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指数函数与对数函数单元检测
考试范围： 考试时间：120分钟，满分150分
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．如果指数函数 ( ，且 )的图象经过点 ，那么 的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．已知 ，则 在定义域内为增函数的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则
A． B．2 C．3 D．4
4．已知函数 在 上恰有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
6．设函数 ，用二分法求方程 近似解的过程中，计算得到 ，
，则方程的近似解落在区间（ ）
A． B．
C． D．7．函数 与 （ 且 ）在同一坐标系中的图象可以是（ ）A．
B． C． D．
8．声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为
).已知声音大小 与声压 的关系式为 ，且根据我国《城市区域环境噪音标
准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标为50分贝，夜间噪声容许 标准为40分贝，则居民
区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（ ）倍
A． B． C．10 D．20
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．给定函数 （ ）
A． 的图像关于原点对称 B． 的值域是
C． 在区间 上是增函数 D． 有三个零点
11．已知函数 （ ，且 ， ）的图象不经过第三象限，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，12．已知正实数x，y，z满足 ，则下列正确的选项有（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．log 27+ ﹣（ ）﹣1＝____．
3
14．设函数 是定义在R上的函数，且 ，则 的值为______．
15．若函数 ,满足 ,则 ____________.
16．函数 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且当 时， ，则
_______，函数 的值域为_________．
五、解答题（共70分）
17．（10分）计算下列各式：
（1） （2）18．（12分）已知函数 ．
（1）求 的定义域和值域；
（2）写出函数 的单调区间．19．（12分）已知函数 且 .
（1）求 的值，并在直角坐标系中作出函数 的大致图象.
（2）若方程 有三个实数解，求实数 的取值范围.
20．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度
分贝 由公式 b为非零常数 给出，其中 为声音能量.
（1）当声音强度 满足 时，求对应的声音能量 满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为 时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音
能量为 时，声音强度为40分贝.已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在大于
100分贝小于120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什么范围时，人会暂时性
失聪。21．（12分）已知函数
（1）若 ，函数是否有零点，如果有，请求出零点；
（2）若函数有两个零点，求实数 的取值范围。
22．（12分）已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（1）求 的值.
（2）求函数 的值域.
（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.参考答案
1．B
由题意可知 ，解得 或 （舍）
2．A
由对数函数 且 )的性质可知
在定义域内为增函数,则 , 记
是 的真子集，所以 是 在定义域内为增函数的充分不必要条件,
故A正确;
是 在定义域内为增函数的充要条件,故B不正确;
与 无包含关系, 是 在定义域内为增函数的既不充分也不必要
条件,故C不正确;
与 无包含关系 是 在定义域内为增函数的既不充分也不必要
条件,故D不正确.
3．C
由题意得 ，所以
4．A
当 时， 在 上恰有一个零点，
当 时，
若 ，则对称轴 ，所以要使 在 上恰有一个零点，而
二次函数图像与 轴交于点 ，所以只要 ，即 ，得 ，
所以 ，若 ，则对称轴 ，所以只要 ，即 ，得 ，
综上 ，
5．A
<log 2=1, ,故
2
6．A
取 ，因为 ，所以方程近似解 ，
取 ，因为 ，所以方程近似解
7．B
由题可知，函数 与 ，且 ，
若 时，则 ，所以 在 上单调递增，且过点 ，
在 单调递减，且过点 ，故B选项符合题意；
若 ，则 ，所以 在 上单调递减，且过点 ，
在 单调递增，且过点 ，没有符合题意的选项.
8．A
声音大小 与声压 的关系式为 ，
当 时， ，即 ，解得
当 时， ，即 ，解得 ，
所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压比为.
9．ACD
解：因为 ， 为减函数，所以 ，
因为 ， 为增函数，所以 ，
又因为 在区间 上为减函数，在区间 上也为减函数，
所以 ，同理可得， ，
故选：ACD
10．AB
对于A：因为函数 的定义域为R，且 ，所以函数
是奇函数，所以 的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当 时， ，
当 时， ，又 或 ，所以 或 ，
综上得 的值域为 ，故B正确；
对于C：因为 在 单调递增，所以由B选项解析得， 在区间 上是
减函数，故C不正确；
对于D：令 ，即 ，解得 ，故D不正确，
故选：AB.
11．ABC
当 时， 在 上为减函数，由题意可知 的图象可上下平移，若向上平移，则 ，所以 ，若向下平移，则 ，A，B项正确﹔当 时， 在 上为
增函数，由题意可知 的图象只能向上平移，所以 ，即 ，C项正确，D错误.
故选：ABC
12．BD
设 ，则 ， ， ，
所以 ．所以 ．故选：BD．
13．
解：原式＝ ．
故答案为： ．
14．2
．故答案为：2．
15．
解：因为 ，所以 ，因为
，所以 ，即
，即 ，所以
16．
【详解】
由 是 上的偶函数，故 图象关于直线 对称，
所以函数 图象关于直线 对称，即 ，又因为函数 是 上的奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
；
当 时， ，
因为函数 图象关于直线 对称，
所以当 时， ，
即 时， ，
因为函数 是 上的奇函数，所以 ，所以 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
因为函数 是以 为周期的周期函数，
所以函数 的值域为 ，
故答案为： ， ．
17．（1）89；（2） .
⑴原式
⑵原式
18．（1）定义域为 ,值域为 （2）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
【详解】
（1） ，
，
解得 ，
的定义域为 ．
设 ，
，
，
的值域为 ；
（2） 是增函数，
而 在 上递增，在 上递减，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
19．
【详解】
（1） ，则 ；
所以 ；
（2）将方程 有三个实数解转化为函数 与直线 有三个不同交点，根据图象可知 的取值范围是 .
20．（1） ；（2）I .
解：（1）当声音强度 ，满足 时，
有 ，即 ，
得 ， ，
，则 ；
（2）由题意， ，解得 .
，
由 ，得 ，解得 ，
故I 时，人会暂时性失聪.
21．（1）有，0；（2） .
【详解】
（1）设 ，当 时，则原函数对应的方程为
方程可得唯一解 ，当 时 ，原函数有唯一零点为0
（2）设 ，则原函数对应的方程为 ，
原函数有两个零点，等价于方程 有两个不相等的正根，则有 ，解得
22．
（1）2 （2） （3）
（1）
是定义在 上的奇函数， ，即 ，解得 ，
则 ， 满足题意，
所以 .
（2）
，
由 可得 ，则 ，则 ，
所以 的值域为 ；
（3）
不等式 恒成立，等价于 在 恒成立，
令 ，则 ，则 在 恒成立，
显然 在 单调递增，所以当 时， 取得最大值为0，所以
.
