．（2023•湖北模拟）已知函数f（x）＝x ，g（x）＝x ，其中x [0，+∞），0＜ ＜1，
α β
∈ α β
＞1，若点 ， ， ， 满
足|MP|＝|NQ|，则（ ）
A．4 ﹣4 ＝2 + B．4 +4 ＝2 + C．2 ﹣2 ＝2 + D．2 +2 ＝2 +
α β α β α β α β α β α β α β α β
8．（2023•金昌二模）已知x 是函数 的一个零点，若x （2，x ），
0 1 0
∈
学科网（北京）股份有限公司 12x （x ，+∞），则（ ）
2 0
A． ∈ x 0 （2，4） B．f（x 1 ）＞f（x 2 ）
C．f（ ∈x
1
）＜0，f（x
2
）＜0 D．f（x
1
）＞0，f（x
2
）＞0
9．（2023•龙岩模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+4）＝23，当x
（0，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数 f（x）在区间（﹣4，2023]上的零点个数是
∈
（ ）
A．253 B．506 C．507 D．759
10．（2023•辽宁二模）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）＝f（2+x），f（5
﹣x）＝f（5+x），且在闭区间[0，5]上只有f（1）＝f（3）＝0，则方程f（x）＝0在闭
区间[﹣2020，2020]上的根的个数（ ）
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
11．（2023•淮北二模）若关于x的方程2x3﹣3x2﹣12x+k＝0有3个不同实根，则满足条件
的整数k的个数是（ ）
A．24 B．26 C．29 D．31
12．（2023•全国模拟）函数f（x）＝4sin（3x+2）+2cos（3x+4）在（0， ）上的零点个
数为（ ）
π
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023•呼和浩特模拟）已知函数 ，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣
1+m＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．（﹣∞，2）∪（2，+∞） D．（1，e2）
14．（2023•千阳县校级模拟）已知函数f（x）＝|log |1﹣x||，若函数g（x）＝f2（x）+af
2
（x）+2b有6个不同的零点，且最小的零点为x＝﹣1，则2a+b＝（ ）
A．6 B．﹣2 C．2 D．﹣6
15．（2023•中卫二模）设f（x）是定义在R上的函数，若f（x）+x2是奇函数，f（x）﹣x
是偶函数，函数 ，则下列说法正确的个数有（
）
（1）当x [2，3]时，g（x）＝﹣2（x﹣2）（x﹣3）；
∈
（2） ；
（3）若g（m）≥2，则实数m的最小值为
学科网（北京）股份有限公司 13（4）若h（x）＝g（x）﹣k（x﹣2）有三个零点，则实数 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2023•浉河区校级模拟）已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论正
确的是（ ）
A．函数y＝f（sin（x﹣1））不是周期函数
B．函数 为奇函数
C．当a＞1时，函数f（|x|）的最大值是0
D．若a＝e，则函数f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数
二．填空题（共10小题）
17．（2023•广陵区校级模拟）已知 ，若函数 g（x）＝f
（x）﹣k有两个零点，则实数k取值范围是 ．
18．（2023•四川三模）函数f（x）＝sinx﹣log x的零点个数为 ．
2
19．（2023•和平区校级二模）设a R，函数 ，若
函数 f（x）在区间（0，+∞）内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是
∈
．
20．（2023•谷城县校级模拟）已知关于x的方程x•ex﹣2﹣a（x+lnx）﹣2a＝0在（0，1]上
有两个不相等的实很，则实数a的取值范围是 ．
21．（2023•海口模拟）若对任意a [2，3]，关于x的方程log x＝b﹣x在区间[2，3]上总有
a
实根，则实数b的取值范围是 ．
∈
22．（2023•沈河区校级模拟）已知[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则方程
的整数解个数为 ．
23．（2023•和平区校级一模）函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表
示x，y，z中的最小者．若函数y＝f2（x）﹣2bf（x）+b﹣ 有12个零点，则b的取值
范围是 ．
24．（2023•厦门模拟）函数 ，当a＝1时，f（x）的零点个
数为 ；若f（x）恰有4个零点，则a的取值范围是 ．
25．（2023•南宁二模）已知x R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣2.1]＝﹣3，
[2.1]＝2，则函数y＝x﹣|sinx|﹣[x]，在x [﹣ ， ]的零点个数是 ．
∈
∈ π π
学科网（北京）股份有限公司 1426．（2023•凉州区模拟）已知函数y＝f（x）满足：当﹣2≤x≤2时， ，
且f（x）＝f（x+4）对任意x R都成立，则方程4f（x）＝|x|的实根个数是 ．
五.刷易错
∈
一．选择题（共3小题）
1．（2023•周至县一模）对于函数f（x），若对任意的x ，x ，x R，f（x ），f（x ），f
1 2 3 1 2
（x
3
）为某一三角形的三边长，则称 f（x）为“可构成三
∈
角形的函数”，已知
是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．（0，+∞）
2．（2023•天津模拟）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x，若存在a （2，3]，使得关于x的函
数y＝f（x）﹣tf（a）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（ ）
∈
A．（ ） B．（1， ） C．（1， ） D．（1， ）
3．（2023•青秀区校级模拟）对于任意的y [1，e]，关于x的方程x2ye1﹣x＝ay+lny在x [﹣
1，4]上有三个根，则实数a的取值范围是（ ）
∈ ∈
A．[ ， ） B．（0， ]
C．[ ，e2﹣ ] D．[ ，e2﹣ ）
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2023•大连模拟）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯
特模型： 其中正实数X ，Y 分别为
0 0
甲、乙两方初始实力，t为比赛时间；x（t），y（t）分别为甲、乙两方t时刻的实力；
正实数a，b分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数．规定当甲、乙两方任何一方实力
为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T．则下列结论正确的是
（ ）
A．若X ＞Y 且a＝b，则x（t）＞y（t）（0≤t≤T）
0 0
B．若X ＞Y 且a＝b，则
0 0
学科网（北京）股份有限公司 15C．若 ，则甲比赛胜利
D．若 ，则甲比赛胜利
三．填空题（共3小题）
5．（2023•大荔县一模）已知函数 ，
其中min{a，b}表示a，b中较小的数．若f（x）＝a有且只有一个实根，则实数a的取
值范围是 ．
6 ． （ 2023• 鼓 楼 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 则 函 数
的零点个数为 ．
7．（2023•青浦区校级模拟）已知函数 ，若
方程f（x）＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x ，x ，x ，x ，则x +x +x +x 的取值
1 2 3 4 1 2 3 4
范围是
学科网（北京）股份有限公司 16
